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☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge University Press

作者:Nigel Cutland

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:1980

价格:USD 50.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521294652

丛书系列:

图书标签:

递归论
计算理论
计算机科学
数学
数理逻辑
可计算性
computability
计算机
Computability
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Logic
Computation
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Machine
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Paper
Turing

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具体描述

What can computers do in principle? What are their inherent theoretical limitations? These are questions to which computer scientists must address themselves. The theoretical framework which enables such questions to be answered has been developed over the last fifty years from the idea of a computable function: intuitively a function whose values can be calculated in an effective or automatic way. This book is an introduction to computability theory (or recursion theory as it is traditionally known to mathematicians). Dr Cutland begins with a mathematical characterisation of computable functions using a simple idealised computer (a register machine); after some comparison with other characterisations, he develops the mathematical theory, including a full discussion of non-computability and undecidability, and the theory of recursive and recursively enumerable sets. The later chapters provide an introduction to more advanced topics such as Gildel's incompleteness theorem, degrees of unsolvability, the Recursion theorems and the theory of complexity of computation. Computability is thus a branch of mathematics which is of relevance also to computer scientists and philosophers. Mathematics students with no prior knowledge of the subject and computer science students who wish to supplement their practical expertise with some theoretical background will find this book of use and interest.

《计算的极限：理论与实践的交汇》图书简介《计算的极限：理论与实践的交汇》是一部深度探讨计算理论核心概念、前沿进展以及其实际应用的书籍。它旨在为计算机科学、数学、逻辑学以及相关领域的学生、研究人员和专业人士提供一个全面而深入的视角，理解计算能力究竟可以达到何种程度，以及计算的根本限制究竟在哪里。本书以严谨的数学基础为起点，逐步构建起关于可计算性、复杂性以及形式化验证的知识体系。它不仅仅是对经典理论（如图灵机模型、递归论和复杂性类P/NP问题）的梳理，更着重于将这些抽象的理论概念与现代计算的实际挑战相结合，展现理论如何指导工程实践，以及实践如何反哺理论的发展。第一部分：计算的奠基——可计算性理论的基石本书的开篇部分聚焦于可计算性的基本框架。我们从20世纪初数学基础危机中诞生的“什么是可计算的”这一根本问题出发。 1. 形式化模型的建立：我们详细考察了图灵机模型，这是理解计算过程的黄金标准。不仅分析了确定性图灵机（DTM）和非确定性图灵机（NTM）的结构与能力差异，还深入探讨了Lambda演算和递归函数论等其他等价的计算模型。通过对比这些模型，读者将清晰地认识到“有效方法”的精确数学定义。 2. 停机问题的无解性：停机问题（Halting Problem）是计算理论中最具里程碑意义的成果之一。本书用清晰的逻辑推导，论证了通用停机问题是不可判定的。在此基础上，我们扩展讨论了Rice定理，揭示了所有关于非平凡的程序行为的属性都是不可判定的事实。这部分内容对于理解软件验证的内在局限性至关重要。 3. 可归约性与问题层级：为了量化不同问题的难度，本书引入了Karp和Cook提出的多对一归约（many-one reduction）的概念。我们系统地梳理了可计算性理论中的“难度层级”，包括递归可枚举集、递归集以及不可判定集的层级结构。读者将学习如何利用归约技术证明一个新问题的难度高于或等于一个已知难问题。第二部分：计算的边界——复杂性理论的深入探索在确立了什么是“可计算”之后，本书的第二部分转向了更具实践意义的领域：哪些问题是“高效可计算”的。复杂性理论关注的焦点在于资源消耗——时间与空间。 1. 经典复杂性类：我们对P（多项式时间可解）和NP（多项式时间非确定性可解）进行了详尽的阐述。对NP的定义，尤其强调了“验证”的概念，即一个解（证书）可以在多项式时间内被验证。 2. NP完全性：本部分的核心是Cook-Levin定理及其对3-SAT问题的证明，由此引出了NP完全性（NP-Completeness）的概念。我们随后列举并分析了一系列经典的NP完全问题，如旅行商问题（TSP）、集合覆盖、图着色等。通过介绍结构化的证明方法，读者将掌握如何将一个实际问题归约为已知的NP完全问题，从而确定其计算的理论下界。 3. 难度之上的探索：我们不会止步于P vs NP的僵局。本书探讨了更广泛的复杂性类别，包括PSPACE（多项式空间可解）和EXPTIME（指数时间可解）。对于空间复杂性，我们详细分析了Savitch定理，揭示了NTIME与NPSPACE之间的关系，以及量化了由有限状态自动机所能解决的问题的范围。此外，本书还涵盖了交互式证明系统（IP）和量子计算对复杂性的影响（如BQP类）。 4. 证明技术与电路模型：为了探索更精细的复杂度划分（如AC0、NC），我们引入了布尔电路模型作为替代的计算框架。这部分内容与现代VLSI设计和并行计算的理论基础紧密相连。第三部分：理论的桥梁——可计算性与逻辑、自动机理论的交叉本书的第三部分旨在展示可计算性理论的普适性，将其与形式语言、自动机理论和数理逻辑紧密联系起来。 1. 形式语言与自动机：我们系统回顾了Chomsky层级，从正则语言（由有限自动机识别）、上下文无关语言（由下推自动机识别）到递归可枚举语言（由图灵机识别）。通过这些模型，读者可以直观地理解不同计算模型所能处理的语言的表达能力差异。我们深入讨论了Pumping引理在证明语言非正则性或非上下文无关性中的应用。 2. 逻辑的表达力：计算理论与一阶逻辑（First-Order Logic）有着深刻的联系。本书探讨了哥德尔（Gödel）的完备性定理和不可判定性定理，特别是关于一阶逻辑的语义学和句法学的对偶关系。我们还讨论了如何利用逻辑公式的表达能力来刻画特定的计算问题。 3. 可靠性与模型检测：理论的最终目标之一是构建可靠的系统。我们探讨了如何使用模型检测（Model Checking）技术来形式化验证复杂系统的行为是否满足特定的时序逻辑（如LTL或CTL）规范。这部分内容直接连接了理论研究与安全关键系统的设计实践。结论：计算的未来与未解之谜在全书的结尾，我们总结了当前计算理论面临的主要开放性问题，包括P vs NP问题的最新进展、随机化算法的潜力（如ZPP类）以及对超计算（Hypercomputation）概念的哲学思考。本书致力于培养读者批判性地看待计算能力边界的思维方式，为未来的理论创新和技术突破奠定坚实的基础。《计算的极限》的写作风格力求清晰、精确，同时注重通过历史背景和实际案例来增强对抽象概念的理解，确保读者在掌握严格的数学证明工具的同时，也能领略计算科学作为一门基础学科的深远魅力。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

上课地点：首都师范大学本部三教412室是叶老师给逻辑学的研究生开的一门课，用一本经典的教材，好好读一本书。我们这学期的计划是完全读懂哥德尔不完备性定理，所以这本书读到第八章会读斯莫林斯基对不完备性的阐述，之后我们会在回来把余下的部分学完。注：等这门课上完...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和插图处理简直堪称艺术品级别的严谨。在讲解像有限自动机和下推自动机这样的结构时，那些精心绘制的状态转移图和语法结构图，清晰到让人一眼就能捕捉到模式的精髓。我以前在看其他教材时，常常因为图形的混乱而感到沮丧，但这本书完全没有这个问题。更令人称赞的是，它在引入不同计算模型时，总是能巧妙地穿插历史背景和发展脉络，让你了解这些理论是如何一步步被构建起来的，而不是突兀地抛给你一堆公式。这种人文关怀与硬核技术内容的完美结合，使得即便是面对枯燥的数学证明，阅读过程也充满了探索的乐趣。它不仅仅是一本教材，更像是一部关于计算理论发展史的深度文献，让人在学习知识的同时，也感受到了科学探索的魅力和历程。

评分☆☆☆☆☆

从整体风格来看，这本书体现了一种对知识的终极追求，它不满足于提供一个可用的框架，而是致力于揭示计算本质的内在美感。它在处理递归论和不可判定性时，展现出一种近乎哲学的深度，引导读者思考信息、逻辑和可表达性的极限。阅读体验是扎实、有分量且极具挑战性的，它要求读者投入大量的时间和精力去消化吸收其中的每一个细节。这本书绝对不是那种可以快速翻阅以应付考试的材料，它更像是一份值得反复研读的参考书，每隔一段时间重读，总能从中发现当初忽略的新见解。对于那些渴望真正掌握计算科学底层逻辑，而不是仅仅停留在应用层面的学习者来说，这本书的价值是无可替代的。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的阅读体验是那种需要静下心来，反复咀嚼才能品出真味的。它的叙述风格非常严谨，甚至有些许学术的冷峻感，但正是这种一丝不苟的态度，保证了每一个论断的无懈可击。我尤其佩服作者在处理复杂证明时的耐心和细致。比如，在讲解哥德尔不完备定理与计算理论的交汇点时，那种将形式系统与计算模型巧妙结合的论证过程，读起来酣畅淋漓。它不像某些入门读物那样用大量的比喻来“稀释”内容，而是直接深入到数学的腹地，让读者直接与理论本身对话。对于那些已经有一定数学背景的读者来说，这本书无疑是一座宝库，它不仅告诉你“是什么”，更重要的是细致地展示了“为什么是这样”。看完之后，你会发现自己对“界限”这个概念有了全新的认识，知道计算能力在理论上究竟能走到哪一步，以及永远无法触及的彼岸在哪里。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我感到震撼的是它对“复杂性理论”部分的探讨，那简直是打开了新世界的大门。作者对P、NP、NPC等复杂性类别的划分和相互关系阐述得极其透彻，清晰地区分了“能解决”和“能有效解决”之间的巨大鸿沟。他不仅详述了Cook-Levin定理的核心思想，更深入地探讨了各种归约方法的技巧，这对于理解为什么某些问题至今仍被认为是“困难的”至关重要。与市面上许多只泛泛而谈的入门书不同，这本书提供了足够的数学工具和严谨的论证来支撑这些结论，让人对计算的“难度”有了切身的体会。阅读完这个部分，你会对计算机科学中的“速度”问题产生一种近乎敬畏的理解，知道哪些问题是可以通过算法优化真正被“攻克”的，而哪些可能永远都需要依靠启发式方法。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是让我大开眼界，内容之丰富、体系之严谨，绝对是领域内的翘楚。首先，它对基础概念的铺陈极其到位，从数理逻辑的根基讲起，层层递进地引入了图灵机模型、$lambda$-演算以及递归函数论等核心理论。作者并没有止步于简单的定义罗列，而是深入探讨了这些模型的等价性与计算能力的边界，特别是对“什么是可计算的”这一哲学问题的数学化处理，堪称教科书级别的典范。书中大量的例证和习题设计得非常巧妙，既能检验读者的理解程度，又能引导读者主动去探索更深层次的联系。我特别欣赏它在阐述不可判定性（如停机问题）时的那种清晰的逻辑链条，那种“啊，原来是这样！”的豁然开朗的感觉，是阅读其他同类书籍时难以获得的体验。它成功地将原本抽象晦涩的理论，转化成了一套可以被精确掌握和应用的工具箱。可以说，这本书是任何希望在理论计算机科学领域有所建树的人士的必备读物，没有之一。

评分☆☆☆☆☆

老师推荐，入门可计算性确实不错。

评分☆☆☆☆☆

习题没答案……

评分☆☆☆☆☆

这本书其实放了很久了，一直想认真的以在学校上课的一样的心态一道道的题目做完，所以陷在了细节当中。当采用主题阅读，站在一个更高的视角来看的话，关于一些基本的要素，可计算函数、通用计算、可判定性、递归可枚举、不完备性定理，基本上都是这些内容。发现这本书平易清晰，内容深度也不算特别深，适合做为课本学习。

评分☆☆☆☆☆

入门

评分☆☆☆☆☆

入门