具体描述
本套书是以理工类、经管类大学本科数学教学大纲和全国研究生入学考试数学考试大纲的要求为基准编写的教学辅导书，作者为清华大学数学科学系主讲教授。
本书讲述“概率论与数理统计”课程的基本概念、基本定理与知识点，从基本概念、基本定理的背景及其应用入手，延伸到解题的思路、方法和技巧，并通过一法多题、一题多解的方式兼顾知识的综合与交叉应用，在内容的安排上，既体现出各知识点间承上启下的关系，保持学科结构的系统性，又照顾到各知识点间的横向联系，为读者从全局上、总体上掌握所学的知识提供平台。为巩固所学的基本概念和基本定理，安排了基本题、综合题（侧重本章知识点的综合）和交叉综合题（侧重各章知识点间的综合）供读者选用，并附有读者自测题，供读者选用。
考虑到教学大纲和考试大纲中对理工类学生或考生的要求涵盖了对经管类学生或考生的要求，只是对所涉及的知识范围及知识点的掌握程度的要求有所不同，所以编写时并没有将经管类的内容单独列出进行编写。但在内容的编排及例题和习题的选择上，既体现了两者的不同之处，又兼顾了两者的共同之处。因此，本书同时适用于理工类与经管类学生或考生。
深入探索宇宙的秩序与随机：一部聚焦于非概率论与数理统计领域的精深著作 书名：解析数据的奥秘与模型的构建：统计推断、复杂系统动力学与信息熵的边界 引言：超越概率论的统计疆界 在信息爆炸的时代，我们被海量数据包围，然而，真正的挑战并非数据的收集，而是如何从这些杂乱无章的现象中提炼出可操作的知识和规律。本书并非概率论与数理统计的传统教科书，它避开了对基础随机变量、中心极限定理的常规论述，转而将目光投向了更前沿、更具挑战性的领域：复杂系统中的统计推断、非参数化建模的深度解析，以及信息论在量化不确定性方面的革命性应用。 我们承认概率论是理解随机性的基石，但当面对高度耦合、非线性的真实世界系统时，经典的参数化模型往往力不从心。本书旨在为读者提供一套超越传统框架的工具箱，使之能够在面对高维异构数据、动态演化过程以及系统内在信息流时，建立起更具鲁棒性和解释力的分析模型。 第一部分：高维数据与非参数化统计推断的精微之道 传统的统计推断严重依赖于对数据底层分布的先验假设（如正态性）。本书的开篇，即是对这种依赖性的深刻反思与突破。 第一章：高维几何的挑战与稀疏性原理 在维度灾难面前，欧氏距离和传统假设检验迅速失效。本章深入探讨了高维空间中距离测度的特性，特别是“远离中心”的现象。我们重点剖析了流形学习（Manifold Learning）的基础理论，包括Isomap、LLE等方法背后的几何假设。更重要的是，我们引入了稀疏性（Sparsity）作为解决高维问题的关键视角。Lasso、Elastic Net的理论基础，以及它们在特征选择和模型压缩中的优化机制，将被详尽推导。读者将理解，稀疏性不仅仅是一种正则化手段，更是一种对现实世界中“重要变量主导”现象的数学抽象。 第二章：核方法的原理与再生核希尔伯特空间（RKHS） 非参数回归的核心在于如何避免对函数形式的预设。本章详细阐述了核方法（Kernel Methods）的强大威力，尤其是它们如何通过核技巧将低维数据映射到无限维的特征空间中，从而在线性空间中解决非线性问题。我们将深入探讨再生核希尔伯特空间（RKHS）的理论结构，解释Mercer定理的实际意义。本书将着重分析高斯核、多项式核的内在性质，并探讨如何根据数据特性选择最优的核函数，而非仅仅依赖经验。 第三章：经验过程理论与一致性检验的极限 在处理有限样本时，我们渴望推断出关于整体的可靠结论。本章聚焦于经验过程（Empirical Processes）的收敛性分析，这是现代非参数统计检验的理论基石。我们不满足于简单地介绍Kolmogorov-Smirnov检验，而是深入探究Donsker定理（泛函中心极限定理）的严谨证明框架，以及如何利用这些工具来评估非参数估计量（如核密度估计器）的依根性（Consistency）和渐近分布。这部分内容要求读者具备扎实的分析基础，但其带来的对统计可靠性的深刻理解是无价的。 第二部分：复杂系统动力学与时间序列的结构化建模 真实世界中的许多系统（如金融市场、生态演替、气候变化）是动态演化的。本书的第二部分将关注如何用统计方法刻画和预测这些时间依赖性。 第四章：非线性时间序列的相空间重构与混沌指标 传统的ARIMA模型在面对非线性反馈回路时暴露了其局限性。本章转向动力系统理论在统计建模中的应用。我们将详细介绍Takens嵌入定理，解释如何通过简单的延迟坐标构建出原动力学系统的拓扑等价相空间。关键的分析工具——Lyapunov指数（用于衡量系统对初始条件的敏感性）和相关积分维度（Correlation Dimension）的计算方法与物理意义将被系统阐述，帮助读者量化一个时间序列是否具有内在的混沌特性。 第五章：状态空间模型与扩展卡尔曼滤波的工程实践 对于含有隐藏变量或潜在状态的动态系统，状态空间模型（State-Space Models）是描述其演化的标准框架。本书将聚焦于扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）的迭代过程。我们将详细分析EKF中雅可比矩阵的构建，以及它在处理高斯近似的局限性。此外，我们还将探讨如何利用粒子滤波（Particle Filtering）的蒙特卡罗方法，来处理状态变量或观测噪声分布非高斯的情况，这在实际的传感器融合与跟踪问题中至关重要。 第三部分：信息论在量化不确定性中的前沿应用 信息论，由香农奠基，提供了一种全新的、超越频率和概率概念的度量不确定性和信息量的方法。 第六章：香农熵的推广与相对熵的结构分析 本书将信息论提升至分析工具的高度。我们不仅复习香农熵，更深入探究Renyi熵和Tsallis熵等非标准熵的性质，以及它们在处理长程相互作用系统时的适用性。核心内容将放在Kullback-Leibler（KL）散度（即相对熵）上。我们将展示KL散度如何作为两个概率分布间“距离”的度量，并探讨其在最大熵原理（Maximum Entropy Principle）中的核心地位——如何通过最大化熵来选择在给定约束下“最不具有偏见”的模型。 第七章：复杂网络中的信息流与结构熵 在现代科学中，大量现象可以被抽象为网络结构（如社交网络、基因调控网络）。本章将信息论工具应用于网络科学。我们将定义网络熵，并分析信息在网络结构中的扩散与集中趋势。重点讨论互信息（Mutual Information）如何用于发现高维数据中变量对之间的非线性依赖关系，这比传统的皮尔逊相关系数更具洞察力。读者将学会如何利用信息论指标来识别网络中的关键节点（Hubs）和信息瓶颈。 结论：构建解释性模型的未来方向 本书的最终目标，是培养读者一种批判性的、跨学科的分析思维。它引导读者认识到，统计分析的未来不在于不断细化已有的参数模型，而在于掌握那些能适应复杂性、拥抱非线性和高维度的强大理论框架。通过对非参数方法、动力学重建和信息论的深入剖析，本书为研究人员和工程师提供了驾驭下一代数据挑战所需的理论深度与实践广度。 --- 目标读者群： 本书适合具有扎实高等数学和基础概率论知识的研究生、博士生，以及从事数据科学、复杂系统建模、机器学习前沿研究的专业人士。阅读本书将极大地拓宽您对“统计”二字的理解边界。
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