具体描述
《高等数学课程学习指导书(上理科方向)/小学教师进修高等师范专科小学教育专业》是小学教师进修高师专科小学教育专业教材（理科方向）《高等数学（上）》的配套书.内容包括函数、极限与连续、导数和微分、导数的应用、不定积分、定积分等六章，各章又分成学习要求、内容指导、例题选择、自测试题与答案四个部分，可供在职小学教师进修高等数学课程参考。
《微积分基础教程与习题精解》 （内容提要：本书旨在为初学者提供一套全面、深入且实践性强的微积分学习指南，内容涵盖传统微积分的核心概念、计算技巧以及在不同工程与科学领域的初步应用。全书结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者建立扎实的数学分析基础。） --- 第一部分：函数、极限与连续性 第一章：实数系统与初步概念 本章首先回顾了微积分学习所必需的实数系统基础，包括有理数与无理数的概念，实数的完备性——确界原理（Supremum and Infimum）。随后，引入了区间、邻域的概念，为后续极限的严格定义做准备。重点讲解了“$epsilon-delta$”语言的建立，这是理解微积分严谨性的基石。我们详细剖析了有界数列的性质，特别是波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）在数列收敛性证明中的应用。本章强调从几何直观过渡到代数与拓扑的严格表达。 第二章：数列的极限 本章专注于数列极限的严谨定义和基本性质。我们通过大量的实例演示如何运用极限的定义证明数列的收敛与发散。关键内容包括极限的四则运算法则、单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）的应用。此外，还引入了子数列（Subsequences）的概念，并深入探讨了聚点（Accumulation Points）的概念，为柯西收敛准则（Cauchy Criterion for Convergence）的引入打下基础。 第三章：函数的极限 函数的极限是微积分分析的起点。本章详细区分了函数在某一点的极限、单侧极限（左极限与右极限）以及无穷远处的极限。我们再次运用 $epsilon-delta$ 语言来精确刻画函数的极限，并通过极限的保序性、局部有界性等性质来简化计算。章节末尾讨论了无穷大（$infty$）作为极限值出现的情况，并初步引入了比较函数的工具，如“$o$”（小o）和“$O$”（大O）符号，为级数分析做铺垫。 第四章：函数的连续性 连续性是函数性质中最为核心的概念之一。本章从直观的“不间断画图”过渡到严格的极限定义。我们系统讨论了函数在一点的连续性、闭区间上连续函数的性质，特别是闭区间套定理（Nested Interval Theorem）、介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）以及最大值与最小值定理（Extreme Value Theorem）。这些定理不仅是理论分析的工具，也是解决实际问题（如优化问题）的理论基础。本章还涉及了初等函数（多项式、有理函数、三角函数、指数函数、对数函数）的连续性证明。 --- 第二部分：导数与微分 第五章：导数的概念与几何意义 本章引入了导数（Derivative）这一核心概念，将其定义为函数在某一点的瞬时变化率。通过割线斜率趋于切线斜率的极限过程，阐释了导数的几何意义——切线的斜率。我们讨论了可导性与连续性的关系（可导蕴含连续）。同时，导数的物理意义，如瞬时速度和加速度，也被详细阐述。本章着重于计算导数是否存在以及如何处理非光滑点（如尖点和垂直切线）。 第六章：导数的计算法则 本章系统化了导数的计算方法。内容包括：常数、幂函数、三角函数的求导公式；两个函数和、差、积、商的求导法则；以及最为重要的链式法则（Chain Rule）——这是复合函数求导的基石。本章还详细介绍了指数函数和对数函数的导数，以及反函数的求导法则。通过大量范例，确保读者能够熟练、准确地应用这些法则。 第七章：高阶导数与隐函数求导 在掌握一阶导数的基础上，本章引入了二阶及更高阶导数，并探讨了它们在判定函数凹凸性上的作用。重点内容是隐函数求导法（Implicit Differentiation），这对于处理非显式表达的函数关系至关重要。我们还引入了参数方程下导数的求法，并讲解了曲率（Curvature）的初步概念。 第八章：微分学在近似计算中的应用 本章探讨了微分（Differential）的概念及其与增量的关系。重点在于利用线性近似（Tangent Line Approximation）进行函数值的估算。此外，我们应用了误差分析，讨论了测量误差如何通过微分传递到计算结果中，这在工程测量和实验数据处理中具有极高的实用价值。 --- 第三部分：导数的应用 第九章：中值定理与不定式极限 本章是微积分理论的深化部分。首先，我们深入证明并应用罗尔定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem, MVT），理解MVT在证明不等式中的强大能力。随后，柯西中值定理的引入为洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的严格建立奠定基础。本章将洛必达法则应用于处理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 等不定式极限，并扩展至 $0 cdot infty$, $infty - infty$, $1^infty$, $0^0$, $infty^0$ 等其他不定式。 第十章：函数的性态分析与绘图 本章是导数应用最直观的部分。利用一阶导数分析函数的单调性（增减区间）和极值（局部最大值与最小值）。利用二阶导数分析函数的凹凸性（Concavity）和拐点（Inflection Points）。通过系统地结合极限、渐近线、极值和拐点，我们教授读者如何精确地描绘复杂函数的图形，实现“由数到形”的转换。 第十一章：曲率与曲率半径 本章在几何应用上更进一步，定义了曲率（κ）的概念，用以衡量曲线弯曲的程度。通过公式推导和计算，展示了曲率在描述曲线局部形状上的作用，并计算了常见的几何图形（如圆、抛物线）的曲率半径。 第十二章：最优化问题 本章将理论导数知识应用于解决实际中的最优化问题。从简单的几何体积最大化或成本最小化问题开始，系统地指导读者如何建立目标函数，确定约束条件，并利用导数判别法（一阶导数检验法和二阶导数检验法）找到全局最优解。本章强调建立数学模型的过程。 --- 附录：微积分中的常用不等式与证明技巧 本附录提供了在整个学习过程中经常使用的重要不等式，如算术-几何平均不等式（AM-GM Inequality）的引申及其与微积分概念的联系。同时，提供了关于归纳法、反证法在微积分证明中应用的简要指导。 本书特点： 1. 严谨性与直观性的平衡： 在确保数学定义严谨性的同时，辅以丰富的图形解释和生活实例，帮助初学者跨越理解的鸿沟。 2. 注重基础训练： 每一个定理的引入都伴随着对核心概念 $epsilon-delta$ 语言的反复强化。 3. 计算技巧全面覆盖： 对所有核心的求导法则和洛必达法则的应用进行了详尽的步骤分解和范例解析。
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