数值分析(修订版) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:北京航空航天大学出版社

作者:颜庆津

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-08-22

价格:16.0

装帧:简裝本

isbn号码:9787810129305

丛书系列:

图书标签:

数值分析
科学计算
数学
高等教育
理工科
算法
数值方法
工程数学
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数学建模

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具体描述

现代数值计算方法与应用图书简介本书系统地介绍了现代数值分析领域的核心理论、基础算法及其在工程、科学计算中的实际应用。全书内容涵盖了从基础的误差分析到高级的偏微分方程数值解法，旨在为读者提供坚实的理论基础和强大的计算工具箱。本书力求在严谨性与实用性之间取得平衡，不仅深入剖析了算法背后的数学原理，更强调了这些方法在实际计算环境下的效率、稳定性和可靠性。第一部分：基础与误差分析本书首先从数值计算的基石——浮点数运算和误差分析入手。详细阐述了计算机如何表示实数，包括单精度和双精度浮点数的存储结构，以及由此带来的截断误差和舍入误差。我们引入了机器 $epsilon$ 的概念，并对不同运算的误差传播特性进行了量化分析。重点讨论了病态问题（Ill-conditioning）对数值解精度的影响，并引入了条件数的概念，用以衡量问题的敏感性。通过大量的实例分析，读者将深刻理解“计算结果的精度取决于输入数据的质量和所选算法的稳定性”这一核心原则。第二部分：线性方程组的数值解法线性代数方程组 $Ax=b$ 是科学与工程计算中最常见的问题之一。本部分系统地梳理了求解此类问题的各种数值方法。直接法：详细介绍了高斯消元法及其误差分析，并对其进行了深入的 LU 分解、Cholesky 分解（针对对称正定矩阵）以及带状矩阵的求解优化。特别关注了满秩矩阵的分解算法的数值稳定性，例如引入的部分主元选择策略。迭代法：针对大规模稀疏线性系统，重点阐述了经典的迭代方法，包括雅可比迭代（Jacobi）、高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel）以及超松弛迭代（SOR）法。对于更高效的求解，本书深入探讨了 Krylov 子空间方法，如共轭梯度法（CG）、最小残量法（MINRES）以及 GMRES（广义最小残量法），并分析了它们的收敛速度和预处理技术（如代数多重网格预处理等）在加速收敛中的关键作用。第三部分：非线性方程与优化问题本部分聚焦于寻找方程的根和求解优化问题。非线性方程求解：详述了不动点迭代，重点讲解了牛顿法及其收敛性（线性收敛、二次收敛），并讨论了欠驱动情形下的割线法（Secant Method）和假想牛顿法（Quasi-Newton Methods），如 BFGS 算法，后者在不要求计算精确导数时表现出优越的性能。最优化理论基础：引入了无约束优化问题，讲解了基于梯度的下降法（最速下降法）和牛顿型方法。对于大规模问题，本书侧重于拟牛顿法，特别是 L-BFGS（Limited-memory BFGS）算法，分析了其在内存效率上的优势。此外，还介绍了对约束优化问题的基础方法，如拉格朗日乘子法和内点法（Interior Point Methods）的基本思想。第四部分：插值与函数逼近函数逼近是数据分析和函数重构的基础。本部分详细探讨了插值方法及其在数据拟合中的应用。多项式插值：深入分析了拉格朗日插值、牛顿插值（带均差的构造），并详细讨论了龙布插值（Runge 现象）揭示的等距节点高次插值的局限性。样条插值：重点介绍了分段多项式插值——三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），阐述了其在保证一阶和二阶连续性方面的优势，使其成为工程实践中最常用的插值工具。最佳平方逼近：介绍了最小二乘法（Least Squares Fitting）在线性模型和多项式模型中的应用，并阐述了其与正交多项式（如勒让德多项式）之间的紧密联系。第五部分：数值微分与积分数值微分：基于有限差分公式的推导，我们详细分析了前向差分、后向差分和中心差分的精度与稳定性。重点讨论了如何利用高阶差分公式来减少微分误差。数值积分（Quadrature）：详述了牛顿-科茨公式族，包括复合梯形法则和复合辛普森法则，并分析了它们的代数精度。本书进一步介绍了高斯求积法（Gauss Quadrature），阐明了高斯点和高斯权重如何通过正交多项式实现最优的积分精度。同时，涉及了自适应步长和误差控制的数值积分策略。第六部分：常微分方程的数值解法 (ODEs) 常微分方程在描述动态系统的变化规律中至关重要。本部分侧重于初值问题 $y'(t) = f(t, y(t)), y(t_0) = y_0$ 的数值求解。单步法：详细推导并分析了欧拉法（前向和隐式）的稳定性和收敛性。随后，引入了更为精确的龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是经典的四阶 RK4 算法，并讨论了如何通过局部截断误差估计来实现变步长控制。多步法：介绍了 Adams-Bashforth（开式）和 Adams-Moulton（闭式）族方法，以及如何结合使用以实现高效率和高精度。刚性问题 (Stiffness)：专门讨论了刚性 ODE 系统，并介绍了隐式方法（如后向欧拉法）和 A-稳定性（Absolute Stability）的概念，解释了为什么在处理刚性系统时，稳定性比高阶精度更为关键。第七部分：偏微分方程的数值解法基础 (PDEs) 本部分作为高级主题的引言，简要介绍了求解偏微分方程的主要数值框架。有限差分法 (FDM)：针对经典的抛物型（如热传导方程）、椭圆型（如泊松方程）和双曲型（如波动方程）方程，介绍了如何用差分近似离散化空间和时间导数，构建代数方程组。重点分析了傅里叶热传导问题的稳定性和 CFL 条件。变分法基础：简要介绍了弱形式（Variational Formulation）的概念，为后续学习有限元方法（FEM）奠定必要的理论铺垫。总结与展望本书的每一章都穿插了大量的算法伪代码和计算实例，并提供了 MATLAB/Python 等主流编程语言的实现思路，以帮助读者将理论知识快速转化为解决实际问题的能力。我们致力于培养读者批判性地选择和评估数值算法的能力，理解计算效率、收敛性与稳定性的内在权衡。本书是面向工程、物理、金融、计算机科学等领域研究生和高年级本科生的理想教材，也是相关专业研究人员和工程师进行高级数值计算的实用参考手册。