具体描述
本书是高等学校线性代数与解析几何课程的辅导书。全书以章为单位，每章分内容提要、基本要求与要点提示、典型例题、复习题四个部分，并给出了复习题的参考答案。
本书内容丰富，例题题型较多，可供学生在学习线性代数与解析几何课程的过程中使用，也可作为考研辅导和教师的教学参考书。
《高等数学精讲与习题全解》图书简介 本书聚焦于构建扎实的微积分基础与严谨的数学思维训练，全面覆盖大学本科阶段高等数学的广度和深度，尤其侧重于概念的直观理解与计算技巧的熟练掌握。 本教材体系设计精良，旨在服务于数学、物理、工程、经济等对数学基础要求极高的专业学生。我们深知，高等数学是连接基础科学与应用技术的桥梁，因此，本书不仅致力于传授公式与定理，更强调逻辑推理的严密性和数学建模的能力培养。 --- 第一部分：微积分基础——函数、极限与连续性 (Volume I: Foundations of Calculus) 本部分是全书的基石，详细阐述了微积分学的基本概念框架。 第一章：实数系统与函数 本章从集合论和实数系的完备性公理出发，系统地回顾了函数的基本性质，包括有界性、单调性、奇偶性及周期性。我们引入了函数运算的代数结构，并通过大量实例讲解如何构造复合函数和反函数。特别关注了初等函数（多项式、指数、对数、三角函数及其反函数）的性质剖析及其图像变换技巧，为后续的微积分分析奠定坚实的代数基础。 第二章：极限与收敛性 极限是微积分的灵魂。本章深入探讨了极限的$varepsilon-delta$定义，并将其推广至函数在无穷远处的极限。我们详细分析了数列的极限与函数的极限之间的内在联系。教材不仅提供了经典的极限计算方法（如等价无穷小代换法、洛必达法则的预备知识），更侧重于极限存在的充要条件（如柯西收敛准则）。此外，对单调有界数列必有极限这一核心定理，进行了详尽的拓扑几何意义的阐释。 第三章：连续性与间断点 连续性概念被置于严谨的分析框架下。本章系统分类讨论了函数在点上的连续性定义，并延伸至闭区间上的连续函数所具有的优良性质——有界性定理、最值定理和介值定理。这些定理在解决实际问题中的应用被置于突出地位。同时，我们对第一类、第二类（跳跃、振荡、不可去）间断点进行了细致的辨识和分类，并结合实例分析了狄利克雷函数等经典病态函数的行为。 --- 第二部分：微分学——瞬时变化率的度量 (Volume II: Differential Calculus) 本部分着重于描述变化率，是理解物理学中速度、加速度以及经济学中边际量的前沿知识。 第四章：导数与微分 导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率）被清晰地分离和阐述。本章系统推导了所有基本函数的求导法则，并对复合函数求导法则（链式法则）的普适性进行了深入论证。微分的概念被引入，明确了微分是线性近似，并展示了如何利用微分进行误差估计和近似计算。 第五章：微分中值定理与导数的应用 这是理论与应用结合最紧密的部分。我们首先详细证明了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并阐释了它们在证明其他数学命题中的关键作用。紧接着，我们深入探讨导数的应用： 函数图像的描绘：利用一阶、二阶导数分析函数的单调区间、极值点、凹凸性及拐点，并精确绘制函数图像。 极值问题：区分必要条件和充分条件，处理带约束条件的极值问题。 曲率与曲率半径：引入高阶导数，分析曲线的弯曲程度，这是几何应用的关键。 第六章：高阶导数与隐函数、参数方程求导 本章扩展了导数的概念。通过莱布尼茨公式计算乘积的高阶导数。对隐函数求导，我们不仅关注其计算过程，更强调其背后的隐函数定理的思想（尽管此处不进行严格证明）。参数方程的求导被视为微分学在空间曲线分析中的初步应用。 --- 第三部分：积分学——积累与总量 (Volume III: Integral Calculus) 本部分关注如何将无限小的部分累加起来，以求得总量或面积、体积等几何量。 第七章：不定积分与积分技巧 不定积分被定义为导数的反运算。本章系统分类讲解了计算不定积分的四大核心方法： 1. 直接积分法：基于导数公式的逆用。 2. 代换法（换元积分法）：对复合函数积分的通用技巧，包括第一、二类换元法。 3. 分部积分法：处理乘积形式积分的关键，强调选择合适的部分进行积分与微分。 4. 有理函数积分：详尽讲解部分分式分解法，这是求解特定复杂积分的系统性步骤。 第八章：定积分及其应用 定积分的概念基于黎曼和的极限。本书通过物理中的功、面积等实例，建立定积分的直观理解。牛顿-莱布尼茨公式被视为连接微分学与积分学的核心桥梁。随后的应用章节涵盖： 几何应用：平面图形的面积计算（包括旋转体体积、弓形面积）。 物理应用：变力做功、压力、质心和转动惯量的计算。 特殊积分：曲线的弧长计算。 第九章：广义积分 本章处理积分上限或下限为无穷大，或被积函数在区间内存在无穷间断点的情况。我们严格界定了第一类和第二类广义积分的收敛性判别标准（利用比较判别法和极限比较判别法），并探讨了它们在物理学和工程中的收敛性意义。 --- 第四部分：多元函数微积分初步 (Volume IV: Introduction to Multivariable Calculus) 本部分将一元函数的概念推广到多维空间，为理解更复杂的工程和物理模型做准备。 第十章：空间向量与偏导数 本章首先复习了空间直角坐标系、向量代数（点积与叉积）及其在几何上的意义。随后，进入多元函数的世界，定义了偏导数和全微分。我们重点强调全微分是多元函数局部线性化的关键。 第十一章：多元函数的极值与梯度 本章的核心在于链式法则在多元函数中的推广，以及泰勒公式在二维空间中的表达。极值问题通过计算一阶偏导数为零的点（驻点）并利用二阶偏导数判别法（Hessian行列式）来解决。梯度向量被引入，作为函数增长最快的方向，这是理解场论和优化算法的基础。 --- 本书特色 1. 深度与广度兼顾：覆盖了传统微积分课程的所有核心内容，并适度引入了级数理论的初步概念（如泰勒级数和幂级数的基础），为后续学习微分方程和复变函数打下坚实基础。 2. 例题的层次性：每个章节配备了大量精选例题，从基础概念验证题，到需要综合运用多项定理的复杂计算题，再到启发数学思维的应用题，确保读者能够循序渐进地掌握知识。 3. 注重几何直观：大量使用几何图形和物理模型来解释抽象的微积分概念，特别是对极限、导数、定积分的几何意义进行了细致的可视化阐述。 4. 严谨的数理逻辑：虽然避免了过于深奥的拓扑学讨论，但对核心定理的证明过程清晰、准确，培养读者严谨的数学推理能力。 通过本书的学习，读者将不仅能够熟练运用高等数学工具解决实际问题，更能建立起对量变引起质变这一数学思想的深刻理解。
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