Morita Equivalence and Its Generalizations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学

作者:汪明义

出品人:

页数:196

译者:

出版时间:2006-6

价格:70.00元

装帧:

isbn号码:9787030084897

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Morita equivalence
• Representation theory
• Algebraic topology
• Category theory
• Homological algebra
• Noncommutative algebra
• Operator algebras
• Mathematical physics
• Ring theory
• Module theory

好的，这是一本关于拓扑学和代数几何领域中重要概念的深度探讨，暂定书名为《拓扑结构与代数几何的深层联结：从黎曼曲面到范畴理论》。 --- 拓扑结构与代数几何的深层联结：从黎曼曲面到范畴理论 本书导言 代数几何与拓扑学，作为现代数学的两大支柱，其交汇点往往孕育着最深刻的洞见。本书旨在系统地梳理和深入剖析连接这两个领域的关键桥梁，尤其关注那些依赖于几何直觉和代数精确性的核心理论。我们不再将目光局限于某一特定领域内的局部进展，而是着眼于构建一个宏观的框架，用以理解几何形貌如何编码于代数关系之中，以及拓扑不变量如何在代数结构中得到自然体现。本书的叙事线索将从经典的解析几何出发，逐步过渡到现代的范畴论语言，为读者提供一个既有历史深度又具前沿视野的知识图景。 第一部分：黎曼几何与复流形的拓扑基础 本书的开篇将追溯复分析中黎曼曲面的思想如何为现代拓扑学奠定基石。 第一章：黎曼曲面的代数与几何统一 我们将详细探讨黎曼曲面的概念，从其作为一维复流形的定义出发，阐述其拓扑性质（如亏格）如何与其代数结构（如函数域）紧密关联。重点将放在狄利克雷原理、调和函数理论在黎曼曲面上的应用，以及如何利用复分析工具来研究其基本群和同调群。我们将特别分析考斯塔夫-科温伯格定理，探究代数曲线的几何属性如何通过其函数域的结构完全确定。这一部分的探讨将强调“几何-拓扑不变性”的初步体现。 第二章：纤维丛、陈类与拓扑不变量的代数解读 进入微分拓扑领域，我们将介绍纤维丛理论作为连接光滑流形与代数结构的关键工具。本书将细致讲解向量丛、主丛的概念，并深入探讨陈类（Chern Classes）的定义及其拓扑意义。我们将阐述这些拓扑不变量如何通过上同调理论（Cohomology Theory）被精确计算，特别是德拉姆上同调与复上同调之间的关系。通过实例分析，读者将看到如何利用这些代数工具（如楔积、外微分）来量化流形的“扭曲”程度，并将其与曲率的积分形式联系起来。 第二部分：代数几何的几何化视角 在理解了拓扑学的基本工具后，我们将转向代数几何，重点讨论如何利用几何学的观点来重构代数对象。 第三章：概形理论的几何基础 本书将避免过于抽象的引入，而是侧重于“概形”这一概念的几何直觉。我们将从扎里斯基拓扑出发，探讨环谱（Spec(R)）如何成为代数对象集合化的自然空间。我们将详细阐述层（Sheaves）的概念，特别是凝聚层（Coherent Sheaves），并解释它们在代数几何中扮演的角色——它们是研究代数簇局部性质的“拓扑工具”。本章将强调，概形理论提供了一种统一的语言，使得我们可以用处理几何空间的方法来研究任意交换环。 第四章：代数曲线与模空间 我们将聚焦于模空间理论，这是几何化思想的巅峰体现。我们将分析如何构造描述特定类型几何对象的空间——即模空间。以代数曲线的模空间（如莫德里空间 $mathcal{M}_g$）为例，我们将探讨其拓扑性质（如紧化、奇点结构），并讨论这些拓扑特征如何反映了被参数化的曲线族本身的几何演化。这里会涉及对稳定曲线和有理曲线的讨论，展示代数几何如何通过紧化过程来处理退化情况，从而获得一个完备的拓扑空间。 第三部分：拓扑与代数的深层交汇：范畴论的视角 最后一部分，我们将提升到更高的抽象层次，探讨范畴论如何作为统一的语言来描述几何与代数之间的对偶关系。 第五章：函子、自然变换与对偶性原理 本章将系统介绍范畴论的基本概念：对象、态射、函子和自然变换。我们强调范畴论提供的视角——关注结构之间的“映射”而非对象本身的内部结构。随后，我们将深入讨论阿贝尔范畴（Abelian Categories）及其在同调代数中的作用。重点在于“对偶性原理”的范畴论表述，这为理解代数几何中的各种对偶定理（如庞加莱对偶）提供了普适的框架。 第六章：拓扑、代数与范畴的交融 本章将是全书的总结和展望。我们将探讨如何通过“几何范畴”来统一前文所述的内容。例如，如何将光滑流形的拓扑结构用其上的凝聚层范畴 $ ext{Coh}(X)$ 来描述（Serre-Grothendieck 理论的几何直觉）。我们将讨论导出范畴（Derived Categories）在连接代数K理论、拓扑K理论以及复几何中的重要性。最后，本书将以对某些现代几何理论的概述作结，例如如何用范畴的语言来理解和推广经典的几何变换。我们将论证，只有通过这种高度抽象的语言，我们才能真正捕捉到几何形态与代数约束之间最深刻、最本质的联系。 本书特色 本书对读者有一定要求，需要具备复分析、代数拓扑和抽象代数的基础知识。我们的目标是构建一个完整的知识网络，而非碎片化的知识点。全书论证严密，推导详尽，旨在引导读者从经典直觉走向现代抽象，最终能够运用范畴论的强大工具来分析和解决复杂的几何问题。本书的价值在于提供了一个跨越多个数学分支的统一视角，揭示了隐藏在不同数学表象之下的深层结构和谐振。 ---

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