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出版者:电子工业出版社

作者:Michael D.Greenberg

出品人:

页数:1348

译者:

出版时间:2004-3-1

价格:114.00元

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787505397156

丛书系列:

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探寻现代科学的基石：一部跨学科的数学理论与应用指南 书籍名称：《现代科学与工程中的数学方法》 书籍简介： 本书旨在为处于信息时代前沿的工程师、科学家以及高年级理工科学生提供一套全面、深入且极具实践指导意义的数学工具箱。它超越了传统高等数学的范畴，聚焦于那些在现代物理学、计算机科学、数据科学、金融工程以及复杂系统分析中扮演核心角色的数学分支。我们的目标是搭建理论的深度理解与实际工程应用的桥梁，确保读者不仅掌握“如何计算”，更能理解“为何如此计算”以及“在何种情境下应用”。 全书结构严谨，内容涵盖了从基础的分析工具到前沿的计算方法，共计六大部分，力求覆盖现代工程问题所需的数学素养的广度和深度。 --- 第一部分：高级分析工具与函数空间基础 (Advanced Analytical Tools and Functional Space Foundations) 本部分着重于对传统微积分概念的升华与推广，为处理无限维空间中的问题奠定理论基础。 1. 勒贝格积分理论的再审视与推广： 我们不再局限于黎曼积分的局限性，深入探讨勒贝格测度和积分的构造。重点阐述了测度论在概率论和泛函分析中的地位，以及如何利用这些工具处理不规则函数和高维数据空间的积分问题。引入单调收敛定理、优控收敛定理等核心工具，并给出其在极限交换中的应用案例。 2. 傅里叶分析的深化与应用： 超越基础的傅里叶级数和变换，本章深入探讨了广义函数（或称为分布）的概念，这是处理信号处理中脉冲函数和奇异性的关键。详细讨论了小波分析（Wavelet Analysis）的基本思想、正交小波基的构造及其在信号去噪和特征提取中的优势，特别是与传统傅里叶方法的对比分析。 3. 变分法与泛函导数： 系统阐述欧拉-拉格朗日方程的推导，并将其推广到带约束条件的泛函极值问题。重点介绍拉格朗日乘子法在积分泛函中的应用，以及如何利用伽叨（Gâteaux）导数和弗雷歇（Fréchet）导数来定义泛函的微分，为后续的优化理论打下基础。 --- 第二部分：偏微分方程的数值与解析方法 (Analytical and Numerical Methods for PDEs) 偏微分方程（PDEs）是描述自然界中连续介质、场和波动现象的核心语言。本部分致力于解析解法的局限性，并重点强化数值求解策略。 1. 经典方程的理论解法： 对热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程进行系统分析。复习分离变量法和傅里叶变换法，并引入格林函数（Green's Function）方法，展示如何利用格林函数构造具有特定边界条件的齐次和非齐次方程的精确解。探讨这些解的稳定性和适定性（Well-posedness）。 2. 有限差分法（FDM）的深入研究： 详细介绍如何构造高阶精度的差分格式（如Lax-Wendroff, Upwind Schemes）。重点分析了隐式与显式方法的稳定性和收敛性，特别是CFL条件对时间步长的制约。通过案例研究，展示FDM在求解对流-扩散问题时的挑战与应对策略。 3. 有限元法（FEM）的理论框架： 这是处理复杂几何边界和非均匀材料问题的关键工具。本章从变分原理出发，构建弱形式（Weak Formulation），引入形函数（Shape Functions）和刚度矩阵的组装过程。通过一个二维弹性力学问题的实例，使读者清晰理解“剖分”、“基函数选择”和“全局刚度矩阵”的实际意义。 --- 第三部分：矩阵计算与特征值问题 (Matrix Computation and Eigenvalue Problems) 本部分关注大规模线性系统的求解，这是数值模拟和数据分析的瓶颈所在。 1. 稀疏矩阵的存储与迭代求解器： 针对工程中常见的由PDE离散化产生的巨大稀疏矩阵，详细介绍CSR、COO等存储格式的优劣。深入讲解迭代法，包括雅可比法、高斯-赛德尔法，并重点阐述Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES），分析其收敛速度与预处理器的选择（如代数多重网格法AMG的原理）。 2. 非对称矩阵的特征值分解： 对于工程中经常出现的非对称或非厄米系统，传统的QR算法难以直接应用。本章介绍如何利用相似变换（如Householder变换）将矩阵转化为 Hessenberg 形式，再应用QR迭代。同时，探讨Lanczos算法和Arnoldi算法在寻找最大或最小特征值时的高效性。 --- 第四部分：随机过程与概率建模 (Stochastic Processes and Probabilistic Modeling) 现代工程决策越来越依赖于对不确定性的量化与管理，本部分提供了处理随机性的数学框架。 1. 马尔可夫过程与随机微分方程（SDEs）： 系统介绍离散时间和连续时间的马尔可夫链，以及其在状态转移中的应用。重点转向布朗运动（Wiener Process）的性质，并推导伊藤（Itô）积分的定义和伊藤公式。利用SDEs对金融市场波动、布朗运动下的粒子扩散等问题进行精确建模。 2. 随机过程的数值模拟： 讨论求解SDEs的数值方法，如欧拉-伊藤法和Milstein方法，强调其精度阶数。介绍蒙特卡洛模拟在复杂系统中的应用，并探讨方差缩减技术（如重要性抽样、控制变量法）以提高模拟效率。 --- 第五部分：优化理论的高级主题 (Advanced Topics in Optimization Theory) 本部分将优化思想从传统约束最小化推向更复杂的非光滑和大规模优化领域。 1. 非线性规划的内点法： 详细解析内点法（Interior Point Methods）的核心思想，特别是路径跟随和障碍函数法。通过KKT条件，展示如何将约束优化问题转化为一系列无约束问题。此方法在凸优化和大规模线性规划中的应用非常广泛。 2. 共轭梯度法（CG）在非线性问题中的扩展： 将CG法从求解线性系统推广到求解非线性函数的极小值问题，介绍Fletcher-Reeves和Polak-Ribière等共轭梯度算法，分析其在大型、无约束优化问题中的迭代收敛特性。 3. 凸优化与对偶理论： 系统阐述凸集、凸函数的基本性质。深入探究拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）在优化和机器学习（如支持向量机SVM）中的地位，解释对偶间隙（Duality Gap）的意义，并展示如何利用对偶问题简化原问题的求解难度。 --- 第六部分：应用专题——离散数学与信息论基础 (Applied Topics: Discrete Mathematics and Information Theory Foundations) 本部分简要触及那些在计算科学和工程信息传输中至关重要的离散数学结构。 1. 图论在网络分析中的应用： 复习图的基本概念，重点探讨最短路径算法（Dijkstra, Floyd-Warshall）以及最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）在网络流和资源分配中的应用。 2. 信息论基础： 介绍香农熵、互信息和交叉熵的概念，将这些信息论度量作为衡量系统不确定性和数据关联性的工具，为机器学习中的特征选择和模型评估提供数学基础。 总结： 本书内容环环相扣，从连续数学的深化到数值方法的实现，再到随机性的量化和最优化策略的制定，构成了一个完整的现代工程数学知识体系。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，并通过大量精心挑选的、源于真实工程场景的实例和习题，引导读者将抽象的数学概念转化为解决实际问题的强大武器。本书的最终目标是培养读者在面对未知、复杂的工程挑战时，能够迅速构建出精确、可计算的数学模型。

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这本书的封面设计朴实无华，厚重的纸张和略带泛黄的色调，初看之下，仿佛回到了那个充满纸墨香的年代，不禁让人心生亲近。我一直以来对数学在工程领域中的应用都抱有浓厚的兴趣，尤其是那些能够将抽象的数学理论转化为实际工程问题的桥梁。然而，市面上许多介绍工程数学的书籍，要么过于理论化，要么流于表面，难以真正触及核心。我希望这本书能够在这方面给我带来新的启发。它是否能够深入浅出地讲解那些复杂的数学工具，并清晰地展示它们在解决实际工程难题时所扮演的关键角色？我尤其关注书中是否提供了丰富的案例研究，能够让我看到这些数学概念是如何一步步被应用到诸如结构分析、流体力学模拟、信号处理等具体工程问题中的。一本好的工程数学教材，不仅要教授“是什么”，更要教会“怎么用”，甚至“为什么这么用”。我期待这本书能够像一位经验丰富的工程师，用扎实的理论基础和丰富的实践经验，引导我一步步理解数学的深邃与力量。它的章节安排是否合理？前沿内容是否有所涵盖？页数是否能支撑其内容的深度？这些都是我在翻阅之前，脑海中浮现的种种期待。我希望这本书能够成为我探索工程数学世界的一盏明灯，帮助我建立起坚实的数学功底，为未来的工程实践打下牢固的基础。

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我对于这本书最深的期盼，是它能够帮助我建立起一种“解决问题的思维模式”，而不仅仅是“记住知识的模式”。许多时候，数学学习容易陷入对公式和定理的机械记忆，而忽略了其背后的逻辑和思想。我希望这本书能够提供一些启发性的问题，引导我主动思考，而不是被动接受。例如，在介绍某种积分技巧时，是否会先提出一个需要积分解决的工程问题，然后引导我思考如何找到合适的积分方法？在学习矩阵运算时，是否会展示矩阵在描述线性变换、求解方程组等方面的思想？我期待这本书能够培养我独立分析问题、建模和求解的能力，让我能够举一反三，将学到的数学知识灵活地应用于各种新的工程挑战中。

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这本书的语言风格是我非常关注的一个方面。我希望它能够采用一种既严谨又不失生动的叙述方式，避免过于晦涩难懂的学术术语，同时又能保持数学的严谨性。我期待它能够像一位经验丰富的导师，用清晰的语言解释复杂的概念，并用恰当的比喻和类比来加深读者的理解。特别地，我希望书中能够提供一些历史性的视角，介绍某些数学工具的起源和发展过程，这有助于我理解它们的价值和意义。例如，介绍牛顿和莱布尼茨如何独立发展出微积分，或者高斯如何奠定现代数论的基础。这种人文关怀的融入，能够让我在学习数学的同时，也能感受到数学发展的魅力和人类智慧的光辉。我希望这本书能够成为我学习过程中的一个良师益友，在知识的海洋中为我指引方向。

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拿到这本书时，我首先被它的排版所吸引。字迹清晰，图文并茂，尤其是一些关键公式的标注，都做得非常用心。我一直认为，数学学习的过程，很大程度上也是一个与符号和图形对话的过程，而良好的排版能够极大地提升阅读的效率和愉悦感。我最关心的是书中对各种数学方法的推导过程是否严谨且易于理解。很多时候，我们虽然知道某个公式或定理能解决问题，但对其背后的逻辑和推导过程却知之甚少，这使得我们难以灵活运用，甚至在遇到变种问题时束手无策。我希望这本书能够在这方面做到精益求精，详细地展示每一个步骤，并辅以直观的图示或类比，帮助读者真正理解数学的“灵魂”。此外，书中对不同数学分支之间的联系是否有所强调？例如，微积分与微分方程的关系，线性代数在多变量函数分析中的作用等等。一个完善的工程数学体系，应该能够展现出各个部分之间的相互依存和促进。我期待本书能够构建起一个宏观的视角，让我看到数学工具的多样性和统一性，从而更好地掌握和运用它们。

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在学习工程数学的过程中，我常常感到一种“隔阂”，即理论知识的掌握与实际应用之间的距离。我非常期待这本书能够弥合这一鸿沟。我希望它能够提供丰富的、具有代表性的工程案例，并详细讲解如何将书中所学的数学工具应用于解决这些案例。例如，在讲解复变函数时，是否会涉及其在电路分析、流体力学中的应用？在介绍偏微分方程时，是否会展示它在热传导、波动传播等物理现象的建模和求解？我希望书中不仅仅是简单地列举应用领域，而是能够深入剖析这些应用背后的数学原理，并展示具体的求解步骤和结果分析。我希望通过这本书，我能够真正感受到数学的力量，理解数学如何成为解决工程难题的利器，从而提升我的工程实践能力。

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我对这本书的期望，在于它能否真正“接地气”。许多理论性的数学知识，一旦脱离了具体的工程背景，就显得空洞乏味，难以引起学习的兴趣。我希望这本书能够提供大量贴合实际工程应用的例子，从最基本的概念引入，逐步引导读者解决更复杂的工程问题。例如，在讲解傅里叶变换时，书中是否会展示它在音频信号降噪、图像压缩等方面的应用？在介绍数值方法时，是否会给出如何用有限元方法分析桥梁结构应力、用蒙特卡洛方法模拟粒子散射等具体的实例？我不仅希望看到这些应用的“结果”，更希望理解“过程”。书中对这些工程案例的分析，是否能够清晰地勾勒出数学模型建立、求解过程以及结果解释的完整链条？我期待这本书能够让我感受到数学的实用性和强大生命力，真正理解“数学是工程的语言”这句话的含义。同时，我也希望书中能够提供一些习题，其难度和类型能够覆盖到课堂学习和工程实践中的常见场景，以便我能够巩固所学，并锻炼解决实际问题的能力。

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这本书的内容对我来说，就像是一扇通往更深层次工程理解的大门。我一直对工程领域中的那些“幕后英雄”——那些驱动着复杂模拟、优化设计、预测结果的数学方法——感到好奇。我希望这本书能够为我揭示这些“英雄”的面纱，让我理解它们是如何被创造出来，又是如何在工程实践中发挥作用的。特别地，我对那些能够处理不确定性和随机性的数学工具，比如概率论和数理统计，在工程中的应用非常感兴趣。书中是否会详细介绍这些工具如何用于风险评估、质量控制、数据分析等方面？我希望它能提供一些真实的、具有挑战性的案例，让我看到如何利用这些数学工具来解决现实世界中的复杂问题。从最初的问题描述，到数学模型的构建，再到求解和结果的解读，每一个环节都希望能够得到清晰的阐述。我相信，真正掌握这些“幕后英雄”，才能在工程领域有所建树。

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拿到这本厚重的书，我脑海中浮现的第一个词是“系统性”。我希望这本书能够为我构建一个清晰、完整的工程数学知识体系。它是否能够从基础的代数、微积分开始，逐步深入到更高级的微分方程、线性代数、复变函数、概率统计等领域，并且能够清晰地展示这些分支之间的内在联系？我希望它能够像一张详尽的地图，让我能够清晰地看到工程数学的各个角落，并了解它们之间的相互关系。我期待它能够涵盖那些在现代工程中至关重要的数学工具，并且对它们的讲解足够深入，能够让我不仅仅是“知道”它们，更能“理解”和“运用”它们。一个系统性的学习过程，能够帮助我建立起扎实的数学基础，为我未来的工程学习和研究打下坚实的基础。

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当我翻开这本书，映入眼帘的是一系列精心设计的插图，它们并非简单的装饰，而是作为理解抽象概念的重要辅助。我一直认为，直观的图形比枯燥的文字更能帮助我建立对数学概念的深刻认识。比如，在学习微积分时，曲线下面积的几何意义，导数的斜率解释，复数的几何表示，这些都能够通过精美的图形得到直观的体现。我希望这本书能够在这方面做得足够出色，用大量的、高质量的插图来解释那些难以言说的数学原理。不仅仅是二维的图，二维的图，我也期待能够看到一些三维的图形，甚至是动态的模拟图，来展示函数的变化趋势，向量场的分布，或者溶液的演化过程。同时，我也关注书中是否提供了足够多的不同类型的例题，并且这些例题的解答过程是否详细，能够让我从中学习到解题的思路和技巧。一个优秀的数学教材，不仅仅在于知识的深度，更在于它如何将这些知识“可视化”和“可操作化”，让学习者能够轻松地跨越理解的障碍。

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对于这本书，我最看重的是它在方法论上的深度。我希望它不仅仅是罗列各种数学公式和定理，而是能够深入探讨这些数学工具背后的思想和哲学。例如，在学习变分法时，我希望能够理解它所蕴含的“最小化”或“最优性”的思想，以及它在解决诸如悬链线问题、最小表面积问题等经典问题时的优雅之处。同样，在学习张量分析时，我希望能够理解它在描述物理量和几何关系时的内在统一性，以及它在广义相对论等领域的强大威力。我期待这本书能够引导我思考“为什么”要用某种方法，而不是仅仅告诉“怎么”用。这种对方法论的深入挖掘，能够帮助我建立起更深刻的数学直觉，从而在面对新的问题时，能够灵活地选择和运用最适合的数学工具，而不是被固定的套路所束缚。

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