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出版者:

作者:李莉

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2001-4-1

价格:20.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787504440495

丛书系列:

图书标签:

• 统计学
• 概率论
• 数据分析
• 统计方法
• 基础统计
• 统计推断
• 回归分析
• 抽样调查
• 实验设计
• 数据科学

《高等代数及其应用》 作者：张文强 教授 出版社：高等教育出版社 版次：第三版（2024年修订） 定价：89.00 元 --- 内容简介 本书是为数学、物理、计算机科学、工程技术以及经济管理等专业本科生量身定制的一部全面、深入且注重应用的《高等代数》教材。它旨在系统地、严谨地构建线性代数的理论框架，同时通过大量精心挑选的实例和应用，展示代数工具在现代科学与工程中的强大威力。 本教材的编写严格遵循数学学科的逻辑递进规律，内容组织既注重基础知识的扎实掌握，又兼顾前沿研究的初步接触。我们力求在理论的深度与教学的可及性之间找到最佳平衡点。 --- 第一部分：基础结构与向量空间（The Foundation） 第一章：数域、集合与映射 本章首先回顾了实数域和复数域的基本性质，为后续的抽象代数结构打下基础。重点阐述了集合论中的基本概念，如等价关系和划分，为定义向量空间提供形式语言。映射（函数）的性质，特别是单射、满射和双射，在后续章节中用于定义同构和线性变换，故本章内容安排得尤为细致。 第二章：线性方程组与高斯消元法 作为连接初等代数与抽象代数的桥梁，本章详述了线性方程组的求解问题。我们引入了增广矩阵、初等行变换，并以严谨的步骤推导出高斯-约旦消元法。本章的核心在于克莱默法则和矩阵的秩概念。秩的引入不仅为判断线性方程组解的存在性和唯一性提供了充分必要条件，也为后续向量空间的线性相关性理论提供了直观的计算工具。矩阵的初等变换与矩阵的相似性问题也在此章进行了初步的探讨。 第三章：矩阵代数与行列式 本章系统地介绍了矩阵的定义、运算（加法、数乘、乘法）及其运算律。矩阵乘法的非交换性是本章的重点之一。在此基础上，我们详细论述了行列式的代数定义、性质（如行列式按行（列）展开定理）以及行列式的几何意义。行列式在计算矩阵的逆和解线性系统中的作用被充分展示。特别强调了矩阵的可逆性与行列式非零的等价性。 第四章：n维欧几里得空间 本章是抽象化的起点。我们将重点从具体的坐标向量扩展到抽象的向量空间。本章首先在欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中引入内积、长度（范数）和夹角的概念，这使得代数结构具备了度量和几何直观。随后，我们将抽象化，定义了具有内积的向量空间。施密特（Gram-Schmidt）正交化过程是本章的关键算法，它能将任意一组基转化为一组正交基或标准正交基，极大地简化了后续的几何和分析计算。 --- 第二部分：线性变换与对角化（The Core Theory） 第五章：线性映射 本章将矩阵视为操作数据的工具，转向研究空间之间的映射关系。详细定义了线性变换的性质，包括核空间（Kernel）和像空间（Image）的概念。秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）作为该章的核心理论，揭示了变换前后维度关系的深刻联系。本章还探讨了线性映射的矩阵表示，以及在不同基下矩阵之间的相似变换关系。 第六章：特征值与特征向量 特征值与特征向量是深入理解线性变换结构的关键。本章从求解特征多项式入手，系统介绍了特征值和特征向量的计算方法，以及特征子空间的性质。本章的理论高潮在于矩阵的对角化：何时一个矩阵可以被对角化，以及如何通过相似变换实现对角化。这为后续的微分方程求解和动力系统分析奠定了基础。 第七章：对称矩阵与二次型 本章专注于实对称矩阵的特殊性质，这是应用中最常见的一类矩阵。我们证明了谱定理（Spectral Theorem），即实对称矩阵一定可以正交对角化。紧接着，本章将理论应用于二次型的分析，包括二次型的标准形、规范形以及惯性定律。通过主元分析法和特征值法，我们对二次型进行了分类，这在优化问题（如最小二乘法）中至关重要。 --- 第三部分：抽象空间与应用扩展（Abstraction and Application） 第八章：多线性代数初步 本章开始拓宽视野，引入更抽象的概念。我们对域（Field）的概念进行了更严格的界定，并探讨了向量空间的直和概念。重点介绍了线性函数（线性泛函）以及由此引出的对偶空间。虽然篇幅有限，但本章为读者接触泛函分析和更高级的数学结构打下了必要的概念基础。 第九章：相似类与典范形 对于那些不可对角化的矩阵，我们需要更精细的结构描述。本章引入了Jordan块和Jordan标准形（JCF）。虽然计算相对繁琐，但JCF的存在性保证了在复数域上，任何线性变换都具有唯一的标准表示形式，这在微分方程理论中具有不可替代的地位。我们也会涉及初等因子理论的初步思想。 第十章：广义内积空间与度量 本章将第四章的欧几里得空间概念推广到更一般的域上，探讨内积空间（或称为正定双线性型空间）的结构。本章强调了正交分解和最小二乘法在函数空间中的应用，例如傅里叶级数的正交性基础。 --- 教学特色与应用导向 1. 计算与理论并重： 每章后均附有“计算与算法”部分，提供了数值稳定的计算方法和计算机辅助验证的思路，强调了线性代数作为工具的实用性。 2. 应用案例精选： 本书穿插了多学科的应用案例，包括： 图论： 利用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵分析网络连通性。 数据分析： 主成分分析（PCA）的理论基础，基于奇异值分解（SVD）的初步介绍。 控制理论： 状态转移矩阵与系统的稳定性分析。 3. 习题深度分级： 习题分为A（基础巩固）、B（计算与证明）和C（理论探索与延伸）三个难度等级，便于不同层次的学生选择性训练。 本书内容覆盖面广，逻辑严密，是理工科学生系统学习线性代数理论、掌握核心工具、并为后续专业课程打下坚实代数基础的理想教材。 --- 目标读者： 数学、物理学、信息与计算科学、电子工程、机械工程、经济学量化分析等专业的所有本科生。 参考课时： 64-80学时。

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