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出版者:人民中国出版社

作者:李宏新

出品人:

页数:604

译者:

出版时间:2001-7-1

价格:19.80

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787800657078

丛书系列:

图书标签:

• 高中数学
• 几何
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• 难题攻克

探索几何奥秘：从欧几里得到非欧几里得空间中的结构与变换 本书是一部面向高中及以上数学爱好者的深度几何学探索读物，旨在系统梳理和深入剖析几何学的核心概念、经典理论及其在现代数学与其他科学领域的广泛应用。本书不侧重于特定教材的习题解析或应试技巧的训练，而是致力于构建一个宏大而严谨的几何学知识体系，引导读者领略几何学之美与思维之精妙。 --- 第一部分：欧氏几何的严谨基石与拓展（The Rigorous Foundation of Euclidean Geometry and Its Extensions） 本部分将重温欧几里得几何的公理化基础，但视角将从初中阶段的直观理解提升到更具逻辑深度的分析层面。我们将详细考察欧氏几何的公理系统（特别是平行公设的地位与意义），并探讨如何通过不同的公理选择构建起一致的几何结构。 第一章：基础结构的重构与解析几何的交汇 本章超越简单的作图与证明，深入探究欧氏几何的刚体运动（即等距变换）。我们将使用向量代数和矩阵变换的工具，从代数角度精确刻画旋转、平移、反射等操作，从而揭示几何图形性质的不变性。 坐标系的本质与变换： 讨论不同坐标系（笛卡尔、极坐标、仿射坐标）之间的转换，理解坐标选择对问题描述的影响。 等距变换的代数表示： 利用 $2 imes 2$ 或 $3 imes 3$ 的正交矩阵描述平面和空间中的刚体运动，深入理解正交群 $O(n)$ 的结构。 解析几何的深度挖掘： 聚焦于二次曲线（圆锥曲线）的标准形推导，不再满足于公式的套用，而是通过配方法和特征值分析，揭示二次型与几何形状的内在联系。讨论如何用二次型来判别平面上的截面是椭圆、抛物线还是双曲线。 第二章：三角形与圆的深度性质探究 本章聚焦于欧氏几何中最核心的研究对象——三角形和圆，但采用更高级的几何工具进行分析，例如三角函数的高级应用和圆幂定理的推广。 三角学在几何中的深化应用： 不仅限于正弦定理和余弦定理，更深入探讨刘维尔定理（L'Huilier's Theorem，关于球面三角形面积与内角和的关系的推广形式）以及正切定理在复杂多边形关系中的应用。 圆的共轭与极点： 引入极线（Polar）的概念，详细讲解一个点相对于一个圆的极线，以及极点与极线在对偶原理中的体现。这是连接射影几何的桥梁。 几何中心线的精细构造： 讨论三角形的九点圆、欧拉线（Euler Line）的向量性质证明，以及费马点（Fermat Point）的构造与性质，着重于从能量最小化或最小化路径的角度进行解释。 --- 第二部分：射影几何的视角转换（The Transformation of Perspective: Projective Geometry） 射影几何研究在投影变换下保持不变的几何性质。投影变换允许平行线相交，是对欧氏几何基础的根本性挑战与拓展。 第三章：射影空间的构造与对偶性 本章将建立射影几何的公理体系，并着重讲解射影几何中最优雅的特性——对偶性原理。 齐次坐标与无穷远： 介绍齐次坐标（Homogeneous Coordinates）的引入，如何将欧氏平面 $mathbb{R}^2$ 嵌入射影平面 $mathbb{P}^2$，以及无穷远线（Line at Infinity）的几何意义。 投影变换（Projectivity）： 定义射影变换，并探究其不变量，如交比（Cross-Ratio）的定义与恒定性。重点分析交比在求解共线点或共点线段比例关系时的威力。 对偶原理的普适性： 详细阐述点与线在射影平面中的对偶关系。通过对偶关系，可以从已知的点集定理直接推导出对应的线集定理，例如帕斯卡定理（Pascal's Theorem）与布里安雄定理（Brianchon's Theorem）的互证。 第四章：二次曲线的射影处理 在射影几何中，所有圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）在投影下都是等价的，它们都只是一个更普遍的“二次曲线”在特定投影下的表现。 二次曲线的定义与矩阵表示： 使用二次型矩阵 $Q$ 来定义二次曲线 $x^T Q x = 0$，分析其在射影变换下如何保持其“二次性”。 极线与切线： 利用极线概念，简洁地定义圆锥曲线的切线。理解一个点是内点、外点还是在曲线上，与其极线的位置关系。 有向面积与齐次坐标下的交点： 探讨如何使用向量和矩阵运算在齐次坐标下精确计算两条二次曲线的交点，以及如何利用有向面积的概念来处理区域和方向问题。 --- 第三部分：几何学的高级分支与现代应用（Advanced Branches and Modern Applications） 本部分将涉猎超越平面和三维欧氏空间的几何学分支，展示几何学在拓扑学、微分几何以及计算机科学中的前沿应用。 第五章：微分几何的初步：曲线与曲面的分析 微分几何是将微积分工具应用于几何结构研究的学科。本章关注局部性质的分析。 曲线的内蕴性质： 引入曲率（Curvature）和挠率（Torsion）的概念，解释它们如何完全描述空间中曲线的局部弯曲程度和扭转程度。 曲面的第一、第二基本形式： 介绍描述曲面局部几何特性的核心工具。重点分析主曲率（Principal Curvatures）、高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature），并探讨它们在区分平面、球面、鞍面等不同类型曲面上的作用。 高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的意义： 深入解读高斯发现的这一重要定理——高斯曲率可以在不离开曲面本身的情况下被计算出来，这是内蕴几何学的基石。 第六章：拓扑学基础：几何学的“弹性”研究 拓扑学关注的是在连续形变（拉伸、挤压，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质，是研究“连通性”和“洞的数量”的几何学。 拓扑空间的定义与连续性： 简要介绍拓扑空间的基本概念，以及什么是连续函数。 拓扑不变量： 重点讨论连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）。解释为什么一个甜甜圈（环面）和一个咖啡杯（具有一个洞）在拓扑上是等价的，而一个球体（无洞）则不同。 欧拉示性数（Euler Characteristic）： 介绍欧拉示性数 $chi = V - E + F$ 在多面体和曲面分类中的关键作用，以及它在区分不同拓扑结构时的强大能力。 --- 结语：几何思维的延续 本书的最终目标是培养读者从结构、变换和不变性三个角度理解几何问题的能力。通过这些深入的理论探讨，读者将能更好地理解现代数学的深度，并为未来在代数几何、微分拓扑或其他相关领域的学习打下坚实的理论基础。本书旨在激发对几何学永恒魅力的探索欲望，而非仅仅是求解特定类型问题的能力。

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