数学奥林匹克竞赛标准教材·高中 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:文津

作者:周沛耕

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-1

价格:69.00元

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isbn号码:9787805544700

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数学的殿堂：探索高阶思维的密钥 本书并非直接教授奥林匹克竞赛的解题技巧，而是致力于为广大高中生构建一个坚实而深厚的数学基础，为他们打开通往更高层次数学思维的大门。它旨在培养读者对数学内在逻辑的理解，激发他们解决复杂问题的兴趣，从而在任何需要严谨思维和逻辑推理的领域都能游刃有余。 第一章：数的抽象与构造——从实数系统到代数结构 本章将带领读者深入探索数的本质。我们将从熟悉的实数系统出发，回顾数的起源，理解其完备性、有序性和代数封闭性。但我们的目光不会停留于此，我们将进一步触及数系的扩张，引入复数，揭示其几何意义和代数性质。通过对复数的深入研究，读者将初步接触到“代数结构”这一核心概念。我们会探讨群、环、域等基本代数结构的定义和性质，理解它们是如何抽象概括了数的运算规律，并能在更广阔的数学领域中得到应用。例如，我们会通过对称性引出群的概念，通过加法和乘法运算的分配律等性质引出环和域。本章的重点不在于繁复的证明，而在于培养读者对数学对象进行抽象和对运算规律进行归纳的能力，为后续章节理解更复杂的数学对象打下基础。 第二章：几何的变换与对称——欧几里得几何的升华与非欧几何的启示 在欧几里得几何的坚实基础上，本章将带领读者超越平面和空间的直观感知，进入几何的变换与对称的抽象领域。我们将系统地研究各种几何变换，如平移、旋转、反射、伸缩以及它们的复合。通过对这些变换的分析，读者将深刻理解对称性的概念，认识到对称性在数学和自然界中的普遍存在。我们会探讨点对称、线对称、面对称，并引申到更抽象的群论中的对称群概念。 更重要的是，本章将对欧几里得几何的公理体系进行审视，特别是平行公理。我们将介绍非欧几何的产生，如球面几何和双曲几何，理解它们是如何通过否定平行公理而构建出与欧几里得几何截然不同的几何世界。这部分内容旨在培养读者批判性思维，认识到数学公理的选择对整个数学体系的影响，以及不同公理体系下数学对象的丰富多样性。我们会通过一些简单的例子，如在球面上的三角形内角和大于180度，来直观展示非欧几何的奇妙之处。 第三章：函数的解析与映射——刻画变化规律的语言 函数是描述变量之间关系的强大工具，本章将深入探究函数的解析性质及其在数学中的映射思想。我们将从函数的定义和分类出发，重点研究初等函数的性质，如单调性、周期性、奇偶性、对称性等。在此基础上，我们将引入函数的可导性，理解导数作为瞬时变化率的几何意义和物理意义，以及它在优化问题中的应用。 更进一步，我们将探讨函数的极限和连续性，理解函数行为的精细刻画。然后，我们将引入“映射”的思想，将函数视为集合之间的对应关系。通过函数的复合、反函数等概念，我们将理解映射的性质，例如单射、满射、双射，以及它们与集合势的联系。本章将强调函数的解析方法，即通过代数表达式来研究函数性质，并初步接触到如何运用微积分工具分析函数。我们会通过一些经典例子，如指数函数、对数函数、三角函数的性质，来阐释函数的解析方法。 第四章：数列的递推与收敛——探索序列的动态规律 数列作为离散数学的重要组成部分，本章将聚焦于数列的递推关系和收敛性。我们将从基本的数列类型，如等差数列、等比数列出发，深入研究更复杂的递推关系，例如线性递推数列。通过分析递推关系，我们将学习如何预测数列的长期行为，并掌握一些求解递推数列通项的技巧。 本章的重点将放在数列的收敛性。我们将严谨地定义数列的极限，并介绍判断数列收敛性的各种方法，如单调有界定理、夹逼定理等。我们将通过实例，如调和级数、几何级数，来理解收敛性和发散性的重要性，以及级数求和在数学和工程中的广泛应用。本章旨在培养读者分析序列动态变化的能力，并理解无限过程的收敛性这一核心概念。 第五章：概率的统计与推断——量化不确定性的艺术 在信息爆炸的时代，理解和量化不确定性至关重要。本章将带领读者进入概率的统计与推断的世界，学习如何用数学的语言描述和分析随机现象。我们将从基本的概率概念出发，如事件、概率的公理化定义，以及条件概率、独立性等。 在此基础上，我们将引入重要的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等，理解它们的特征和应用场景。本章的另一个重要内容是统计推断。我们将介绍样本和总体，以及如何从样本数据中推断总体的性质，包括参数估计和假设检验的基本思想。我们会通过一些实际的例子，例如掷骰子、抛硬币的概率模型，以及通过调查数据来推断人口特征，来阐释概率统计的实际应用。本章的目的是培养读者用统计的视角看待世界，并掌握基本的定量分析方法。 第六章：组合的计数与生成——精巧的排列与组合艺术 组合数学是解决计数问题的有力工具。本章将深入探索组合的计数原理和生成函数。我们将从基本的排列和组合概念出发，学习如何计算不同情境下的组合数。然后，我们将引入更强大的计数工具，如容斥原理、鸽巢原理，并应用于解决一些看似棘手的计数问题。 本章的亮点将是生成函数。我们将理解生成函数如何将复杂的组合问题转化为代数问题，通过多项式的乘法和级数展开，来求解组合数。我们会通过一些经典的组合恒等式的推导，以及一些有趣的计数问题，例如棋盘覆盖问题，来展示组合数学的精妙之处。本章旨在培养读者抽象思维和构造性思维，并掌握解决计数问题的系统方法。 第七章：方程的求解与结构——代数方程的深层解析 本章将系统地探讨代数方程的求解方法及其背后的代数结构。我们将从一元二次方程的求根公式出发，逐步深入到高次方程的求解。我们会介绍韦达定理，理解根与系数之间的关系。 更重要的是，本章将引申到多项式方程的根的分布问题，例如代数基本定理的意义。我们会初步接触到伽罗瓦理论的思想，理解为什么五次及以上的一元多项式方程不存在一般的求根公式。我们将通过分析方程的结构，如对称性、变换不变性，来理解求解的困难和根的性质。本章的目的是让读者理解代数方程求解的复杂性，并初步接触到抽象代数在方程理论中的应用。 第八章：数的整除与同余——整数世界的奇妙规律 整数的整除性质是数论的基础。本章将深入探讨数的整除性、最大公约数、最小公倍数等基本概念，并引入欧几里得算法。在此基础上，我们将重点研究同余关系，理解模运算的性质，以及同余方程组的求解，例如中国剩余定理。 本章将展示整数世界中隐藏的深刻规律，例如费马小定理、欧拉定理等。我们将探讨素数的分布，以及一些经典的数论问题，例如哥德巴赫猜想。本章旨在培养读者严谨的逻辑推理能力，并领略数论的简洁与深刻。 结语 本书并非旨在灌输“竞赛题型”，而是希望通过对数学基础概念的深入挖掘和思维方式的训练，为读者构建一套属于自己的数学知识体系。每一个章节都力求从根源上理解数学的本质，掌握数学工具的内在逻辑，从而能够触类旁通，灵活运用。当你掌握了这些思想，面对任何数学难题，你将不再感到无从下手，而是能以一种系统、严谨、富有创造力的方式去探索和解决。这正是本书希望带给你的，一种持久而强大的数学能力。

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我收藏了很多不同版本的竞赛辅导书，但不得不说，这本教材在内容的系统性和前瞻性上做到了一个非常高的平衡。它没有一股脑地把所有“黑科技”知识都堆砌进来，而是有条不紊地构建了一个严密的知识体系。对于基础较弱的章节，它提供了足够的“脚手架”进行支撑，确保初学者能够稳步上升；而对于那些顶尖选手需要突破的瓶颈，它又提供了非常尖锐的、直击要害的解题技巧和思想指导。尤其是关于动态规划和图论在竞赛中的应用，它提供了一套行之有效的方法论，而不是零散的技巧集合。我最近在参加一次区域性模拟赛时，遇到一个需要巧妙运用拓扑思想的题目，我能迅速定位到书中对应的思路模板并加以变通，最终拿下了这道题的分数，这完全得益于平时的系统训练。这本书，绝对是值得反复研读、并作为核心参考书常备案头的佳作。

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初次接触这本教材时，我有些担心内容会不会过于晦涩难懂，毕竟是针对奥赛级别的深度。然而，阅读体验却相当流畅，这要归功于作者在语言表达上的功力。他仿佛是一位非常耐心的老教授，能够用最精准而又不失亲和力的语言去阐释那些抽象的数学概念。比如，在处理微积分中的极限与连续性时，作者引用了一些生动的比喻和物理场景来辅助理解，让原本冰冷的公式变得有“温度”起来。这一点非常重要，因为对于很多学生来说，思维的障碍往往不是计算能力不足，而是对概念本质的理解不够深刻。这本书在这方面做得非常到位，它鼓励读者去思考数学背后的美感和逻辑结构，而不是仅仅把它当成解题的工具。这种深入浅出的讲解方式，极大地激发了我对数学探索的兴趣，让我从一个应试者，逐渐转变为一个真正的学习者。

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这本书的排版和印刷质量简直是教科书级别的典范，长时间阅读下来眼睛的疲劳感明显减轻。页边距的合理留白，公式的居中和规范化处理，都体现了出版方对读者的尊重。更值得称赞的是，书后附带的那些“思维拓展”栏目，简直是点睛之笔。这些拓展内容往往会介绍一些课本以外的、在更高水平的比赛中可能出现的知识点或者一些历史背景，比如某个定理的发现过程，或者某个数学分支的最新进展。这些“花边”知识虽然不是考试的直接内容，但对于培养一个全面发展的数学人才来说，其价值不可估量。它们像是一扇扇窗户，让我看到了数学世界的广阔无垠，激发了我去探索更深层次理论的欲望。每次读完一个章节，我都忍不住要去查阅更多相关资料，这本书成功地扮演了知识的“引燃剂”角色。

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这本书的实用性真的超出了我的预期，它完全不像某些教辅那样只停留在理论层面，而是紧密结合了历年的竞赛真题和典型的变式考法。我特别欣赏它对不同类型题目的归纳和分类，这极大地帮助我系统地梳理了自己在解题策略上的短板。比如，在解析组合几何问题时，它不仅给出了标准的解法，还探讨了几种不同的视角去切入问题，每种方法都有其独到之处和适用场景，这对于拓宽解题思路至关重要。我尝试着用书中介绍的一种“逆向构造法”去处理一道困扰我很久的构造题，结果出乎意料地顺利解决了，那种成就感是无与伦比的。而且，书中的例题设计得非常有层次感，从基础的巩固练习到那些需要深思熟虑的压轴大题，难度梯度过渡得非常自然平滑。这让我在复习过程中可以有针对性地查漏补缺，避免了盲目刷题的低效。

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这本书真是让人眼前一亮，从装帧设计到内容排版，都透着一股专业的气息。拿到手里沉甸甸的感觉，翻开后发现里面的知识点讲解得非常细致，逻辑清晰，尤其是一些核心概念的引入和推导过程，作者的处理方式非常巧妙。我记得有一章关于数论的深入探讨，涉及到了一些我之前在其他资料中难以理解的定理，但在这里被分解成了几个易于消化的步骤，配上图示和详尽的例子，一下子就豁然开朗了。对于那些渴望在数学竞赛中取得突破的同学来说，这本书无疑是一剂强心针。它不仅仅是知识的堆砌，更像是一位经验丰富的导师，手把手地引导你构建起完整的知识体系，让你明白“为什么”是这样，而不仅仅是“是什么”。特别是那些需要大量背景知识支撑的难题解析部分，作者没有吝啬笔墨，把相关的预备知识也穿插其中，确保读者在学习高难度内容时不会感到力不从心。那种循序渐进的学习体验，让人感觉每翻过一页，自己的数学功底就扎实了一分。

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