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出版者:复旦大学出版社

作者:张能彦

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:39.0

装帧:平装

isbn号码:9787309041422

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探索与突破：高等数学基础理论精讲与应用解析 本书简介 《探索与突破：高等数学基础理论精讲与应用解析》是一本专为理工科、经济管理类专业学生以及准备考研、自学的读者精心打造的高等数学学习参考书。本书紧密围绕高等数学（微积分）的核心概念、基本原理及典型应用展开，旨在提供一套系统、深入且富有启发性的学习路径，帮助读者真正理解数学的内在逻辑，而非仅仅停留在公式的记忆层面。 本书的编写哲学强调“理论与实践相结合，深度与广度并重”。我们深知，高等数学是连接基础代数与更高级数学分支（如微分方程、复变函数、概率论等）的桥梁，其基础的扎实程度直接决定了后续学习的成效。因此，全书内容设计力求逻辑严密、阐释清晰、例证丰富。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本部分系统梳理了微积分学科的逻辑起点——极限理论。我们从直观的“趋近”概念入手，逐步过渡到 $epsilon - delta$ 语言的严谨定义。 极限的精确定义与性质： 详细剖析了数列极限和函数极限的定义，重点讲解了极限的四则运算法则、保序性、局部有界性与局部保号性等关键性质。我们通过大量的图示和反例分析，帮助读者克服对 $epsilon - delta$ 定义的畏惧心理，建立精确的数学思维。 无穷小与无穷大： 对两者进行了深入的辨析和比较，阐述了它们在极限运算中的重要地位，并引入了高阶与低阶无穷小、等价无穷小替换的适用条件和注意事项，这是求解不定式极限的关键技巧。 连续性： 从函数在一点的连续性定义出发，扩展到区间上的连续性。着重讲解了闭区间上连续函数的四大性质（有界性、最值定理、介值定理），这些性质在证明存在性问题时至关重要。 第二部分：导数与微分——刻画变化率的利器 导数是描述函数瞬时变化率的核心工具。本部分致力于构建清晰的导数概念体系。 导数的几何意义与物理意义： 结合切线斜率和瞬时速度等具体场景，阐释导数的本质。 导数的运算法则与基本初等函数的导数： 详尽列出求导的链式法则、乘法定律、商定律等，并对指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数进行了详细推导，强调了推导过程的逻辑性。 高阶导数与隐函数、参数方程求导： 针对复合函数的复杂情况，系统讲解了隐函数求导法和参数方程求导法，并介绍了二阶导数在曲线凹凸性判断中的作用。 微分的概念与应用： 明确区分了微分 $dy$ 与增量 $Delta y$，阐释了微分在近似计算中的实际价值。 第三部分：微分中值定理与导数的应用——从局部到整体的洞察 中值定理是连接导数与函数整体性质的桥梁。本部分是理解微积分内在联系的关键。 罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理： 详细解释了这三大定理的几何背景和代数意义，特别是拉格朗日定理在证明其他重要结论（如函数的单调性、凹凸性）中的核心地位。 洛必达法则： 提供了系统性的不定式极限求解策略，涵盖 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 两种基本形式，并拓展分析了 $0 cdot infty$, $infty - infty$, $1^infty$, $0^0$, $infty^0$ 等复杂形式的转化与处理。 函数的性态分析： 运用一阶导数判断函数的单调性与极值点，运用二阶导数判断函数的凹凸性与拐点。我们通过大量实例，展示了如何利用导数工具完整地描绘一个函数的图形。 曲率与曲率半径： 简要介绍导数在几何学中的应用，分析曲线弯曲程度的度量。 第四部分：不定积分与定积分——累积与净变化量 本部分探讨如何通过求和的方式来度量总量，这是微积分的第二个核心概念。 不定积分： 讲解原函数与不定积分的概念，重点归纳了常见函数的积分表。 积分的计算方法： 详细介绍了三大基本积分技巧： 1. 换元积分法（代换法）： 分为第一类和第二类换元法，强调如何通过变量替换简化积分形式。 2. 分部积分法： 提供了选择 $u$ 和 $dv$ 的实用口诀和经验，并展示了多次使用分部积分法求解的循环积分问题。 定积分的概念与性质： 从黎曼和的定义出发，严格定义定积分，并阐述了定积分的线性性、区间可加性以及与上、下限相关的基本性质。 牛顿-莱布尼茨公式： 这是连接微分与积分的核心定理，详细讲解了如何利用它来计算定积分的值。 第五部分：积分的应用——量化世界的工具 本部分展示了定积分在解决实际问题中的强大能力。 几何应用： 计算平面图形的面积（包括曲边梯形面积、旋转体体积等）。 物理应用： 解决变力做功、物体重心、转动惯量等经典物理问题。 广义积分： 介绍了无穷区间积分和含有奇点的积分，讨论了其敛散性的判断标准。 本书特色与目标读者 1. 深度解析原理： 每一定理的引入都伴随着严谨的证明过程（或关键步骤的解析），帮助读者理解“为什么是这样”，而非机械地记住“是什么”。 2. 精选例题与习题： 书中包含了大量来自不同学科背景的经典例题，覆盖了从基础计算到复杂应用的全过程，并配备了配套的课后习题供读者巩固练习。 3. 思维导图式梳理： 在章节末尾提供了关键知识点和解题方法的结构化总结，便于读者回顾和查漏补缺。 本书的目标读者是数学基础相对薄弱，但渴望通过系统学习掌握高等数学精髓的学生群体。它不仅是一本应试参考书，更是一本提升逻辑思维能力和数学建模素养的工具书。通过对本书的学习，读者将能构建起完整、坚实的高等数学知识体系，为后续的专业课程学习打下坚实的基础。

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