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出版者:

作者:周承贵 编

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:2004-1

价格:23.50元

装帧:

isbn号码:9787562430599

丛书系列:

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• 高等数学
• 应用数学
• 数学教材
• 大学教材
• 理工科
• 工程数学
• 数学分析
• 线性代数
• 概率论
• 数值计算

《计算方法基础与实践》 本书全面涵盖了数值计算领域的核心理论、经典算法及其在现代工程和科学研究中的实际应用。内容设计旨在为读者构建坚实的数学基础与强大的编程实现能力，从而能够独立解决复杂的工程问题。 第一部分：误差分析与线性方程组的数值解 第一章：数值计算概论与误差分析 本章首先引入数值计算的范畴及其在科学计算中的地位，阐述连续数学问题离散化处理的必要性。重点剖析误差的来源，包括模型误差、截断误差（方法本身的近似性）和计算误差（浮点运算的局限性）。详细介绍绝对误差、相对误差和机器精度（$epsilon$）的概念，并深入探讨误差的传播规律。通过分析舍入误差的累积效应，引导读者理解数值稳定性（Stability）的重要性，为后续算法的选择提供理论依据。同时，讲解有效数字（Significant Digits）的判定方法，强调在计算过程中保持结果的可靠性。 第二章：非线性方程的求解 本章集中讨论求解 $f(x) = 0$ 这类超越方程的数值方法。首先介绍隔离区间法，如二分法，分析其可靠性、收敛速度（线性收敛）和局限性。随后，深入讲解迭代法，包括牛顿法（Newton's Method），分析其二阶收敛特性，以及如何通过修正牛顿法（如割线法/弦截法）来避免每次迭代计算导数的复杂性。讨论不动点迭代的收敛条件（Contraction Mapping Principle），并对比不同方法的计算效率和对初值选择的敏感性。本章将结合实际工程案例，演示如何确定所需的迭代精度。 第三章：线性方程组的直接解法 线性代数方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 是工程计算中最基本的问题之一。本章系统介绍求解这类问题的直接方法。首先从高斯消元法（Gaussian Elimination）入手，详细剖析其步骤，并引入主元选择策略（Partial Pivoting and Full Pivoting）来增强算法的数值稳定性，避免除以零或过小的数。接着，讲解高斯消元法的矩阵分解形式——$LU$ 分解（以及带主元选择的 $PA=LU$ 分解），阐述其在求解多组右端项向量 $mathbf{b}$ 时的效率优势。随后，介绍求解对称正定矩阵的特有高效方法——Cholesky 分解。本章还将简要对比直接法与迭代法（将在第四章介绍）的适用场景。 第四章：线性方程组的迭代解法 当矩阵 $mathbf{A}$ 规模巨大或稀疏时，迭代法成为首选。本章讲解将矩阵 $mathbf{A}$ 分解为 $mathbf{A} = mathbf{D} + mathbf{L} + mathbf{U}$ 的思想，导出经典的迭代格式。详细分析 雅可比（Jacobi）迭代法 和 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 的收敛条件（基于矩阵范数或对角占优性）。最后，引入更现代且收敛更快的迭代方法，如共轭梯度法（CG），特别是在求解大型稀疏对称正定系统中的高效应用。 第二部分：特征值问题与插值技术 第五章：矩阵特征值问题的数值解 特征值与特征向量在结构分析、动力学和量子化学中至关重要。本章专注于求解特征值。首先介绍幂法（Power Iteration）及其变体（反幂法），用于寻找最大或最小特征值。随后，讲解用于求解所有特征值的经典算法——QR 算法，阐述其通过一系列正交相似变换将矩阵逐步约化为拟对角或三角矩阵的过程。对于大型稀疏矩阵，本章将介绍Lanczos 迭代等子空间方法。 第六章：插值法与多项式逼近 插值法用于根据离散数据点构造一个函数模型。本章从最基础的拉格朗日插值多项式开始，分析其构建过程和插值误差的表达式。随后，转向更具实用性的牛顿差商（Newton's Divided Differences）公式，展示其增量计算的优势。为了避免高次多项式插值中可能出现的Runge 现象（等距节点上的振荡），本章重点介绍分段低次插值，尤其是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），强调其在保证函数一阶和二阶导数连续性方面的优越性。 第三部分：函数逼近与数值积分 第七章：最佳函数逼近与最小二乘法 本章讨论如何在给定函数空间中寻找“最佳”逼近函数。首先，介绍最小二乘法（Least Squares Method），用于处理带有噪声或多余测量数据的回归问题，推导出正规方程组，并讨论基于 QR 分解的稳定求解方法。在函数空间中，本章将介绍勒让德多项式和切比雪夫多项式，阐述它们在最小二乘意义下的正交性，以及它们在函数全局逼近中的重要性。 第八章：数值积分（Quadrature） 本章探讨如何用有限的代数运算来近似定积分 $int_a^b f(x) dx$。从最简单的矩形法和梯形法则开始，分析其代数精度和误差项。随后，深入讲解辛普森（Simpson）法则，理解其基于抛物线近似的优势。为了提高精度，本章将系统介绍牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas）的构造思想。最后，讨论高斯求积法（Gaussian Quadrature），解释如何通过选择最优的节点和权重来实现极高的精度（对于多项式函数具有精确性）。本章还将介绍复化求积和自适应求积策略，以应对复杂积分。 第四部分：常微分方程的数值解 第九章：常微分方程的单步法 本章专注于常微分方程（ODE）的初值问题 $y'(t) = f(t, y), y(t_0) = y_0$ 的数值求解。首先介绍最基础的欧拉法（Euler's Method），分析其一阶精度和显式/隐式的区别。随后，进入高阶方法，详细推导和分析龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特别是四阶经典RK法（RK4）的结构和稳定性。讨论局部截断误差和全局误差的关系。 第十章：常微分方程的多步法与刚性问题 为了利用前几步信息提高效率，本章介绍多步法，包括阿达姆斯-福 Moulton（Adams-Bashforth/Adams-Moulton）方法，并讨论它们与单步法的稳定性差异。最后，引入刚性问题（Stiff ODEs）的概念，解释为什么显式方法在处理刚性系统时需要极小的步长。介绍适用于刚性问题的隐式方法，如隐式欧拉法和后向差分公式（BDF），强调其在保证计算稳定性和求解长时程问题中的关键作用。 附录：编程实现与软件工具 本附录提供使用主流科学计算语言（如 Python/MATLAB）实现上述核心算法的示例代码结构，帮助读者将理论知识转化为可执行的程序，并简要介绍如 LAPACK, SciPy 等专业数值计算库的应用场景。 --- 本书特点： 1. 理论与实践并重： 每一章节都将深入推导关键公式的数学依据，同时配有丰富的工程或物理背景案例，说明算法的实际用途。 2. 强调稳定性分析： 始终将数值稳定性视为核心考量，对不稳定算法给出明确警示和替代方案。 3. 层次清晰： 从基础的误差分析到复杂的常微分方程求解，结构由浅入深，适合作为高年级本科生、研究生以及工程技术人员的专业参考书。

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章节间的逻辑过渡处理得相当突兀，这让我感到非常困惑。我感觉这本书的结构更像是一系列相互独立的知识模块堆砌在一起，而不是一个有机的整体。比如，在完成了关于多变量函数偏导数的深入探讨之后，下一章突然就转向了向量场的散度和旋度，中间几乎没有提及如何将前面的知识体系自然地桥接到这个新的领域。我需要自己去脑补中间缺失的连接点，比如，这个散度是如何从偏导数的多元推广中自然涌现出来的，书里并没有明确指出。这种结构使得我在进行知识复习时非常困难。我无法形成一个清晰的知识地图，因为每当我以为自己掌握了一个部分时，下一部分的内容就会以一种全新的、似乎从天而降的方式出现。我怀疑作者在编写过程中是按照他自己的思维脉络来组织的，而没有充分考虑到读者可能需要的“脚手架”结构。要真正吃透这本书，我估计需要自己画出大量的流程图和思维导图，才能把散落的知识点串联起来。

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这本书的语言风格实在是一股清流，也可以说是一股“泥石流”。它不像我以前读过的那些数学辅导书那样，试图用拟人化的方式或者幽默的段子来拉近与读者的距离。相反，它采取了一种近乎冷酷的、绝对客观的叙述方式。每一个定义、每一个定理的阐述，都像是从数学公理体系中直接抽取出来的，精确、严谨，但缺乏温度。举个例子，当讲到极限的概念时，书里直接给出了$epsilon-delta$语言的完整表述，没有任何过渡性的解释，直接就跳到了证明过程。我花了近半个小时才搞清楚，原来作者是默认读者已经完全掌握了微积分的初级思想，可以直接进入到形式化的阶段。这种“无缝衔接”对我来说是个挑战，我不得不频繁地停下来，对照着手边的其他参考资料来理解作者的意图。这种写作方式的优点是效率极高，信息密度非常大，如果你是那种悟性极高、一眼就能看穿数学本质的天才型选手，这本书绝对是你的福音。但对于大部分需要循序渐进的普通学习者而言，它更像是一份高度浓缩的学术报告，而不是一本友好的教材。

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这本书的印刷质量，恕我直言，非常令人失望，尤其考虑到其作为高等数学教材的定位。纸张的选择偏薄，拿到手上有一种轻飘飘的不踏实感，而且在强光下阅读时，纸张的反光度很高，非常容易造成视觉疲劳。更让人诟病的是，公式的排版经常出现细微的瑕疵。某些希腊字母和上标、下标的间距处理得有些拥挤，特别是当涉及到复杂的积分符号和矩阵表示时，线条的粗细似乎也存在不一致的情况。有几次，我甚至需要凑得很近才能辨认出一个小小的上下标到底是属于哪个变量的。作为一本对精确性要求极高的数学书，这种低劣的印刷质量直接影响了阅读体验和对公式的准确理解。我不得不承认，我花了大量的时间去“解读”那些模糊的符号，而不是去“理解”背后的数学原理。一本好的教材，理应在内容和载体上都做到专业，但在这一点上，这本书显然没有达到应有的水准，让人觉得它更像是一份匆忙赶制出来的内部资料，而不是正式出版的读物。

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这本书的封面设计得非常朴素，可以说是低调到极致了。拿到手里的时候，我本来还期待能有什么特别的视觉冲击，毕竟是“高等数学”嘛，总该有点象征性的图案或者鲜明的色彩来吸引眼球。然而，映入眼帘的只是一片沉稳的深蓝，配上那几个毫无波澜的宋体字，简直就像是上世纪八十年代的教科书。说实话，这让我对书的内容产生了些许疑虑。我翻开扉页，试图寻找一些能让我眼前一亮的线索，比如作者的学术背景介绍，或者某个章节的精彩预览。但这些都没有。全书的排版也极其工整，没有一丝多余的装饰，感觉每一个像素点都是为了信息传递服务，而完全抛弃了美学考量。这让我联想到某些老派的理工科教材，它们往往将全部精力投入到公式和定理的推导上，而对外在的包装毫不关心。我猜想，也许内容本身足够硬核，所以作者们才懒得在封面上下功夫。但对于像我这样，需要一些阅读动力才能啃下硬骨头的读者来说，这样的开场确实有些劝退。如果能增加一些现代感的图示或者更具辨识度的设计元素，或许能吸引更多初学者鼓起勇气翻开它。

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关于习题部分的设置，我有一个非常强烈的感受：题目的难度分布极不均衡，简直是M型分布的极端案例。全书的习题大概分为三类：第一类是直接代入公式就能得到答案的，数量非常多，占据了大约70%的比重，这些题目对于检验基础运算能力尚可，但对于理解概念帮助有限。然后，突然之间，你会遇到一小撮难度极高的“怪题”，这些题目往往需要结合好几章的内容，并且需要一些非常规的技巧才能解开，它们在全书中的占比可能不到5%，但却耗费了我超过一半的解题时间。最要命的是，这些难题的旁边，居然没有提供任何相应的提示或者解题思路的引导，不像有些教材会给出难度系数的标识。这让人有一种在“爬坡”和“平地行走”之间反复切换的感觉，极大地挫伤了我的学习积极性。我更希望看到一个平滑的难度曲线，让我在不断练习中逐步提升解决复杂问题的能力，而不是被一两个深不见底的“拦路虎”直接击垮信心。

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