具体描述
《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的第一部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版，这是一部用拉丁文写成的巨著，是数论的最经典及最具权威性的著作。在随后的200年时间中被翻译成多国文字，如德文、英文、俄文等。这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位，只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比，因为高斯有一句名言：“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇。”这部著作共七篇。
第一篇讨论一般的数的同余：并首次引进了同余记号，这是现代数学中无处不在的等价和分类概念出现在代数中的最早的意义重大的例子。
第二篇讨论一次同余方程：其中严格证明了算术基本定理。
第三篇讨论幂的同余式：此篇详细讨论了高次同余式。
第四篇“二次同余方程”意义非同寻常：因为其中给出了二次互反律的证明，有人统计到21世纪初，二次互反律的证明已经超过200种，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、刘维尔、库默尔、克罗内克、戴德金、瓦莱－布桑、希尔伯特、弗罗贝尼乌斯、斯蒂尔切斯、M•里斯、韦伊都给出了新证法，可见问题之重要。
第五篇是“二次型与二次不定方程”在这一篇中关于二次型的特征的研究，标志着群特征标理论的肇始，使高斯成为群论的先驱者之一。
第六篇把前面的理论应用到各种特殊情形，并引入了超越函数。
第七篇是“分圆方程”，不少人认为此篇是《算术研究》的顶峰。
《算术研究》当时对于数学家也很难读，它曾被称为“七印封严之书”（这是西方人对难解之书喜用的词，近于中国人所谓的“天书”，典出《圣经•启示录》第五章第一节：“我看见坐宝座的右手中有书卷，里外都写着书，用七印封严了”）后来迪利克雷作了详细注释。此书简洁完美的风格多少减慢了它的传播速度，而最终当富有才华的年轻人开始深入研读它时，由于出版商的破产，又买不到它了，甚至高斯最喜欢的学生艾森斯坦从未能拥有一本，有些学生不得不从头到尾抄录全书。
作者简介
作者：（德国）高斯 译者：潘承彪 张明尧
潘承彪，1938年生于江苏省苏州市，1960年毕业于北京大学数学力学系数学专业，1961年起在北京农业机化学院（后改名为北京农业工程大学、中国农业大学）工作，从1977年起同时在北京大学数学系工作。主要从事数学，特别是数论的教学科研工作。与胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析数论基础》、《素数定理的初等证明》、《代数数论》、《初等数论》及《模形式导引》等。
张明尧，1945年12月生于山东省菏泽市，1967年毕业于安徽大学数学系，1981年获得硕士学位后在安徽大学工作；1987年获得博士学位后在中国科技大学工作；1994年调海南大学工作；1996年调上海华东理工大学工作。译著有《数论中未解决的问题（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《纯数学教程(纪念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代数论(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修订者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。
目录信息
1 同余的数，模，剩余及非剩余 第1～3目
2 最小剩余 第4目
3 关于同余的若干基本定理 第5～11目
4 若干应用 第12目
第二篇 一次同余方程 第13～44目
5 关于素数、因数等的若干预备定理 第13～25目
6 一次同余方程的解 第26～31目
7 对若干个给定的模，求分别同余于给定的剩余的数的方法 第32～36目
8 多元线性同余方程组 第37目
9 若干不同的定理 第38～44目
第三篇 幂剩余 第45～93目
10 首项为1的几何数列的各项的剩余组成周期序列 第45～48目
首先讨论素数模 第49～81目
11 当模为素数p时，周期的项数是p-1的除数 第49目
12 Fermat定理 第50～51目
13 对应的周期的项数等于p-1的给定的除数的数的个数 第52～56目
14 原根，基，指标 第57目
15 指标的运算 第58～59目
16 同余方程xn≡A的根 第60～68目
17 不同系统的指标间的关系 第69～71目
18 为特殊应用选取基 第72目
19 求原根的方法 第73～74目
20 关于周期和原根的几个不同的定理 第75～81目
（Wilson定理） 第76～78目
合数模的讨论 第82～93目
21 模为素数幂 第82～89目
22 模为2的方幂 第90～91目
23 由若干个素数合成的模 第92～93目
第四篇 二次同余方程 第94～152目
24 二次剩余和非剩余 第94～95目
25 若模是素数，则在小于模的数中剩余的个数等于非剩余的个数 第96～97目
26 合数是否是给定素数的剩余或非剩余的问题依赖于它的因数的性质 第98～99目
27 合数模 第100～105目
28 给定的数是给定素数模的剩余或非剩余的一般判别法 第106目
以给定的数为其剩余或非剩余的素数的讨论 第107～150目
29 剩余-1 第108～111目
30 剩余+2和-2 第112～116目
31 剩余+3和-3 第117～120目
32 剩余+5和-5 第121～123目
33 剩余+7和-7 第124目
34 为一般讨论做准备 第125～129目
35 用归纳方法来发现一般的(基本)定理及由其推出的结论 第130～134目
36 基本定理的严格证明 第135～144目
37 用类似方法证明第114目中的定理 第145目
38 一般问题的解法 第146目
39 以给定的数为其剩余或非剩余的全体素数的线性表示式 第147～150目
40 其他数学家关于这些研究的工作 第151目
41 一般形式的二次同余方程 第152目
第五篇 二次型和二次不定方程 第153～307目
42 研究计划；型的定义及符号 第153目
43 数的表示；行列式 第154目
44 数M由型(a,b,c)来表示时所属的表示式2-ac (mod M)的值第155～156目
45 一个型包含另一个型，或包含在另一个型之中；正常及反常变换 第157目
46 正常等价及反常等价 第158目
47 相反的型 第159目
48 相邻的型 第160目
49 型的系数的公约数 第161目
50 给定的一个型变为另一个型的所有可能的同型变换之间的关系 第162目
51 歧型 第163目
52 与同时既是正常地又是反常地包含在另一个型中的型有关的定理 第164目
53 由型表示数的一般性研究以及这些表示与变换的联系 第166～170目
54 行列式为负的型 第171～181目
55 特殊的应用：将一个数分解成两个平方数，分解成一个平方数和另一个平方数的两倍，分解成一个平方数和另一个平方数的三倍 第182目
56 具有正的非平方数行列式的型 第183～205目
57 行列式为平方数的型 第206～212目
58 包含在另一个与之不等价的型之中的型 第213～214目
59 行列式为零的型 第215目
60 所有二元二次不定方程的一般整数解 第216～221目
61 历史注记 第222目
关于型的进一步研究 第223～265目
62 给定行列式的型的分类 第223～225目
63 类划分成层 第226～227目
64 层划分成族 第228～233目
65 型的合成 第234～244目
66 层的合成 第245目
67 族的合成 第246～248目
68 类的合成 第249～251目
69 对给定的行列式，在同一个层的每一个族中都有同样多个类 第252目
70 不同的层中各个族所含类的个数的比较 第253～256目
71 歧类的个数 第257～260目
72 对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不能适合于任何正常本原(当行列式为负数时，还是定正的)族 第261目
73 基本定理以及与剩余-1,+2,-2有关的其他定理的第二个证明 第262目
74 精确地确定不能适合于族的那一半特征 第263～264目
75 分解素数成两个平方数的特殊方法 第265目
76 三元型研究杂谈 第266～285目
对于二元型理论的某些应用 第286～307目
77 怎样求一个型，由它的加倍可以得到主族中一个给定的二元型 第286目
78 除了在第263和264目中已经证明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都与某个族相对应 第287目
79 数及二元型分解为三个平方的理论 第288～292目
80 Fermat定理的证明：任何整数可以分解成三个三角数或者分解成四个平方数 第293目
81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294～295目
82 Legendre讲述基本定理的方法 第296～298目
83 由任意的三元型表示零 第299目
84 二元二次不定方程的有理通解 第300目
85 族的平均个数 第301目
86 类的平均个数 第302～304目
87 正常本原类的特殊算法；正则和非正则的行列式，等 第305～307目
第六篇 前面讨论的若干应用 第308～334目
88 将分数分解为若干个较简单分数 第309～311目
89 普通分数转换为十进制数 第312～318目
90 用排除法解同余方程x2≡A 第319～322目
91 用排除法解不定方程mx2＋ny2=A 第323～326目
92 A为负数时同余方程x2≡A的另一种解法 第327，328目
93 判别合数与素数及寻求合数的因数的两个方法 第329～334目
第七篇 分圆方程 第335～366目
94 讨论可归结为把圆分为素数份的最简单情形 第336目
95 关于弧(它由整个圆周的一份或若干份组成)的三角函数的方程；把三角函数归结为方程xn-1=0的根 第337～338目
关于方程xn-1=0的根的理论（假定n是素数） 第339～354目
96 若不计根1，则全部其余的根(Ω)是属于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339～340目
97 函数X不能分解为系数均为有理数的因式的乘积 第341目
98 进一步讨论的目的的说明 第342目
99 Ω中的所有的根可分为若干个类(周期) 第343目
100 关于Ω中根组成的周期的几个的定理 第344～351目
101 基于以上讨论解方程X=0 第352～354目
进一步讨论根的周期 第355～360目
102 有偶数项的和是实数 第355目
103 把(Ω)中的根分为两个周期的方程 第356目
104 第四篇中提到的一个定理的证明 第357目
105 把(Ω)中的根分为三个周期的方程 第358目
106 把求Ω中的根的方程化为最简方程 第359～360目
以上研究在三角函数中的应用 第361～364目
107 求对应于(Ω)中每个根的角的方法 第361目
108 不用除法从正弦与余弦导出正切，余切，正割及余割 第362目
109 逐次降低关于三角函数的方程次数的方法 第363，364目
110 利用解二次方程或几何作图方法可实现的圆周的等分 第365，366目
补记
附表
译者注
附录 高斯——数学王者 科学巨人
1 德国情势
2 贫寒之家
3 心算神童
4 学院三载
5 大学攻读
6 出手不凡
7 科学随记
8 博士论文
9 算术探索
10 一算成名
11 恋爱结婚
12 公爵之死
13 丧妻再娶
14 天文著作
15 辉煌十年
16 大地测量
17 曲面理论
18 非欧几何
19 物理研究
20 教学工作
21 政治风波
22 晚年生活
23 业余爱好
24 人际关系
25 工作风格
26 溘然长逝
27 高斯全集
注
人名索引
人名译名表
编辑手记
· · · · · · (收起)
读后感
吐槽之前，先说些好话吧，不然不厚道。 四五年前就风闻此书将出中文版，苦苦等待，结果直到去年才出。不认真的看了一下译者的注，还是很花心思的。注里面提到了法文、俄文和拉丁文等译本，应该是细细比较过的，那质量就更有保证了。这年头（其实无论什么年头），有人愿意花心...
评分本人说来惭愧，是一名数学教授，但有多年已改做别的工作。也算运气，得以拜读潘承彪等翻译的《算术探索》这本高斯的经典名著。感谢出版者敢于出这种没有经济效益、曲高和寡的数学名著，而且出版质量还这么好；更感谢译者淡泊名利默默耕耘，为我们奉献了这么出色的译作。不但具...
评分本人说来惭愧，是一名数学教授，但有多年已改做别的工作。也算运气，得以拜读潘承彪等翻译的《算术探索》这本高斯的经典名著。感谢出版者敢于出这种没有经济效益、曲高和寡的数学名著，而且出版质量还这么好；更感谢译者淡泊名利默默耕耘，为我们奉献了这么出色的译作。不但具...
评分吐槽之前，先说些好话吧，不然不厚道。 四五年前就风闻此书将出中文版，苦苦等待，结果直到去年才出。不认真的看了一下译者的注，还是很花心思的。注里面提到了法文、俄文和拉丁文等译本，应该是细细比较过的，那质量就更有保证了。这年头（其实无论什么年头），有人愿意花心...
评分本人说来惭愧，是一名数学教授，但有多年已改做别的工作。也算运气，得以拜读潘承彪等翻译的《算术探索》这本高斯的经典名著。感谢出版者敢于出这种没有经济效益、曲高和寡的数学名著，而且出版质量还这么好；更感谢译者淡泊名利默默耕耘，为我们奉献了这么出色的译作。不但具...
用户评价
《算术探索》这本书给我最大的感受之一，就是它成功地将一些看似枯燥的数学概念，用非常有趣的方式呈现出来。比如，在讲解“数论”的初步概念时，作者并没有直接抛出一些复杂的定理，而是通过一些经典的数学谜题和游戏来引入。我特别喜欢书中关于“哥德巴赫猜想”的介绍，以及如何用基础的算术方法去尝试验证它。这种“从游戏中学数学”的方式，极大地激发了我的学习兴趣。我常常在阅读这些内容时，会忍不住拿起笔来，跟着作者的思路去尝试计算和推理。书中还提到了一些关于“素数分布”的有趣现象，以及一些数论中的“魔术”，比如如何通过一些简单的运算，得到一些令人惊叹的结果。这让我意识到，算术不仅仅是用来解决实际问题的工具，它本身也充满了奥秘和趣味性。我希望这本书能提供更多这样的“数学游戏”和“趣味挑战”，让我在享受解谜的乐趣的同时，也能更深入地理解算术的精妙之处。
评分总的来说，《算术探索》这本书给我带来的不仅仅是算术知识的增长，更是一种全新的学习体验和思维方式的启发。它让我重新审视了那些曾经被我视为理所当然的数字和运算，发现了它们背后所蕴含的深刻逻辑和无穷魅力。作者通过生动的语言、巧妙的比喻、丰富的例子以及对数学历史和哲学的涉猎，将一本关于算术的书籍，提升到了一个全新的高度。我从这本书中获得的，不仅仅是“如何做算术”的技能，更是“如何思考算术”的能力。它鼓励我保持好奇心，勇于探索，敢于质疑，并始终对数学保持热情。这本书就像一位引路人，带领我走进了算术的殿堂，让我看到了它作为一切数学分支基础的重要性，也让我感受到了它作为人类智慧结晶的美丽与神奇。我真心推荐给任何对算术感兴趣，或者希望提升自己数学思维能力的人，这本书一定会给你带来意想不到的收获。
评分《算术探索》这本书在讲解过程中，除了理论的阐述，还穿插了不少有趣的数学小故事和历史典故。我尤其喜欢书中关于古埃及和古巴比伦人如何进行数学计算的描述。他们使用不同的计数系统和计算方法，这让我对数学的演变有了更深的认识。比如，古埃及人使用的十进位制，但他们的乘法和除法规则与我们现在使用的有些不同，是通过“加倍”和“减半”的方式来进行的。这让我惊叹于人类智慧的多样性，以及在没有现代计算工具的情况下，人们是如何解决复杂的数学问题的。书中还提到了一些著名的数学家，比如毕达哥拉斯和他的学派，以及他们对数的研究。这些历史的片段，让算术不再仅仅是冰冷的数字和公式，而是充满了人文色彩和思想的光辉。我常常在阅读这些故事时，会联想到我们现在的学习方式，并思考是什么促使了数学的进步，又有哪些古老的智慧仍然对我们有所启发。这种对数学历史的关注，让《算术探索》这本书变得更加立体和饱满，也让我从更广阔的视角去理解算术的意义。
评分《算术探索》这本书的开篇，作者就用了非常生动形象的例子来引入“数”的概念。他没有直接给出抽象的定义，而是从我们日常生活中最熟悉的物品开始，比如苹果、石头，甚至是人们在数数时发出的声音。这种“从具象到抽象”的引导方式，我个人非常受用。我总觉得，学习任何知识，如果能从自己熟悉的事物出发，会更容易理解和接受。作者通过这些简单的生活场景，巧妙地揭示了“数”的本质，以及人类是如何一步步发展出计数和表达数量的符号系统的。这一点非常重要，因为它让我们明白，数学不是凭空产生的，而是源于人类改造自然、认识世界的实践活动。我特别喜欢作者在解释一些基本运算规则的时候，所使用的类比。他将加法比作“合并”，减法比作“移走”，乘法比作“重复的加法”，除法比作“分组”或“分享”。这些比喻非常贴切，让我能够直观地理解这些运算的意义，而不仅仅是记住符号和步骤。这不仅仅是学习算术，更是在理解算术背后的逻辑。我希望作者能在后续的章节中，继续保持这种深入浅出的风格，用更多这样巧妙的比喻和例子，来引导我们探索更复杂的算术概念，让学习过程变得轻松而富有启发性。
评分我一直觉得，数学学习最重要的一点是培养“数学思维”，而《算术探索》这本书在这方面做得相当出色。它不仅仅是教授计算技巧，更注重引导读者如何去分析问题、解决问题。在讲解一些稍微复杂的问题时，作者会提供多种不同的解题思路，并详细分析每种方法的优缺点。比如，在解决一个关于“效率”的计算问题时，书中展示了如何用比例来解决，也展示了如何用代数方程来解决，并且对比了两种方法的可行性和便捷性。这种多角度的思考方式，让我明白，解决一个数学问题，往往不是只有一种固定的模式，而是需要根据具体情况来选择最合适的方法。此外，书中还鼓励读者去质疑和探索，不要轻易接受现有的结论，而是要去思考“为什么”和“是否还有其他可能”。这种鼓励创新的精神，让我受益匪浅。我希望作者能在书中提供更多类似的“思维训练”环节，通过一些开放性的问题，来锻炼我们的逻辑推理能力和解决问题的能力，让我们在掌握算术的同时，也能培养出受益终身的数学思维。
评分《算术探索》这本书在语言风格上，可以说是非常独特而富有魅力的。作者的文字流畅而优美，没有那种刻板的教科书式的生硬感。他善于运用一些形象的比喻和生动的描述，将复杂的数学概念变得易于理解。我特别喜欢书中那些富有哲思的段落，作者常常会在讲解算术的过程中，引申到一些关于逻辑、理性、甚至是对宇宙的思考。这让我觉得，阅读这本书不仅仅是在学习算术，更像是在与一位充满智慧的智者进行一场深入的对话。作者在处理一些数学证明时，也表现出了极高的驾驭能力。他能够将严谨的逻辑推理，用一种引人入胜的方式呈现出来，让读者在跟随他思路的过程中，自然而然地理解证明的过程。这种兼具学术深度和文学色彩的写作风格，是我在其他数学书籍中很少遇到的。我希望作者能在书中继续保持这种风格，用他的文字和思想，引领我们进入一个更加广阔的算术世界。
评分我一直对数学中的“模式”和“规律”特别着迷，而《算术探索》这本书在这方面给了我很多惊喜。作者在讲解数的基本性质时，不仅仅是罗列定义和定理，而是通过大量的例子，引导读者自己去发现其中的规律。比如，在讲到奇数和偶数的运算性质时，书中并没有直接告诉我们“奇数+奇数=偶数”，而是给出了一系列奇数相加的例子，然后让读者思考“为什么会这样？”，并引导大家去观察结果的奇偶性。这种“提问-观察-归纳”的学习过程，非常符合我的学习习惯。它让我感觉自己不是在被动地接收信息，而是在主动地参与到知识的构建中。书中还提到了一些关于数列的初步概念，比如等差数列和等比数列，并展示了它们在自然界中的一些应用，比如斐波那契数列在植物生长中的体现。这让我意识到，原来我们每天看到的很多自然现象，背后都隐藏着如此美妙的算术规律。作者将抽象的数学概念与具体的自然现象联系起来，这种做法非常有创意，也极大地增强了我对算术的兴趣。我希望书中能有更多这样的内容，能够让我们在探索算术的同时，也能感受到数学的普遍性和优雅性。
评分我拿到《算术探索》这本书的时候，首先被它的排版和字体吸引了。有时候，一本好书不仅仅在于内容，也在于它给人的第一观感。这本书的纸张质感很好，不是那种过于光滑的反光纸，而是带着一点点哑光的质感，摸起来很舒服。字体也选择了比较清晰易读的类型，行间距也恰到好处，不会让人觉得拥挤，也不会显得空旷。这一点对于一本需要细致阅读的书籍来说非常重要。我翻开目录，看到章节的划分也比较有逻辑性，从基础的数制、运算规则，到一些稍微进阶的性质，比如数的整除性、素数，再到一些有趣的数字游戏和谜题，感觉覆盖的范围还挺广的。让我尤其感兴趣的是，书中提到了一些算术在历史上的发展演变，以及不同文化对算术的不同理解和应用。这部分内容让我觉得，这本书不仅仅是在讲“如何做算术”，更是在讲“算术是什么，以及它为什么会是这个样子”。我一直对数学的历史和哲学很感兴趣，所以这种结合理论与人文的视角，让我觉得这本书非常有深度。作者在书中是否能够很好地平衡这些内容，既保持学术的严谨性，又带有趣味性，是我接下来非常期待的。从目录来看，作者似乎也尝试了一些不太常见的算术主题，比如一些数论的初步概念，这让我感到非常兴奋，因为我一直觉得算术远不止于加减乘除。
评分《算术探索》这本书，说实话，一开始吸引我的就是这个名字。它没有那种一眼就能看穿“讲的是什么”的书名，比如“高中数学必修一全解析”或者“奥数经典题库”。“探索”这个词，本身就带着一种未知和发现的神秘感，让人忍不住想知道，这本书究竟想带我们去探索怎样的算术世界。我一直觉得，数学，尤其是基础的算术，其实蕴含着许多不为人知的奥秘，是我们日常生活中习以为常却又难以深入理解的部分。《算术探索》给我的第一印象就是，它会带领我走进一个由数字、符号和运算构成的奇妙旅程，去发现那些隐藏在简单算式背后的深刻逻辑和美丽结构。作者在序言中也提到了，希望这本书能够激发读者对算术本身的兴趣，而不是仅仅把它当成解题的工具。这种理念，正是我所期待的，因为很多时候，我们学习数学，是被动地接受知识，而这本书似乎承诺的是一种主动的、发现式的学习体验。我迫不及待地想看看，作者是如何构建这样一个“探索”的框架，是用什么样的例子，什么样的叙述方式，来展现算术的魅力，让枯燥的数字变得生动有趣，让复杂的概念变得清晰明了。我个人非常喜欢那种层层递进、引人入胜的书写风格，希望这本书能做到这一点，让我从最基础的加减乘除开始，逐渐深入到更高级的概念，并在其中发现数学世界的奇妙联系。
评分《算术探索》这本书给我带来的另一个重要收获，是对“误差”和“近似”概念的理解。在实际应用中，我们常常需要进行近似计算，而这本书则详细讲解了如何去评估和控制误差。作者通过一些生活中的例子，比如测量长度、估算体积，来展示近似计算的重要性以及如何选择合适的近似方法。他介绍了一些误差的来源，比如测量误差、取舍误差，并提供了一些简单的方法来减小误差。这一点对于我来说非常实用，因为在很多科学研究和工程实践中，精确的计算往往是不可能的，而对误差的理解和控制，则是至关重要的。书中还提到了一些关于“极限”的概念，虽然不是深入探讨，但已经为理解更高级的微积分打下了基础。我希望这本书能在这方面提供更详尽的阐述，让我们了解在数学的无限世界中，如何去处理和理解近似与精确之间的关系。
评分附录的高斯传非常值得一看！
评分只看了appendage的高斯传略，好书
评分数学的经典名著就不用说了。后面的一点关于高斯的传记，读起来能学习到一些关于数学的认识
评分数学的经典名著就不用说了。后面的一点关于高斯的传记，读起来能学习到一些关于数学的认识
评分数学的经典名著就不用说了。后面的一点关于高斯的传记，读起来能学习到一些关于数学的认识
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