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出版者:北京邮电学院出版社

作者:李茂生

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:1999-08

价格:12.00

装帧:平装

isbn号码:9787563503766

丛书系列:

图书标签:

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好的，这是一份不包含《高等数学习题解答》内容的图书简介，旨在详细介绍一本新的数学参考书。 --- 《现代分析与拓扑学导论》图书简介 书籍名称： 现代分析与拓扑学导论 (Introduction to Modern Analysis and Topology) 作者： [此处留空，或填写虚构作者] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社] --- 内容导览：跨越经典与前沿的数学桥梁 《现代分析与拓扑学导论》是一部旨在为数学专业本科高年级学生、研究生以及需要深入理解现代数学基础的科研人员提供全面而深入指引的参考著作。本书旨在系统地梳理和阐述分析学与拓扑学的核心概念、基本理论及其相互间的深刻联系。我们避开了初等微积分和传统实变函数的简单重复，而是直接聚焦于现代数学的基石——度量空间理论、泛函分析的初步概念以及一般拓扑空间的研究方法。 本书的结构设计兼顾了逻辑的严谨性和教学的直观性。全书共分为六大部分，层层递进，构建起一个扎实而广阔的数学视野。 第一部分：度量空间与完备性（Metric Spaces and Completeness） 本部分是全书的基石。我们首先对集合论的基础概念进行简要回顾，随后立即进入对度量空间（Metric Spaces）的严格定义和深入探讨。我们将详尽讨论开球、闭球、开集、闭集的定义，并详细分析拓扑结构如何从度量诱导产生。 核心内容包括收敛性、连续性的度量空间表述，以及对紧致性（Compactness）和完备性（Completeness）概念的深入剖析。我们详细阐述了完备度量空间上的巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem），并展示其在常微分方程解的存在性与唯一性证明中的关键应用。此外，对可分性（Separability）和稠密性（Density）的讨论，为后续引入更抽象的空间结构打下坚实基础。 第二部分：连续函数空间与等度连续性（Spaces of Continuous Functions and Equicontinuity） 在掌握了度量空间的一般理论后，本部分将注意力集中于具有特定结构的函数空间，特别是连续函数空间。我们引入一致收敛的概念，并将其与点态收敛进行对比。 重点章节集中于等度连续性（Equicontinuity）理论。通过详尽的推导和例子，读者将掌握Ascoli-Arzelá 定理的精确表述及其重要性。该定理是连接紧致性与函数族性质的关键工具，对于泛函分析中诸如紧算子理论的理解至关重要。我们还会探讨 $C(X)$ 空间（定义在紧致豪斯多夫空间 $X$ 上的连续函数空间）的结构，并引入Hölder 连续函数和Lipschitz 连续函数的概念，区分它们的性质和应用场景。 第三部分：一般拓扑学基础（Fundamentals of General Topology） 本部分开始从更抽象的角度审视空间结构，脱离度量的束缚。我们引入拓扑空间（Topological Spaces）的公理化定义，并详细讨论由集合族、连续函数或基（Bases）定义的拓扑结构。 核心概念包括：邻域、开/闭集、开函数、商拓扑（Quotient Topology）的构造方法及其重要性。关于分离公理的讨论将占据重要篇幅，从 $T_1$ 空间到豪斯多夫空间（Hausdorff Spaces），再到正则性和正规性。我们将阐明豪斯多夫空间的必要性，尤其是在后续涉及极限与收敛的章节中。 第四部分：紧致性、连通性与积空间（Compactness, Connectedness, and Product Spaces） 在拓扑学的框架下，我们重新审视在度量空间中已初步接触的两个核心性质：紧致性与连通性。 紧致性的定义将推广至任意拓扑空间，并深入探究其等价刻画（如点列紧致性、局部紧致性）。至关重要的Tychonoff 定理（乘积拓扑下紧致空间的乘积仍是紧致的）将被给予详尽的证明和多样的应用实例。 连通性（Connectedness）的讨论侧重于路径连通性（Path-connectedness）与连通性的关系，以及它们在分析结构中的意义。我们还将系统地构建积空间（Product Spaces）的拓扑结构，分析其在构造复杂空间时的强大作用。 第五部分：连续映射与同胚（Continuous Maps and Homeomorphisms） 本部分聚焦于拓扑空间之间的结构保持映射。我们首先明确连续映射在拓扑空间间的精确定义，并探讨其与开闭集的对应关系。 同胚（Homeomorphism）被定义为双射且双射逆也连续的映射，是拓扑学中研究空间“本质相同”的基准。我们将探讨连续映射在紧致空间上的特殊性质（如闭图像定理的初步体现），并介绍商空间（Quotient Spaces）的构造如何通过“收缩”或“粘合”操作产生新的拓扑空间，这对于理解球面、环面等几何对象至关重要。 第六部分：初步泛函分析：线性赋范空间（Prelude to Functional Analysis: Normed Linear Spaces） 虽然本书并非专门的泛函分析教材，但为了展示现代分析的广阔前景，本部分作为过渡和展望。我们将从度量空间的概念中提炼出线性结构，引入赋范空间（Normed Spaces）的概念。 核心内容包括：范数的性质、线性映射的连续性、以及巴拿赫空间（Banach Spaces，即完备的赋范空间）的定义。我们将证明有限维赋范空间均是巴拿赫空间，并简要介绍Hamel 基的概念。这部分内容将为读者在后续深入学习算子理论、Sobolev 空间等前沿领域时提供必要的术语和直观感受。 本书的特色与目标读者 《现代分析与拓扑学导论》的显著特点是其逻辑的连贯性与概念的深度。它巧妙地将经典分析中对“极限”和“收敛”的直观理解，提升到抽象拓扑空间的严谨框架之下。本书避免了冗长且不必要的初等代数运算，而是将精力集中于结构、性质和定理的证明。 本书的写作风格力求精确而清晰，每一概念的引入都伴随着充分的动机阐述和精确的数学语言。大量的例题和反例被穿插在理论阐述中，用以巩固理解、揭示定理的边界条件，并激发读者的批判性思考。 目标读者包括： 1. 数学专业本科高年级学生： 作为实变函数或一般拓扑学课程的优秀补充教材或主要教材。 2. 研究生新生： 快速弥补基础知识的不足，为进入更专业的领域（如微分几何、代数拓扑、泛函分析）做好充分准备。 3. 相关领域的科研人员： 需要回顾或系统梳理现代分析与拓扑学基本框架的工程师、物理学家或计算机科学家。 通过对本书的学习，读者将不仅掌握现代分析和拓扑学的核心工具，更能培养起使用抽象代数语言精确描述数学问题的能力。

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坦白说，我购买这本书的初衷，其实是为了应付那门传说中“能刷掉一半人”的高等数学期末考试。在我的学习生涯中，遇到难题时，习惯性地会去寻找那些轻描淡写的“标准答案”。但这本书，远超出了“标准答案”的范畴。它的内容组织，体现了一种对学生学习过程的深刻理解。它不是那种直接告诉你“因为A所以B”的懒人手册，而是更像一个细致的陪练。对于那些容易出错的陷阱点，作者们似乎总能心有灵犀地预判到——比如在进行不定积分的换元法时，关于积分区间端点的处理，或者在级数收敛性判断时，漏掉某个边界情况的讨论，书中都会用非常醒目的方式进行强调和注解，旁注的文字虽然不多，但字字珠玑，充满了经验的沉淀。我尤其欣赏它对一些经典证明的展示方式，很多教科书上的证明步骤跳跃性太大，让人感觉像是魔术表演，而这本书，则把每一个细小的逻辑衔接都摊开来，让你能清晰地看到“变化”是如何发生的。这使得我在理解那些抽象概念时，从最初的“似懂非懂”过渡到了真正的“融会贯通”。

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这本书的厚度本身就是一种无声的宣言，它暗示着内容的广度和深度，绝非市面上那些匆匆忙忙赶进度的盗版或非正规资料可比。我曾经尝试过用网络上的免费资源来辅助学习，但很快就发现，那些零散的解答往往缺乏系统性和一致性。你可能在这个章节看到一种解法，换个章节又出现了另一种略有出入的表达方式，这对于建立严谨的数学思维是极其不利的。而这本《高等数学习题解答》，它的语言风格从头到尾保持着一种近乎学术论文的严谨性，这给我一种极大的安全感。特别是对于那些需要运用到多元微积分和线性代数交叉知识点的综合性大题，这本书的处理方式显得尤为老道。它不仅仅是给出了运算结果，更是在解释“为什么”要选择这种特定的工具或定理。这让我在做题时，不再是机械地套用公式，而是开始学会像一个真正的数学工作者那样去思考：面对一个新问题，我应该首先从哪个角度切入？哪些定理是可用的先决条件？这种思维模式的培养，才是这本书带给我最宝贵的财富。

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从装帧和纸张来看，这本书显然是为“长期服役”而设计的。书页的材质厚实，即使我反复涂改、用荧光笔标记，内页也没有出现明显的洇墨现象，这对于需要频繁查阅和演算的学习工具来说，是至关重要的。很多学习资料，读过一轮之后就被束之高阁，但这本《高等数学习题解答》却成了我书架上常青的“工具书”。每当我重新复习某个知识点，例如拉格朗日乘数法或者傅里叶级数的收敛性，我都会不自觉地翻到对应章节，不是去看答案，而是重温那些被我标记出的关键步骤和注意事项。这种深入骨髓的熟悉感，说明它已经不仅仅是一本参考书，更像是一个陪伴我度过无数个不眠之夜的“战友”。它见证了我的挣扎、我的顿悟，以及最终的成功。它的价值，早已超越了印刷品本身的成本，沉淀成了我个人学习方法论的一部分。

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当我把这本书带到高年级学长那里请教时，他只翻了几页，便露出了然的神色，并评价说：“这套题目选得不错，很有代表性，而且解答的详尽程度，足以应付研究生入学考试的复习了。” 这句话让我对这本书的价值有了更客观的认识。它并非仅仅停留在本科基础课程的层面，而是具有一定的拔高作用。我注意到，书中对一些经典的、被反复强调的习题，提供了不止一种解题思路，这非常少见。例如，对于某些涉及极坐标或参数方程的面积计算问题，书中分别用直角坐标、极坐标以及向量场的旋度/散度定理（虽然在基础课程中不一定要求用到，但作为拓展思路提供），这极大地拓宽了我的视野。这种“一题多解”的编排方式，体现了编者试图搭建一个知识体系的完整框架，而不是简单地提供一个“标准答案路径”。它鼓励读者去探索数学语言的多样性和灵活性，这对于培养真正的数学直觉至关重要。

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这本厚厚的书脊，印着朴实无华的标题，初拿到手时，我本以为会是一本枯燥乏味的参考资料，毕竟“习题解答”这几个字，听起来就和“啃硬骨头”没什么两样。然而，当我翻开第一页，那种感觉立刻就消散了。它给我的第一印象，是那种老派大学教材特有的、带着油墨香的踏实感。封面设计简直是极简主义的典范，除了书名，几乎没有多余的装饰，仿佛在向所有求知者宣告：我们这里只讲干货，不玩虚的。我记得当时是在一个光线不太好的自习室里打开它的，周围的同学都在奋笔疾书，试图攻克那些令人望而生畏的微积分难题。我试着对照着书上的某一题，想看看它的解题思路，没想到，它给出的不仅仅是一个最终答案，而是一条清晰、逻辑严密的推理路径。那种感觉，就像是迷失在复杂的几何图形中，突然有一位经验丰富、不善言辞的导师，默默地在你的草稿纸上画出了一条直达目标的捷径。它的排版极为清晰，符号的运用规范得如同印刷体，这对于处理那些涉及大量希腊字母和复杂上下标的数学表达式时，简直是一种视觉上的享受，极大地减轻了阅读负担。

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