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出版者:外语教学与研究出版社

作者:贺伟华 译

出品人:

页数:316

译者:贺伟华

出版时间:2001-01

价格:35.90

装帧:平装

isbn号码:9787560020822

丛书系列:

图书标签:

• GRE
• GMAT
• MCAT
• 数学
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• 考试准备
• 研究生入学考试
• 医学预科考试
• 商业入学考试
• 数学能力

深入探索高等代数与几何：构建坚实的数学思维基础 图书名称：高等代数与几何精要：理论构建与应用实践 图书简介 本书旨在为读者提供一套系统、深入且富有启发性的高等数学学习体验，其核心关注点在于抽象代数、线性代数的核心概念的构建，以及欧几里得几何与微分几何的初步探索。本书内容紧密围绕数学理论的内在逻辑和推导过程展开，力求在严谨性与可理解性之间找到最佳平衡点，避免将重点放在短期应试技巧的训练上。 第一部分：抽象代数的基石——群、环与域的结构 本部分将引导读者进入抽象代数的宏伟殿堂，重点剖析代数结构的基本定义、性质及其相互关系。这不是一本简单的公式汇编，而是一次对“结构”和“对称性”的深刻思考。 第一章：群论导论——对称性的语言 基本概念的辨析： 深入探讨群的定义，着重区分半群、幺半群与群的严格界限。详细解析二面体群 ($D_n$) 和循环群 ($C_n$) 的构造，并利用矩阵表示法（如左乘表示）来直观理解群的运算规律。 子群与陪集： 详尽阐述拉格朗日定理的证明及其在计算阶数和判断同构中的应用。重点分析左陪集与右陪集的区别与联系，并深入探讨正规子群的判定条件（如与内自同构的关系）。 同态与同构： 详细介绍群同态的核（Kernel）与像（Image）的性质，着重论证第一同构定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms），这是理解结构映射关系的关键。通过实例（如 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 到 $C_n$ 的同态），展示理论的实践价值。 商群的构造： 探讨如何利用正规子群构造商群，并分析商群在分解复杂群结构中的作用。 第二章：环论的扩展——代数运算的统一框架 环的公理体系： 建立环（Ring）的精确定义，区分交换环、单位环、整环和域（Field）。通过实例对比 $mathbb{Z}$、 $mathbb{Q}[x]$、 $mathbb{Z}_n$ 等不同类型的环。 理想与商环： 深入分析理想（Ideal）的概念，区分主理想、素理想和极大理想。详细阐述商环的构造原理，并类比群论中的同构定理，推导环的同构定理。 域论基础： 专注于有限域（Galois Fields）的构造，特别是如何利用不可约多项式在 $mathbb{F}_p[x]$ 中构造有限域 $mathbb{F}_{p^k}$。这部分内容将侧重于理论的严密性而非快速计算。 第二部分：线性代数的精炼——向量空间与变换的几何化 本部分聚焦于线性代数的核心——向量空间结构、线性映射以及矩阵的深层含义，强调从几何直觉出发理解代数运算。 第三章：向量空间与基的构造 抽象向量空间的建立： 超越 $mathbb{R}^n$ 的限制，讨论函数空间、多项式空间等无限维向量空间的性质。严格定义线性组合、线性无关、张成与基的概念。 坐标变换与维数： 详尽解释基变换如何影响坐标表示，并严格证明任何向量空间的维数是唯一的。 子空间的分解： 系统分析子空间（如零空间、列空间、行空间）之间的关系，重点探讨四种基本子空间的交织与正交性（此处的正交性仅涉及内积空间，不预设在一般向量空间中讨论）。 第四章：线性映射、矩阵与特征分解 线性映射的性质： 将矩阵视为线性变换的代表，深入研究秩-零化定理（Rank-Nullity Theorem）的几何意义。 特征值与特征向量： 讲解特征值问题的由来，区分代数重数与几何重数。着重讨论对角化（Diagonalization）的充要条件，并引入 Jordan 标准型（Jordan Canonical Form）作为对角化失败情况的统一处理方案。 内积空间与正交性： 引入内积的定义，基于内积讨论正交基、施密特正交化过程，为后续的傅立叶分析和最小二乘法打下坚实基础。 第三部分：解析几何与微积分的交汇——从欧氏空间到流形的初步接触 本部分将代数工具应用到几何描述中，展示纯数学理论如何支撑对空间的精确刻画。 第五章：欧几里得空间与二次型 二次型的矩阵表示： 将二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 与对称矩阵 $A$ 联系起来。 主轴定理与惯性定理： 详细论述如何通过正交相似变换将二次型化为标准形。深入理解惯性定理（Sylvester's Law of Inertia）在分类二次曲面（如椭圆、双曲线、抛物面）中的关键作用。本书将侧重于理论证明，而非机械配方法。 第六章：微积分的几何解释——曲线与曲面的微分结构初探 本章将少量涉及高阶微积分的概念，目的是为未来学习微分几何打下直观基础。 曲线的参数化与曲率： 引入自然参数（弧长），定义 Frenet 标架（切向量、主法向量、从法向量），并计算挠率（Torsion）和曲率（Curvature），展示这些概念如何精确量化空间曲线的弯曲程度。 曲面的第一基本形式（概念引入）： 概述如何利用矩阵（度量张量）来描述曲面上局部区域的长度和角度，而非直接进入复杂的张量分析，旨在提供一个代数结构作用于空间的直观入口。 本书的特点与目标读者 本书的编写风格旨在模仿一本高质量的大学教材，强调逻辑的连贯性、定义的精确性以及定理的严谨证明。我们假设读者已经具备微积分和基础线性代数（如矩阵运算）的知识。 目标读者包括： 1. 数学专业本科生： 希望在进入高年级课程（如抽象代数、微分几何）前，打下坚实理论基础的学生。 2. 物理与工程专业学生： 需要深入理解线性代数和群论在量子力学或晶体结构分析中应用的群体。 3. 追求数学深度理解的自学者： 拒绝死记硬背公式，渴望理解数学概念背后深层结构和相互联系的学习者。 本书不包含任何关于标准化考试（如GRE、GMAT、MCAT）的特定题型分析、快速解题技巧或针对考试大纲的知识点筛选。全部篇幅均致力于构建一套完整、自洽且富有挑战性的高等数学理论框架。

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这本书的精髓显然在于它对“应试”二字的精准把握。很多数学书只是教你数学知识，但这本完全不同，它更像是一个身经百战的“考场老手”在手把手地教你如何应对那些特定的考试陷阱和时间压力。我特意对比了它处理“概率与统计”章节的方式，它没有像教科书那样把所有可能的分布都列出来，而是重点突出了GRE和GMAT常考的几种情况，并针对性地给出了快速解题的“捷径”或思考框架。这种“有用性优先”的原则，极大地提高了我的学习效率。比如，书中对于“排列组合”中的“不可区分元素”处理，提供了一种非常直观的视觉化方法，而不是死记硬背公式。更让我惊喜的是，它在每隔几节内容后，都会穿插一些“考点回顾与易错分析”，这些分析简直是金句频出，很多我过去凭感觉做错的题目，通过阅读这些分析，立刻就明白了问题的症结所在。这不仅仅是知识的传递，更是一种考试策略的传授，非常实用，让人感觉这笔钱花得值当。

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从整体的阅读体验来看，这本书的编排非常注重读者的学习体验和心理建设。它没有一上来就给人一种“数学很可怕”的压迫感，而是通过其温和而坚定的引导，让学习过程变得更加平稳。我尤其喜欢书的扉页和某些章节的开篇，那里会穿插一些关于“如何克服数学焦虑”和“长期备考心态调整”的小段落，这些内容虽然不是直接的数学知识，但对于长期备考的我们来说，精神上的支持同样重要。这种人文关怀的融入，使得这本书超越了一本单纯的工具书的范畴，更像是一位耐心的、专业的导师。它的语言风格在保持专业性的同时，又充满了鼓励性，没有那种高高在上的说教感。当你遇到瓶颈时，翻到任何一页，都能找到清晰的指引和及时的“加油站”。这种全方位的支持，让我在面对那些枯燥的数字和符号时，也能保持一份积极的心态，这种感觉在其他同类书籍中是极少见的。

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这本书的封面设计得非常吸引人，那种深蓝色的背景配上金色的字体，立刻就给人一种专业、严谨的感觉。我拿到它的时候，首先注意到的是它的厚度，很扎实，感觉内容量肯定很足。内页的纸张质量也挺不错，印刷清晰，排版舒服，这对长时间阅读来说非常重要，不然眼睛很容易疲劳。我最欣赏的是它的目录结构，非常清晰地划分了不同考试模块，而且每个模块下面的章节安排得很有逻辑性。比如，它没有急于去讲那些复杂的公式，而是先用一两章的时间来梳理基础概念，这一点对于基础薄弱的同学来说简直是福音。我花了些时间翻阅了其中关于代数的部分，发现它不仅仅是罗列公式，而是通过大量的实例讲解，把抽象的数学思想具象化了，看得出来作者在教学方法上是下过一番功夫的。这种循序渐进的学习路径，让我对后续的学习充满信心。而且，书的侧边还做了不同颜色的标记，方便快速定位到不同考试的部分，这种细节处理体现了作者对考生实际需求的深刻理解。总的来说，光是这本书的硬件和初步的结构感，就已经让我觉得这是一本值得投资的资料。

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我必须得夸赞一下这本书的习题部分，它简直是教科书级别的“难度梯度设计”。入门级别的练习题，难度适中，主要用于巩固刚学完的概念，确保基础扎实。紧接着，过渡到中等难度的题目，开始加入一些干扰项和多步骤的解题过程，这是检验理解深度的关键。最精彩的是最后那一部分——“模拟实战挑战”。这些题目往往融合了两个或三个知识点，而且时间限制非常逼近真实考试的压力，做完一套下来，酣畅淋漓，能清晰地感觉到自己的思维速度和准确性都有了显著提升。更难能可贵的是，这本书的解析部分，绝对不是那种简单地把答案写出来就算完事了。它的解析非常详尽，对于每一个选项，无论是正确答案的推导过程，还是错误选项为什么是错的，都有深入的剖析。特别是那些涉及计算量较大的题目，它会提供至少两种解题思路，一种是“暴力计算法”，另一种是“逻辑巧解法”，这极大地拓宽了我的解题思路。

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对于我这种需要跨考（比如想同时准备MCAT和GRE）的学习者来说，这本书的“模块化”设计简直是救星。我发现，很多基础知识点其实是相通的，但不同考试对深度和侧重点的要求又不一样。这本书很巧妙地处理了这种并列和交叉关系。例如，在基础几何部分，它清晰地标明了“MCAT重点覆盖”和“GRE高频考点”，让我可以根据自己的主攻方向灵活取舍，而不是被迫把所有内容都平均用力。我特别欣赏它在引入新概念时采用的“场景模拟”方式。不像传统的参考书那样，直接抛出一个定理让你去消化，这本书总是先设置一个贴近真实考试的场景——比如一个关于混合溶液的题目，然后引导你一步步推导出所需数学工具，这样知识点就不是孤立的，而是有“生命力”的。这种情景化的学习方式，极大地增强了我对知识点的记忆粘性，也让我不再对那些复杂的应用题感到畏惧，反而觉得是一种解谜的乐趣。

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