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页数:279

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出版时间:2011-8

价格:31.50元

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isbn号码:9787030319920

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• 线性代数
• 矩阵
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• 线性方程组
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• 数学
• 高等数学

现代应用数学研究：离散结构与优化算法 书籍简介 本书并非聚焦于经典的向量空间、矩阵运算与线性变换等线性代数核心概念，而是深入探讨现代应用数学中至关重要的两个分支：离散结构理论与优化算法设计。我们旨在为读者提供一套应对复杂系统建模、数据分析及计算科学挑战的全新思维工具。全书结构严谨，理论与实际应用并重，尤其强调数学工具在工程、计算机科学以及复杂网络分析中的前沿应用。 --- 第一部分：图论与组合结构深度解析 本部分完全脱离传统线性代数框架，专注于研究离散对象及其相互关系，这是构建现代信息科学和运筹学的基础。 第一章：图的拓扑性质与网络流 本章首先建立图论的严格数学基础，区别于代数拓扑学的方法，我们侧重于图的组合属性。内容涵盖： 连通性与路径问题： 讨论图的强连通性、弱连通性，并深入分析Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法的组合优化基础，而非基于矩阵求逆的解法。重点阐述这些算法在最坏情况下的时间复杂度分析，以及如何通过预处理（如分块策略）来优化特定稀疏图上的表现。 树结构与最小生成树： 详细阐述Kruskal算法和Prim算法，对比其在不同图表示（邻接矩阵与邻接表）下的效率差异。引入随机图中的最小生成树性质的统计学分析，特别是与随机矩阵理论的交叉点（但不深入矩阵理论本身）。 网络流理论： 这是本章的核心。我们将深入探讨最大流-最小割定理的组合证明，而非依赖于线性规划的对偶性（尽管两者相关）。重点讲解Ford-Fulkerson方法、Edmonds-Karp算法及其改进，以及如何利用流模型解决匹配问题（如二分图匹配）。对多商品流和循环流问题进行理论建模，侧重于约束条件的组合表达。 第二章：组合优化与计数原理 本章关注在有限集合中寻找最优配置的艺术与科学。 经典组合构造： 重新审视排列、组合、生成函数，但着眼于它们在设计高效算法中的应用，例如动态规划的递推关系构建。 背包问题与NP-完备性： 详细分析0/1背包问题、旅行商问题（TSP）的精确解法（如分支定界法）与近似算法。我们将引入Cook-Levin定理的直观理解，并讨论如何使用启发式算法（如模拟退火、遗传算法）来处理不可行问题。重点在于识别问题的结构特征，而非将其转化为线性系统。 匹配、覆盖与独立集： 讨论König定理的组合意义。分析集合覆盖问题的近似比界限，并介绍贪心策略的有效性分析。 --- 第二部分：计算复杂性与算法设计范式 本部分将数学抽象与计算可行性紧密结合，探讨哪些问题在计算上是“容易”的，哪些是“困难”的。 第三章：计算模型与复杂度理论 本章构建了评估算法效率的理论框架，完全基于计算模型而非向量空间操作。 图灵机与计算模型： 介绍图灵机的形式化定义，并阐述其作为通用计算模型的地位。讨论RAM模型与图灵机模型在特定计算上的效率差异。 时间与空间复杂度： 深入分析O符号、$Omega$符号和$Theta$符号在描述算法渐近行为上的精确含义。重点区分多项式时间（P类）和指数时间（EXP类）的根本区别。 P vs NP问题探讨： 对NP类（非确定性多项式时间）进行严格定义，通过归约（Reduction）的概念来展示问题的内在难度。内容将集中于多项式时间归约的构造技巧，例如如何将SAT问题（可满足性问题）归约到其他NP问题，以证明其NP-完全性。 第四章：高级搜索与启发式算法 本章面向实际应用中的大型搜索空间问题。 回溯与剪枝技术： 详细分析深度优先搜索（DFS）在约束满足问题（CSP）中的应用，特别是使用约束传播和启发式选择（如最小剩余值原则）来加速搜索过程。 博弈论中的搜索： 介绍Minimax算法及其在零和博弈中的应用。重点讲解Alpha-Beta剪枝算法的原理和实现，分析其在不同博弈树结构下的性能提升。 蒙特卡洛方法与随机化算法： 探讨如何利用随机性来设计更快速或更简单的算法。介绍Monte Carlo树搜索（MCTS）在复杂决策问题（如围棋AI）中的应用，以及Las Vegas算法的精确性保证。 --- 第三部分：数值分析基础与离散微分方程 虽然本书不涉及线性代数的核心，但为了解决实际工程中的动态问题，我们必须引入计算方法，这部分内容侧重于数值逼近和离散化，而非符号求解。 第五章：误差分析与迭代方法 本章关注计算过程中的不确定性和收敛性。 浮点运算与误差传播： 分析计算机浮点数的表示及其固有的舍入误差。探讨如何设计数值稳定的算法，以最小化误差在多步计算中的累积效应。 非线性方程的求解： 深入分析牛顿法（Newton's Method）及其在多维空间中的收敛性分析，强调其局部二次收敛的特性。对比Broyden法等拟牛顿方法的效率。 线性系统的数值求解（仅限迭代法）： 讨论雅可比迭代（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel）用于求解大规模稀疏线性系统。重点分析这些迭代方法的收敛条件（基于矩阵的谱半径分析），而不是直接的矩阵求逆或分解。 第六章：离散动力系统与有限差分法 本章将连续系统转化为可计算的离散模型。 差分近似： 详细介绍前向差分、后向差分和中心差分的构造，以及它们在近似一阶和二阶导数时的精度（泰勒展开的误差项分析）。 常微分方程的离散化： 讲解Euler方法、改进的Euler方法和Runge-Kutta（RK4）方法的原理和稳定性分析。重点在于理解这些方法如何将连续时间演化转化为离散步骤的迭代过程。 偏微分方程的有限差分方法简介： 以一维热传导方程为例，展示如何使用网格化技术和时间步进法来获得物理现象的数值解，关注格式的选择（显式与隐式）对稳定性的影响。 --- 总结与展望 本书构建了一个以离散数学、计算复杂性和数值逼近为核心的现代应用数学体系。它强调的是如何通过组合结构、计算效率和迭代逼近来解决现实世界中的优化与建模难题，为读者在算法设计、大数据分析和高性能计算领域打下坚实的基础。本书的理论工具和分析视角与传统的线性代数视角形成鲜明对比，聚焦于计算的可行性和效率边界。

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我一直对数学抱有浓厚的兴趣，但很多时候，教材的枯燥乏味会让我望而却步。《线性代数》这本书，则完全打破了我的这种顾虑。作者的语言风格非常活泼，而且善于运用类比和实例来解释复杂的数学概念。在讲解矩阵的秩和零空间时，作者就用了一个非常巧妙的比喻，让我立刻明白了它们在向量空间中的几何意义。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启发，它让我开始用一种全新的视角去看待数学问题，也让我更加享受学习数学的过程。

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这本书的练习题设计得非常巧妙，既有巩固基础概念的计算题，也有挑战思维、需要灵活运用知识的证明题。我花费了大量时间在这些习题上，每一次攻克难题后的成就感都让我更加热爱学习。其中一道关于求解线性方程组的题目，初看起来似乎只是简单的代数运算，但当我运用高斯消元法和矩阵的逆进行求解时，我才真正领略到矩阵在系统化解决复杂问题上的强大力量。更让我惊喜的是，书中还穿插了一些历史背景的介绍，讲述了线性代数在不同历史时期是如何发展起来的，以及它在科学、工程、经济等各个领域的应用。这些内容不仅增加了阅读的趣味性，也让我对线性代数的价值有了更深刻的认识。

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作为一名非数学专业的学生，我起初对线性代数感到十分棘手。然而，《线性代数》这本书以一种非常友好和易于理解的方式，将这个原本枯燥乏味的学科变得生动有趣。作者非常善于用贴近生活的例子来解释抽象的数学概念。例如，在讲解向量空间时，作者就巧妙地将函数空间比作一个无穷维的向量空间，让我瞬间领悟了抽象代数概念的实际意义。书中对于矩阵运算的解释也尤为细致，从基本的加减乘除到更复杂的矩阵分解，都配有详细的步骤和直观的图示，让我能够轻松掌握。

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这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本引人入胜的数学故事书。作者在讲解线性代数基本概念的同时，还穿插了许多历史上伟大数学家的故事和他们的贡献。我非常喜欢阅读这些内容，它们让我看到了数学发展背后的人文关怀，也激发了我对数学研究的热情。我印象最深刻的是关于高斯消元法的介绍，作者不仅详细描述了算法的步骤，还讲述了高斯在童年时期就展现出的数学天赋。这些生动有趣的细节，让我在学习数学知识的同时，也能感受到数学的魅力。

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对于初学者来说，理解抽象的数学概念往往是一大挑战。《线性代数》这本书在这方面做得非常出色。它用一种非常直观和系统化的方式，逐步引导读者进入线性代数的世界。我尤其赞赏作者对于“向量”和“矩阵”这两个核心概念的讲解，它们并非简单地给出定义，而是从几何意义、代数运算以及它们在实际问题中的应用等多个角度进行阐述。例如，作者在解释矩阵乘法时，不仅给出了代数定义，还将其与线性变换联系起来，让我能够理解矩阵乘法在几何变换中的意义。

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这本书的排版和设计也是一大亮点。清晰的章节划分、醒目的标题、规范的数学符号以及恰到好处的插图，都为阅读提供了极大的便利。我经常在学习过程中遇到一些抽象的定义，但书中提供的直观几何解释和例子，总能帮助我迅速建立起清晰的图像。比如，在理解向量投影的概念时，书中提供的三维空间投影图，让我一下子就明白了向量投影的几何意义，以及它在机器学习和数据分析中的重要作用。这种将抽象数学概念与直观几何可视化相结合的教学方法，是这本书最大的成功之处。

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我一直认为，一本好的数学教材不仅要教会你“怎么做”，更要让你理解“为什么这么做”。《线性代数》在这方面做得非常出色。作者在讲解每一个定理或公式时，都会先从其背后的思想和直观解释入手，然后再进行严谨的数学推导。这种“由表及里”的学习方式，让我能够更深刻地理解每一个概念的本质。例如，在讲解行列式时，作者并没有直接给出一个复杂的计算公式，而是先从二维向量围成的平行四边形的面积入手，然后推广到三维向量围成的平行六面体的体积，最后才引出高维空间的行列式概念。这样的讲解方式，极大地降低了理解的门槛，也让我对线性代数充满了好奇和探索的欲望。

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读完《线性代数》这本书，我深切地感受到了线性代数在现代科学技术中的重要地位。书中关于线性代数在图像处理、数据分析、机器学习等领域的应用案例，让我惊叹于数学的强大力量。作者在讲解这些应用时，并没有止步于概念的介绍，而是深入到具体的算法和数学原理，让我不仅知其然，更知其所以然。这本书的深度和广度都让我印象深刻，它为我打开了一扇通往更广阔数学世界的大门，我迫不及待地想继续探索下去。

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这本书的结构设计非常合理，每一章都承接上一章的内容，并且层层递进，让读者能够循序渐进地掌握线性代数的知识。我发现，即使是那些一开始让我感到困惑的定理，在读完后续章节的解释和例子后，也变得豁然开朗。特别是关于特征值和特征向量的讲解，作者从解微分方程的例子入手，然后深入到矩阵的对角化，让我清晰地看到了这些抽象概念的实际应用价值。这本书不仅传授知识，更重要的是培养了我的数学思维能力。

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这本书绝对是我近年来读过的最令人振奋的数学著作之一！作为一个在大学二年级才开始接触线性代数的学生，我一直对这个领域感到一丝畏惧，总觉得它充斥着抽象的概念和难以理解的符号。然而，《线性代数》这本书彻底改变了我的看法。作者以一种极其生动和循序渐进的方式，将向量空间、矩阵运算、行列式、特征值和特征向量等核心概念娓娓道来。我尤其欣赏书中大量的几何解释，它们帮助我摆脱了纯粹的代数推导，真正理解了这些概念在三维甚至更高维空间中的直观意义。例如，关于向量空间基的阐述，作者通过不同维度空间的类比，让我深刻体会到“张成”和“线性无关”的精髓。

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