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出版者:Cambridge University Press

作者:Carothers, N. L.

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:2000-8

价格:$ 68.93

装帧:Paperback

isbn号码:9780521497565

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《流动的边界：探索物质世界的微观秩序》 引言 我们身处一个充满变化的宇宙，从星辰的宏大运转到细胞的精妙运作，无一不展现着动态的魅力。然而，在这看似杂乱无章的表象之下，隐藏着深刻的内在秩序。本书《流动的边界》正是致力于揭示这种秩序，它将带领我们潜入物质世界的底层，探索那些定义了变化、衡量了增长、并最终塑造了我们所感知现实的根本性原理。这并非一次对现有知识的简单复述，而是一场关于“如何理解变化”的深度思考，一场对数学工具如何在描述和预测自然现象中发挥核心作用的探索。我们将聚焦于数学的语言，理解如何通过严谨的逻辑和抽象的思维，捕捉并理解那些在时间和空间中不断演化的现象。 第一章：无限的触角——序列与极限的初步审视 万事万物的发展，往往可以追溯到一个起点，并观察其随时间的推移而产生的变化。在数学中，序列便扮演着记录这些变化轨迹的角色。本书将从最基础的序列概念入手，理解离散的数据点如何描绘出连续的过程。我们将学习如何识别序列的模式，预测其未来的走向。更重要的是，我们将深入探究“极限”这一核心概念。极限并非指向某个具体的数值，而是描述了一个过程无限趋近的状态。它就像是远方海岸的模糊轮廓，虽然我们无法完全触及，但其存在和方向却深刻地影响着我们对整体旅程的理解。 我们将通过生动的例子，例如水滴如何最终汇聚成溪流，或者经济增长的初期阶段如何缓慢而渐进，来体会序列和极限的直观意义。例如，我们观察一个不断分裂的细胞群体，其数量序列可能随着时间的推移而迅速增长，但我们能否找到一个“理想”的增长率，一个能够近似描述其长期行为的数值？或者，当我们考虑一个物体从高处落下，其速度会越来越快，这个速度的变化是否会趋向于某个极限值？ 本书不会止步于这些直观的感受，而是将引入形式化的定义，学会用数学的语言精确地描述序列的收敛与发散。我们将理解“ε-N”语言的强大力量，它如何将“无限趋近”这一模糊的概念转化为严格可证的命题。通过对等比数列、调和数列等经典案例的分析，我们将熟练掌握判断序列极限的方法，并为后续更复杂的分析打下坚实的基础。 第二章：连续的舞蹈——函数与极限的深度解析 如果说序列是离散的点，那么函数则是连接这些点的光滑曲线，它们代表着一种连续的变化。在自然界，几乎所有的物理量和生物过程都以连续的方式演化：温度在一天内平滑地变化，物体的位移是连续的，甚至我们的情绪波动也往往呈现出一种平缓的过渡。本章将聚焦于函数的极限，这是理解函数行为的关键。 我们将从直观上理解函数的极限，例如，当变量无限接近某个值时，函数的值会如何表现。我们会看到，函数的极限可以帮助我们理解函数在某个点的“意图”，即使该点本身可能没有被定义，或者存在一些“跳跃”。例如，考虑一个在某个点突然改变斜率的曲线，虽然在那个点上的导数可能不存在，但通过极限，我们可以理解曲线在这一点附近是如何“表现”的。 本书将详细阐述函数极限的定义，并探索其性质。我们将学习如何处理各种类型的函数极限，包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数以及三角函数。我们还将深入理解“左极限”与“右极限”的概念，它们对于理解函数在不连续点附近的行为至关重要。 通过大量的实例，我们将看到函数极限在现实世界中的应用。例如，在工程领域，当考虑一个系统在某个输入值附近的行为时，函数极限是必不可少的工具。在经济学中，分析商品价格随需求变化的趋势，也常常需要用到函数的极限。更重要的是，函数极限是理解“连续性”这一概念的基石。我们将探讨一个函数为何在某些点连续，而在另一些点不连续，以及这种连续性对我们理解物理世界意味着什么。 第三章：微积分的基石——连续性、介值定理与最大最小值定理 连续性是函数世界中最迷人的属性之一。一个连续的函数就像一条不曾断裂的丝线，它传递着一种流畅的、无缝的信息。本章将深入剖析连续性的本质，并介绍两个由连续性衍生出的至关重要的定理：介值定理和最大最小值定理。 介值定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上是连续的，那么它必然会取到该区间内任意两个函数值之间的所有值。这听起来可能很简单，但其蕴含的意义却极为深远。它能够证明一些看似显而易见的数学事实。例如，如果我们在地球的赤道上，并且从西向东走了足够长的距离，那么我们必然会经过一个温度与我们出发点温度相同的点。介值定理能够为这种“必然性”提供严格的数学证明。 最大最小值定理则指出，一个在闭区间上连续的函数，必然在该区间上取得其最大值和最小值。这对于我们理解事物的“峰值”和“谷值”至关重要。例如，在描述一个物体运动的轨迹时，最大最小值定理能够帮助我们确定物体能够达到的最高和最低点。 本书将通过丰富的几何和代数解释，帮助读者直观地理解这两个定理。我们将探讨它们在解决实际问题中的应用，例如在优化问题中寻找最优解，或者在物理学中分析能量的分布。这些定理并非仅仅是抽象的数学概念，它们是我们理解自然界中普遍存在的“中间状态”和“极端值”的有力工具。 第四章：变化的度量——导数的概念与几何意义 变化是宇宙的永恒主题，而导数则是度量这种变化的强大工具。本章将从一个全新的视角来审视变化，即关注其“瞬时速率”。我们将抛开平均变化率的概念，转而探究在某个特定瞬间，事物变化的速度究竟有多快。 本书将从直观的几何意义入手，理解导数与曲线的“斜率”之间的深刻联系。我们将看到，导数描绘了函数在某一点处的切线斜率，这正是瞬时变化率的几何体现。一个陡峭的斜率意味着快速的变化，而一个平缓的斜率则代表着缓慢的变化。 我们将引入导数的正式定义，并学习如何计算各种函数的导数。我们将探讨导数的几何解释，例如在图形上如何理解斜率的变化，以及它如何反映函数的增减性。 导数不仅仅是一个数学概念，它在科学和工程领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，速度是位移对时间的导数，加速度则是速度对时间的导数。在经济学中，边际成本、边际收益等概念都与导数密切相关。本书将通过具体的案例，展示导数如何帮助我们理解和预测事物的动态行为，例如分析物体的运动轨迹、预测人口的增长率、或者评估投资的风险。 第五章：积累的智慧——积分的初步探索 如果说导数关注的是“变化率”，那么积分则关注的是“累积效应”。当我们连续地累加无穷多个微小量时，我们所得到的总量，便是积分所描述的。本章将带领读者初步领略积分的魅力，理解它如何衡量“面积”和“体积”，以及如何通过累积来理解总量。 我们将从几何上理解积分与曲线下面积之间的关系。我们将看到，积分可以将不规则的形状分解为无穷多个微小的矩形，然后累加它们的面积，从而得到整个图形的面积。这种方法是如此的强大，它能够计算我们用简单几何公式无法企及的面积。 本书将引入定积分和不定积分的概念，并介绍求积分的基本方法。我们将通过直观的例子，例如计算河流的流量，或者分析一个力在物体上做的功，来体会积分的实际意义。 积分与导数之间存在着深刻的联系，这种联系被称为“微积分基本定理”。我们将在此处初步提及，为后续更深入的探讨埋下伏笔。积分不仅仅是计算面积的工具，它更是我们理解物理世界中“累积”和“总量”概念的基石。例如，在物理学中，通过对速度进行积分，我们可以得到物体的位移；在概率论中，积分可以用来计算事件发生的概率。 第六章：变化的度量与累积的智慧的统一——微积分基本定理 本章是整本书的核心与升华。我们将揭示导数与积分之间那令人惊叹的统一性，即微积分基本定理。这个定理如同连接两个世界的桥梁，将“变化率”与“累积效应”紧密地联系在一起。 我们将详细阐述微积分基本定理的内容，并深入理解其证明思路。这个定理表明，求导和积分是互逆的过程。这意味着，如果我们知道一个量的变化率（导数），我们就可以通过积分来求出这个量本身（不定积分）；反之，如果我们知道一个量的累积总量（定积分），我们就可以通过求导来得到其变化率。 本书将通过大量的范例，展示微积分基本定理的威力。我们将看到，如何利用这个定理来简化复杂的积分计算，如何通过对变化率的分析来解决累积总量的问题。例如，如果我们知道一个工厂生产物品的边际成本（导数），我们就可以通过积分来计算总的生产成本；如果我们知道一个物体在某个时刻的速度（导数），我们就可以通过积分来计算它在一段时间内的总位移。 微积分基本定理的发现是人类智力史上的里程碑，它为我们理解和描述自然界提供了前所未有的强大工具。本章将带领读者深刻体会这一数学巨擘的深邃思想，并为其在未来的学习和研究中打下坚实的基础。 结语 《流动的边界》带领我们走过了一段关于变化与秩序的数学之旅。我们从最简单的序列开始，一步步深入到函数、导数与积分的世界，最终揭示了微积分基本定理这一数学皇冠上的明珠。本书所探讨的数学工具，并非仅仅是抽象的符号和公式，它们是理解我们所处世界运行规律的钥匙。无论是宇宙的宏观演化，还是微观粒子的奇妙运动，抑或是生命体内部的精妙调节，都离不开这些数学原理的支撑。 掌握这些概念，意味着我们拥有了更深刻的洞察力，能够以一种更严谨、更系统的方式去观察和分析现象。我们学会了如何捕捉事物的瞬息万变，如何衡量其累积效应，并最终理解它们之间内在的逻辑联系。这种能力，将帮助我们在各个领域做出更明智的决策，创造更美好的未来。这本书提供了一个起点，一个让你能够真正“看见”流动，并理解其背后隐藏的秩序的起点。

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我必须承认，我在这本书上遇到的最大阻力，来自于作者对拓扑学的引用方式。他似乎将集合论和拓扑学的知识视为理所当然的基础，然后大刀阔斧地将其融入到实分析的框架中。对于像我这样，拓扑背景相对薄弱的读者来说，这简直是雪上加霜。每当一个“紧致集”或者“开球”的概念突然跳出来时，我都会有一种强烈的挫败感，感觉自己被一种更高级的语言体系隔离在了知识圈之外。我不得不在阅读这本书的同时，随身带着一本关于拓扑学的入门读物，像个间谍一样，偷偷查阅那些基础定义，然后再小心翼翼地回到主战场，试图跟上作者的思维速度。这本书的优点在于其理论的完整性和统一性，但代价是，它对读者的先验知识储备提出了近乎变态的要求，像是在考验读者是否值得被授予进入高级数学殿堂的门票。

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这本书最让我欣赏的一点，是它对“为什么需要这些”这个问题的隐晦回答。它并没有花太多篇幅去讨论应用，但当你深入到勒贝格积分理论时，你会突然明白，我们必须脱离黎曼积分的桎梏，因为我们需要一个更健壮、更具扩展性的积分概念来处理更复杂、更“真实”的函数。这种对理论深刻性的追求，让我体会到数学家们是如何一步步构建起这宏伟的理论大厦的。它展示了，看似枯燥的、仅仅是符号游戏般的定义和定理，是如何为了解决一个深层次的、必须解决的问题而诞生的。阅读它，就像是旁观一位技艺精湛的工匠，在打磨一块未经雕琢的原石，你看着那些看似多余的削减，最终明白，正是这些看似无情的去除，才最终凸显出材料的完美形态。这是一次对数学思维的深刻沉浸，而非肤浅的知识获取。

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老实说，这本书的排版和符号系统简直是艺术品级别的灾难。我不是说内容不好，内容是无可指摘的经典，但阅读体验实在是一种挑战。那些无穷的上下标、花里胡哨的希腊字母和各种奇怪的积分符号，像是被某种古老的咒语覆盖了一样。我常常需要对照着书后附带的符号索引，才能搞清楚那个圈圈上的点到底是代表什么意思。有时候，我甚至怀疑作者是不是故意的，就是想通过这种方式来筛选掉那些意志力不坚定的读者。当我试图带着一杯咖啡，在午后的阳光下轻松地读上几页时，立刻就被那些密密麻麻的公式群淹没了，感觉自己不是在阅读数学，而是在进行一场艰苦的考古挖掘工作，试图从层层堆砌的符号碎片中还原出原始的真理。如果能出一本配套的“翻译手册”，专门解释这些符号在实际意义上到底代表了什么，那该是多么伟大的创举啊。

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这本书的数学论证严谨得让人窒息，简直就是一本献给那些对“极限”二字有着偏执追求的读者的圣经。我记得翻开第一章，作者就用一种近乎残酷的精确性，把我们带入了一个由$epsilon$和$delta$构筑的抽象世界。那种感觉，就像是站在悬崖边，每一步都必须踩在逻辑的钢丝上，稍有不慎就会跌入直觉的泥潭。他对于连续性的阐述，简直是对“直觉性理解”的彻底颠覆。我花了整整一个下午，才勉强消化了关于一致连续性的那个小小的定理，但一旦理解，那种豁然开朗的感觉，比任何奇幻小说的结局都更令人满足。这本书的魅力就在于，它强迫你摒弃所有关于“看起来是这样”的侥幸心理，只接受严格的证明。阅读过程非常折磨，但它雕刻出了我作为数学学习者最需要的骨架——对精确性的敬畏之心。对于初次接触高等分析的人来说，这无疑是一次精神上的“洗礼”，准备好迎接思维的重塑吧。

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这本厚重的砖头书，重量和它所承载的知识密度成正比，它更像是一本工具书而不是一本可以轻松阅读的书籍。我发现自己很少能连续读完两个章节，通常是每读完一个关键证明，就必须停下来，合上书，走到窗边，盯着远处的树木发呆至少十分钟，让大脑的缓存清空一下。它没有提供太多“通俗易懂”的例子来辅助理解，作者的假设是你已经对微积分的一切都了如指掌，并且迫不及待地想知道“为什么”会是那样。当你真正开始思考里贝格测度或者Banach空间时，你会发现，书里那些看似轻描淡写的“显然地”，背后隐藏着我需要花费数小时才能补全的逻辑链条。这本书更像是为那些已经走过初级阶段，正在寻求理论深度的人准备的，它不是友善的向导，而是冷峻的导师，只负责指出方向，剩下的攀爬过程全靠你自己。

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什么破书，顺序混乱不堪，东讲一点西讲一点，毫无体系可言。助教的课指定这本教材，老师看了没法教，助教看了没法讲习题课。Rudin数学分析前半本+Stein实分析前三章足以吊打此书。

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美国教材，启发性的多，需要自己想的东西很多

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One can use it as the notes for Rudin's PRINCIPLE

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这本书写的很漂亮

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什么破书，顺序混乱不堪，东讲一点西讲一点，毫无体系可言。助教的课指定这本教材，老师看了没法教，助教看了没法讲习题课。Rudin数学分析前半本+Stein实分析前三章足以吊打此书。