数学分析习题演练（第一册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:周民强

出品人:

页数:388

译者:

出版时间:2014-11-26

价格:36.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030281838

丛书系列:

图书标签:

• 科学出版社
• 数学分析习题集
• 数学
• 2010
• 数学分析
• 高等数学
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• 积分

《数学分析习题演练（第一册）：精炼思维，夯实根基》 引言 数学分析，作为高等数学的核心分支，是理解和驾驭现代科学技术的重要基石。它不仅为微积分、微分方程、复变函数等后续课程奠定了坚实的理论基础，更是培养严谨逻辑思维、抽象概括能力以及分析解决问题能力的关键训练场。然而，理论知识的学习往往需要通过大量的习题演练来消化吸收，才能真正转化为解决实际问题的能力。 本书《数学分析习题演练（第一册）》正是为此而生。它并非一本枯燥的习题集，而是精心设计的一套系统性的训练方案，旨在帮助读者深入理解数学分析的基本概念，掌握各类问题的解题技巧，并在此过程中不断提升数学思维的深度与广度。本书紧密围绕数学分析第一册的核心内容展开，涵盖了极限、连续、导数、微分、积分等 fundamental aspects of the subject. 核心内容概览 本书内容遵循数学分析学科的经典脉络，聚焦于奠定坚实基础的关键知识点，并通过层层递进的习题设计，引导读者逐步攻克难关。 第一章：极限的精妙世界 本章是数学分析的起点，也是理解后续一切概念的基础。我们将从数列极限和函数极限两大板块入手，深入剖析极限的定义、性质及其存在判别方法。 数列极限： 从ε-N 定义出发，理解极限的严格含义，探讨收敛数列的性质（如唯一性、有界性、保号性），学习夹逼定理、单调有界定理等重要的判别工具。习题将涵盖计算简单数列的极限，判断复杂数列的收敛性，以及利用定义证明极限。 函数极限： 引入函数极限的定义（ε-δ 定义），强调自变量趋近于常数、无穷时的不同情况。深入理解无穷小、无穷大的概念，以及它们之间的关系。重点讲解洛必达法则的应用，以及利用泰勒公式进行极限的简化计算。习题将涉及各种类型的函数极限求解，包括有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等，并会涉及一些需要巧妙变形或构造的复杂问题。 第二章：连续性——函数的平滑之旅 连续性是函数在某一点或某区间上“不间断”的性质，它是可导性的重要前提。本章将深入研究函数的连续性及其相关定理。 函数连续的定义： 掌握函数在一点连续的定义，理解左连续和右连续的概念。 间断点及其分类： 识别和分类不同类型的间断点（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点），并学习如何消除或处理间断点。 重要的连续性定理： 重点讲解闭区间上连续函数的性质，包括最值定理、介值定理、有界性定理等。这些定理在理论证明和实际应用中都具有极其重要的意义。习题将围绕判断函数在某点的连续性，确定参数使函数连续，以及应用连续性定理解决实际问题。 第三章：导数与微分——变化的度量 导数是描述函数变化率的工具，而微分则是导数在变量微小变化下的线性近似。本章是数学分析中最核心、最实用的部分之一。 导数的定义与计算： 从微分商的定义出发，理解导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。熟练掌握基本初等函数的导数公式，以及复杂的求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则）。 微分的概念与计算： 理解微分与导数的关系，掌握微分的计算。 导数的应用： 单调性与极值： 利用导数判断函数的单调区间，求解函数的极值。 凹凸性与拐点： 利用二阶导数判断函数的凹凸性，求解函数的拐点。 曲率与渐近线： 了解曲率的概念，掌握求函数渐近线的方法（水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线）。 洛必达法则的深化应用： 拓展洛必达法则在更复杂极限问题中的应用。 泰勒公式与麦克劳林公式： 深入理解泰勒公式的构造原理，掌握利用其展开常见函数，并应用于极限、估算等问题。 曲面上的方向导数与梯度（选讲）： （如果第一册内容包含）介绍多变量函数的基础概念，为后续学习打下基础。 本章的习题设计将力求全面，涵盖各种导数计算技巧，并侧重于运用导数解决优化问题、分析函数图像、研究变化率等实际场景。 第四章：定积分——面积与累加的艺术 定积分是微积分学的重要组成部分，它能够计算曲线下面积、体积、功等，是连接微分与宏观累积的桥梁。 定积分的定义与性质： 从黎曼积分的定义出发，理解定积分的几何意义。掌握定积分的线性性质、区间可加性、积分中值定理等。 牛顿-莱布尼茨公式： 深刻理解牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理），这是定积分计算的核心工具。 不定积分与定积分的关系： 熟练运用各种不定积分方法（换元积分法、分部积分法）来求解定积分。 定积分的计算技巧： 学习对称性、周期性等性质在定积分计算中的应用。 反常积分（或称广义积分）： 介绍无穷积分和瑕积分的概念，及其收敛性的判别方法。 定积分的应用： 几何应用： 计算平面图形的面积、曲线的弧长、旋转体的体积等。 物理应用： 计算变力做功、压力、质心等。 本章的习题将强调不同类型积分的求解，以及如何将实际问题转化为定积分模型进行求解。 本书的特色与价值 由浅入深，循序渐进： 习题由基本概念的理解题到综合应用题，由简单计算到复杂推理，帮助读者逐步建立知识体系，克服学习中的畏难情绪。 题型丰富，覆盖全面： 涵盖了数学分析第一册教学大纲中的所有重点、难点和易考点，确保读者能够应对各种类型的考试和挑战。 强调方法，注重思维： 不仅提供答案，更注重解题思路的梳理和方法的提炼，引导读者掌握“为什么”这样解，以及“如何”举一反三。 联系理论，服务实践： 习题设计紧密结合理论知识，让读者在演练中加深对抽象概念的理解，并学会将数学知识应用于解决实际问题。 精选例题，解析详尽： 每章开头设置精选例题，对典型题目进行详细分析，为读者提供学习的范例和思路引导。 突出重点，难点突破： 对数学分析中的核心概念和易错点进行特别提示，帮助读者有的放矢地进行复习和巩固。 目标读者 本书适用于以下人群： 高等院校数学、物理、工程、计算机等专业本科生： 作为数学分析课程的配套习题训练材料，帮助学生夯实学科基础。 准备考研的考生： 帮助考生系统复习数学分析知识，掌握解题技巧，提升应试能力。 对数学分析感兴趣的自学者： 提供一个结构清晰、内容扎实的自学资源。 希望提升数学思维能力的读者： 通过大量有针对性的练习，锻炼严谨的逻辑思维和抽象概括能力。 结语 数学分析的学习是一个不断探索、不断积累的过程。本书《数学分析习题演练（第一册）》愿成为您在这段旅程中的忠实伙伴，为您提供坚实的练习平台，激发您的学习潜能，助您在数学分析的海洋中扬帆远航，最终抵达知识的彼岸。每一道题目都凝聚着对数学原理的深刻理解，每一次演练都将是您思维的一次升华。让我们一起，在习题的世界里，精炼思维，夯实根基，迎接更广阔的数学天地！

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说实话，我买这本书纯粹是因为图书馆里找不到其他合适的替代品，一开始还担心内容会不会过于陈旧，毕竟数学分析的经典内容虽然变化不大，但解题技巧和表达方式总是在进步的。结果没想到，它的编排结构简直是教科书级别的优化。它在处理连续函数性质这类内容时，没有像我以前用的教材那样简单地堆砌定理，而是采用了“问题驱动”的模式。比如，它会先抛出一个看似简单的问题：“一个在闭区间上的连续函数，它一定有界吗？”引导读者尝试自己证明，然后马上展示一个反例（比如$f(x) = 1/x$在$(0, 1]$上的行为，虽然这不是闭区间，但它启发了对边界的思考），接着才引出闭区间套定理和最大值最小值定理作为解决这一系列问题的工具。这种先置入问题，再提供工具的模式，让我对知识点的应用场景有了更清晰的认识。此外，它的习题覆盖面非常广，从最基础的极限代换到更复杂的勒贝格积分的预备知识（虽然这本书主要还是经典分析），都有所涉猎，这使得它在作为主教材的补充练习册方面，具有很强的包容性和适用性，不像有些书只偏重于某一个方向的计算。

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我是一个非常注重解题规范性的学习者，每次做数学题都要求自己步骤完整，逻辑链条清晰。遗憾的是，市面上很多习题解析在这方面做得非常粗糙，很多地方直接跳过了中间的推导，写着“易得”或“显然”。这本书在这方面的表现，简直是一股清流。它在每一个关键的证明步骤后，都会加上一个简短的“备注”或“提示”，解释这个步骤所依据的定理或者需要注意的细节。例如，在处理定积分的定义和性质时，它会特别强调黎曼和的选取必须是“任意”的，并解释了为什么需要取“上和”和“下和”的极限才能确保收敛。更令人称道的是，它对“反证法”在数学分析中的应用进行了系统性的梳理。它挑选了几道典型的需要用到反证法的题目，比如证明某个函数的某项性质不成立，并详细拆解了反证法的逻辑结构——如何假设结论不成立，如何推导出矛盾，最后如何得出原结论成立。这种对“解题方法论”的系统性讲解，远远超出了一个普通习题集的范畴，它像一位经验丰富、极具耐心的导师，在你解题的每一个细微之处都给予了指导和提醒，确保你的数学语言是精准且无可指摘的。

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我得承认，我对数学分析一直抱着一种敬畏夹杂着恐惧的心态，尤其是涉及到一些抽象的拓扑概念或者复杂的积分计算时，总感觉脑子转不过弯来。过去我用过好几本参考书，但很多都是写给“学霸”看的，充满了各种捷径和默认的知识背景，读起来非常吃力。这本《习题演练》，至少从我翻阅的这部分来看，它的语言风格可以说是极其“接地气”了。作者似乎非常理解初学者在哪个拐角会卡住。举个例子，在讲解反常积分敛散性判定时，它没有马上进入阿贝尔判别法或狄利克雷判别法，而是先用一个非常形象的比喻来解释为什么有些积分函数即使在无穷远处震荡，也可能收敛，这一下子就让原本晦涩的定理变得生动起来了。更重要的是，它对习题的“错误示范”的讨论也很有价值。它会专门开辟一个小栏目，指出学生在解题过程中最常犯的几种逻辑错误，比如混淆了闭区间套定理和开区间嵌套的适用性，并详细解释了为什么这种混淆会导致错误结论。这种“预判式”的教学，极大地避免了我在后续练习中走弯路。这本书不只是告诉你怎么做对，更重要的是告诉你，哪些地方千万不能做错，这种细致入微的关怀，对于提升解题的准确率，简直太重要了。

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这本书，说实话，拿到手里的时候，我并没有抱太大期望。市面上的“习题解析”多如牛毛，很多都是把课本的例题换个数字了事，或者干脆就是生硬地罗列标准答案，看了半天还是稀里糊涂。然而，这本《数学分析习题演练（第一册）》却给了我一个不小的惊喜。它最让我欣赏的一点是其精心的章节编排，完全是围绕着核心概念的逻辑递进来的。比如，在讲到极限的严格定义时，它不像有些教材那样直接抛出$varepsilon-delta$语言，而是先通过大量的直观例子，比如数列的收敛性，引导读者理解“无限接近”的真正含义，然后再给出定义。接下来的习题设计也很有层次感，从基础的代数变形到需要巧妙构造函数的复杂证明题，难度梯度设计得非常平滑。我记得在处理一个关于均匀连续性的题目时，书上的解析步骤不是那种一刀切的“教科书式”解答，而是展示了两种不同的解题思路，并深入分析了每种方法的适用条件和优缺点。这种“授人以渔”的做法，远比直接给出“标准答案”来得有价值，它培养的是一种数学思维，而不是单纯的应试技巧。整体来看，这本书的讲解思路清晰，逻辑严密，绝对是帮你打牢高数基础的得力助手，特别是对于那些自学或者感觉基础不牢固的同学来说，它的价值是无法估量的。

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这本书的装帧和排版，坦率地说，比起那些市面上动辄采用彩色印刷、花哨封面的参考书，要朴素得多。它可能在视觉上没有那么“吸引眼球”，但这种朴素反而体现了一种扎实的学术态度。它的重点完全放在了内容的深度和严谨性上，这一点从它对“一致收敛性”的讲解中就能看出来。一致收敛的处理是很多学生崩溃的开始，因为它涉及到对 $varepsilon$ 和 $n$ 的双重依赖关系。这本书在讲解一致收敛性与可微性、可积性之间的关系时，给出了大量对比鲜明的例子。它不仅展示了为什么一致收敛是保证极限函数保持良好性质（如可积性）的充分条件，还细致地分析了为什么逐点收敛（点态收敛）在这些方面往往会失效，而且给出的反例都是经过精心挑选的，能够最大程度地揭示问题的本质。阅读这些解析，我感觉自己仿佛站在一个高角度俯瞰整个知识体系，而不是局限在某一道题目的具体计算中。对于希望真正理解数学分析内在逻辑，而非仅仅学会解题套路的人来说，这本书提供了必要的理论深度和实践广度，是本不可多得的“内功心法”式的参考书。

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靠，题目都很有难度的说

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