Théorie élémentaire des fonctions analytiques. D'une ou plusieurs variables complexes - Deuxième cyc pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Hermann

作者:Henri Cartan

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1997-10-21

价格:EUR 42.00

装帧:Relié

isbn号码:9782705652159

丛书系列:

图书标签:

Math
数学
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教材

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具体描述

《高等数论基础》作者：[此处填写真实作者姓名，例如：安德鲁·怀尔斯 (Andrew Wiles) 或让-皮埃尔·塞尔 (Jean-Pierre Serre) 等相关领域的权威学者] 出版社：[此处填写真实出版社名称，例如：剑桥大学出版社 (Cambridge University Press) 或普林斯顿大学出版社 (Princeton University Press)] 第一部分：代数数论的基石本书旨在为读者提供进入深奥、严谨的代数数论世界的坚实基础。不同于侧重于复变函数几何性质的研究路径，《高等数论基础》完全聚焦于有理数域（$mathbb{Q}$）上的代数扩张体及其上的整数环结构。本书的结构设计旨在循序渐进地引导初学者掌握构造性证明的技巧，并为深入研究黎曼猜想的数论分支或椭圆曲线上的模形式打下必要的理论框架。第一章：数域与环本章从对有限域扩张 $mathbb{K}/mathbb{Q}$ 的系统性研究开始。我们首先定义并详细考察了代数整数的概念，区别于普通有理整数 $mathbb{Z}$，代数整数构成了数域 $mathbb{K}$ 中的代数整数环 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$。我们深入探讨了判别式（Discriminant）在判定扩张性质中的核心作用，并建立了 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$ 是一个自由阿贝尔群的精确证明，这为其后的理想理论奠定了群论基础。重点内容包括： 1. 环的定义与性质：从 $mathbb{Z}$ 到一般数域 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$ 的自然推广，讨论了嵌入（Embeddings）和迹（Trace）、范数（Norm）函数的双线性形式。 2. 判别式：计算 $n$ 次不可约多项式的判别式，并证明了 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$ 的基底结构与判别式之间的关系。 3. 环的结构定理：建立 $R$ 是一个 Dedekind 域的充要条件，并引入了理想类的概念。第二章：理想的分解与唯一性在代数数论中，我们发现数域中的素数不再保持“不可分解性”，转而分解为多个素理想的乘积。本章的核心目标是证明理想的唯一分解定理，这是本书最核心的成果之一，它恢复了在更广阔的代数结构中类似于 $mathbb{Z}$ 中算术基本定理的优美性。我们首先定义了素理想（Prime Ideal）和最大理想（Maximal Ideal），并区分了它们在 Dedekind 域中的等价性。随后，我们详细论述了以下几个关键概念： 1. 理想的乘法与交集：定义了理想的乘积和最小公倍数（LCM）的概念，并证明了任意非零理想可以唯一地分解为素理想的乘积。 2. 上分（Ramification）现象：分析了在扩张 $L/K$ 中，素理想 $P$ 如何分解为 $Q_1^{e_1} cdots Q_g^{e_g}$ 的形式，特别是惯性次数 $f_i$ 和分支指数 $e_i$ 的意义，并讨论了判别式与上分之间的深刻联系。 3. 分数理想（Fractional Ideals）：引入分数理想的概念，并证明了 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$ 的分数理想构成了群，其单位元是主分数理想 $(1)$。第三章：类群的结构理想的唯一分解定理只在主理想域（PID）中成立。然而，对于大多数数域，其整数环 $mathcal{O}_{mathbb{K}}$ 并非 PID。本章致力于研究这种“缺陷”的程度，即类数（Class Number）的定义与计算。我们定义了主理想类群 $ ext{Cl}(mathbb{Q}(sqrt{d}))$：两个理想 $mathfrak{a}$ 和 $mathfrak{b}$ 属于同一类，当且仅当存在一个分数理想 $gamma$ 使得 $mathfrak{a} = gamma mathfrak{b}$。我们证明了 $ ext{Cl}(mathbb{K})$ 是一个有限阿贝尔群，其阶即为类数 $h_{mathbb{K}}$。本章的难点在于计算 $h_{mathbb{K}}$，我们采用 Minkowski 边界（Minkowski Bound）的方法： 1. Minkowski 空间与嵌入：将数域 $mathbb{K}$ 嵌入到 $mathbb{R}^{r_1} imes mathbb{C}^{r_2}$ 空间中，并定义了理想类的基本域。 2. Minkowski 范数：定义了理想的范数函数，并证明了每个理想类都包含一个范数小于特定上界 $M_{mathbb{K}}$ 的理想。 3. 计算示例：详细计算了二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ (d 无平方因子) 的类数，通过枚举所有小于 $M_{mathbb{K}}$ 的素数及其理想分解，确定出完整的类群结构。第二部分：$L$ 函数与解析数论的初探在扎实了代数结构基础后，本书的后半部分转向解析方法，探讨数论问题在实数域和复平面上的推广，为理解黎曼 $zeta$ 函数提供了必要的背景。第四章：Dirichlet 级数与特征标本章重点引入了Dirichlet 级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$ 的概念，这是将数论问题转化为复分析工具的关键桥梁。我们详细分析了黎曼 $zeta$ 函数 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 的欧拉乘积展开，并确立了 Dirichlet 密度定理的分析框架。核心内容包括： 1. 收敛性与解析延拓：讨论了 $L$-级数的绝对收敛域，以及通过泛函方程实现解析延拓的必要性。 2. Dirichlet 特征标：定义了模 $q$ 的特征标 $chi$，并构造了相应的Dirichlet $L$-函数 $L(s, chi)$。我们证明了若 $chi$ 是非主特征标，则 $L(s, chi)$ 在 $s=1$ 处不取零值。 3. 算术级数中的素数定理（Dirichlet 定理）：利用 $L$-函数的零点信息，严格证明了任意互质的算术级数中包含无穷多个素数。第五章：伽罗瓦理论与代数体的联系（选读）本章旨在将前述的理想分解与数域的自同构群联系起来，为更高级的研究做铺垫。虽然本书并未深入研究完整的伽罗瓦理论，但引入了惯性群和分解群的概念。我们展示了素理想 $P$ 在扩张 $mathbb{K}/mathbb{Q}$ 上的分解如何由 $ ext{Gal}(mathbb{K}/mathbb{Q})$ 的子群结构决定。特别是，我们讨论了完全分歧和非分歧扩张的理想分解性质，以及密度定理在确定自同构群元素密度中的作用。总结与展望本书严格遵循了从代数到分析的逻辑路径，详细构建了代数数论的两个核心支柱：理想的唯一分解与类群的有限性。通过 Minkowski 边界的构造性证明，读者将能够计算并理解特定数域的类数。后续的 $L$-函数部分则为理解素数分布的更深层次规律（如黎曼猜想的数论推论）提供了必要的分析工具。本书不涉及复流形、代数几何或拓扑学在数论中的应用，其核心始终围绕在 $mathbb{Q}$ 上的代数扩张体及其整数环的离散结构上。

作者简介

作者亨利·嘉当是法国著名的数学家。法国科学院院士，美国科学院外籍院士，嘉当还是日本、波兰、马德里等近10个国家的院士或名誉院士。1980年获Wolf奖。1985年曾访问中国，并与《解析函数论初步》的译者余家荣先生有深厚的友谊。余家荣先生是武汉大学教授，1950年在法国巴黎大学获国家数学科学博士学位。专于复变函数研究。

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读后感

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凡能被泰勒展开式表达的函数，叫解析函数。什么又是泰勒展开式呢？参考视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMTAwODA2NjAw.html 在金融的债券价格计算中，在计算价格如何随着利率变化而变化时，就涉及到泰勒展开式。另：pengtitus 教学视频可参考他的官方网站。可惜，很久...

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