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出版者:科学出版社

作者:周建伟

出品人:

页数:616

译者:

出版时间:2010

价格:98.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030281074

丛书系列:

图书标签:

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拓扑学基础：从点集到流形 作者： [请在此处填写真实的作者姓名] 出版社： [请在此处填写真实的出版社名称] 出版年份： [请在此处填写真实的出版年份] --- 内容概要： 《拓扑学基础：从点集到流形》是一本旨在为数学系本科生、研究生，以及对几何学和分析学有浓厚兴趣的自学者，系统性地构建现代几何学宏伟蓝图的教材。本书聚焦于拓扑学这一现代数学的基石，它提供了一种处理“连续性”和“形状不变性”的普适语言，是深入研究微分几何、代数几何、乃至理论物理学的必要前提。 本书的叙述风格力求严谨、清晰，同时注重几何直觉的培养。我们相信，抽象概念只有在坚实的直觉支撑下才能真正被掌握。因此，书中包含了大量的例证、反例以及精心设计的习题，帮助读者将抽象的定义转化为具体的计算和洞察。 全书共分为七个主要部分，层层递进，从最基础的点集拓扑概念出发，逐步过渡到更具几何意义的微分流形理论。 --- 第一部分：度量空间与连续性（Metric Spaces and Continuity） 本部分奠定了全书的分析基础。我们首先引入度量空间（Metric Spaces）的概念，这是比拓扑空间更具体的结构，允许我们讨论距离和收敛性。 基本概念： 讨论开集、闭集、邻域、完备性（Completeness）和紧致性（Compactness）在度量空间中的定义及其重要性质。 连续性与等价性： 深入探讨函数的连续性定义（$epsilon-delta$ 语言的推广），并介绍等距映射（Isometries）的概念。 完备性： 详细讨论巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）及其在微分方程和分析中的应用，这为后续的收敛性论证提供了强有力的工具。 完备化： 介绍如何将任意度量空间嵌入到一个完备的度量空间中（即构造完备化空间）。 --- 第二部分：拓扑空间与基本结构（Topological Spaces and Fundamental Structures） 从度量空间自然地推广到拓扑空间（Topological Spaces），这是拓扑学的核心语言。 拓扑的定义： 以开集族为基础，严格定义拓扑空间，并讨论子空间拓扑、商拓扑（Quotient Topology）的构造方法。 连续性与同胚： 重新审视连续性，引入同胚（Homeomorphism）的概念，这是拓扑学中“形状保持”的严格定义。 分离公理： 详细分析分离公理（$T_1, T_2$ 或 Hausdorff 条件），并解释为什么 Hausdorff 性质对于建立微分几何中的局部结构至关重要。 紧致性和连通性： 讨论紧致性和连通性（Connectedness）的拓扑性质，特别是 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的推广及其在一般拓扑空间中的等价条件。 --- 第三部分：构造拓扑空间：乘积与商空间（Constructing Topologies: Product and Quotient Spaces） 本部分专注于如何利用已知的拓扑空间构造出更复杂的空间，这些构造在几何建模中极为常见。 乘积拓扑： 定义有限和无限多个空间的乘积拓扑，并证明其关键性质（如紧致空间的乘积仍是紧致的——Tychonoff 定理）。 商拓扑的应用： 详述商拓扑的构造过程，通过“粘合”点来构建重要的几何对象，例如圆环（Torus）、射影平面（Projective Plane）等。 嵌入定理： 讨论Urysohn嵌入定理，说明了低维拓扑空间如何可以被嵌入到高维欧几里得空间中。 --- 第四部分：代数工具的引入：基本群（The Algebraic Tool: The Fundamental Group） 为了区分在拓扑上“本质不同”的空间，我们需要引入代数不变量。基本群是第一个也是最重要的代数不变量。 路径与同伦： 定义路径、路径的乘法，以及路径的同伦（Homotopy）概念。 基本群的构造： 严格构造空间中一点处的基本群 $pi_1(X, x_0)$，并证明其作为群的结构。 群论性质： 讨论基本群的不变性——如果两个空间同胚，则它们的基本群同构。 例子与计算： 计算 $mathbb{R}^n$、$S^1$（圆周）以及环面（Torus）的基本群，并利用这些计算来证明某些空间不能通过同胚相互转化（例如，证明圆周不是欧几里得空间中的闭区间）。 --- 第五部分：分类空间：覆盖空间理论（Classifying Spaces: Covering Space Theory） 覆盖空间是连接代数拓扑与几何直觉的桥梁，是理解纤维丛理论的先驱。 覆盖映射的定义： 介绍局部同胚的概念，以及如何定义覆盖映射。 提升性质（Lifting Properties）： 详细阐述路径提升和同伦提升的唯一性和存在性定理，这些是后续计算的核心技术。 基本群与覆盖空间的关系： 阐述覆盖空间与基本群之间的深刻联系，特别是通过Deck Transformation群的性质。 应用： 计算特定空间的覆盖空间，例如球面 $S^n$ 的覆盖空间，并讨论单连通性（Simply Connectedness）。 --- 第六部分：流形概念的萌芽（The Germs of Manifolds） 本部分开始为微分几何做准备，从拓扑的角度引入流形（Manifolds）的概念。 拓扑流形的定义： 定义 $n$ 维拓扑流形，强调其局部欧几里得性（Locally Euclidean Property）。 图册与坐标： 讨论图册（Atlas）和相容性（Compatibility）的概念，解释为什么我们需要图册来描述“弯曲”的空间。 例子： 详细分析球面 $S^n$、环面、球面上的双曲面等关键的低维流形。 --- 第七部分：从拓扑到光滑：微分结构的初步接触（From Topology to Smoothness: Initial Contact with Differential Structure） 最后一部分将拓扑流形升级到光滑流形（Smooth Manifolds），为更高阶的几何学习奠定基础。 光滑映射： 讨论在局部坐标系下，光滑映射的定义及其保持结构的意义。 向量场与切空间（概念引入）： 虽然切空间将在后续课程中深入，但本章会通过直觉介绍在流形上定义“方向”和“速度”的需求，即切空间（Tangent Spaces）的必要性。 --- 本书特色： 1. 强调直觉与严格性的平衡： 每一项主要定理之后，都附有详细的几何动机分析，帮助读者理解“为什么”这个概念是需要的。 2. 丰富的习题集： 每章末尾提供难度分级的习题，包括概念验证题、计算题以及探索性问题，特别强调构造反例的能力。 3. 现代化的符号系统： 采用现代数学界通用的符号和术语，确保读者能够顺利过渡到更前沿的文献阅读。 《拓扑学基础：从点集到流形》不仅是一门关于“形状”的课程，更是一门关于如何用数学语言精确描述“连续性”和“弯曲性”的入门导论。掌握本书内容，将为深入探索微分拓扑学、黎曼几何乃至广义相对论等领域打下坚实、不可动摇的根基。

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拿到这本书时，我立刻被它厚重的质感和古朴的封面设计吸引了，心想这一定是一部经典的传世之作。然而，阅读体验却很快将我的期望击得粉碎。书中大量的印刷错误简直令人发指，尤其是那些矩阵和张量的上下标，经常混淆不清，一个不小心就会导向完全错误的结论。有一次，我在验证一个低维空间的度规计算时，发现书上的最终结果与我根据其前提条件推导出的结果相悖，仔细核对后才发现是书中某个地方的符号抄写错误导致的。这迫使我不得不对书中的每一个公式都持怀疑态度，大大减慢了学习的进度，并且严重影响了学习的信心。这种质量控制水平，对于数学这样要求精确的学科来说，是不可容忍的缺陷。

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这本书的理论深度是毋庸置疑的，但它的叙述方式却显得过于学术化和枯燥。作者似乎更倾向于罗列定理和证明，而忽略了对这些数学工具背后几何意义的探讨。例如，在阐述黎曼曲率张量时，虽然公式推导得一丝不苟，但对于“曲率”这个核心概念是如何在局部空间中体现出来的，阐述得非常抽象。我花了大量时间去比对其他更具启发性的资料，才勉强勾勒出一个轮廓。对于我这种更偏向应用和几何直觉的读者来说，这本书的“讲义”二字名不副实，它更像是一份严谨的硕士研究生的读书笔记，缺乏那种引导人进入思想世界的魔力。期望能看到更多深入浅出的例子，或者历史背景的穿插，来软化这些硬邦邦的数学结构。

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这本书的难度梯度设置得非常陡峭，仿佛作者直接从零基础跳跃到了研究生的前沿课题。前几章勉强还能跟上，涉及到一些基础的拓扑结构和微分形式的引入还算流畅。但是一旦进入到纤维丛和联络的讨论，内容便如脱缰野马般奔向了高深的领域。作者没有提供任何“垫脚石”来帮助读者过渡，很多重要的定义和定理只是简单地陈述，缺乏足够的铺垫和渐进式的复杂度增加。对于那些希望通过自学逐步建立起完备知识体系的读者来说，这本书的门槛过高，很容易在中间环节就感到筋疲力尽，最终搁置学习计划。它更适合那些已经有扎实基础，急需一本权威参考书来查漏补缺的专业人士。

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从一个致力于几何可视化角度学习的角度来看，这本书完全没有提供任何有效的工具。所有的概念都停留在纯符号和抽象逻辑层面，缺乏图形化的解释和直观的几何图像。例如，在讨论等距嵌入和高斯曲率时，我希望能看到一些曲线和曲面的动态展示，或者至少是清晰的截面图，来帮助理解曲率如何在不同方向上影响局部形状。这本书就像一个没有窗户的房间，里面的家具摆放得再精美，你也无法想象它在整个建筑中的位置和功能。对于我们这种需要“看见”数学的人来说，它提供的理论框架虽然完整，但缺乏必要的感性支撑，使得知识的吸收效率极低，更像是在背诵一套复杂的密码。

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这部教材的排版简直是灾难，字体大小不一，公式和文字挤在一起，看得人眼花缭乱。很多地方的推导过程跳跃性太大，似乎默认读者已经完全掌握了高等代数和拓扑学的基础，但对于初学者来说，简直是迷雾重重。比如在讲流形上的切空间时，作者突然抛出了一个繁复的定义，却没有给出足够直观的几何图像来辅助理解，搞得我只能对着书本发呆，完全不知道作者想表达什么。更别提索引部分，查找特定概念简直是碰运气，很多关键术语根本找不到对应的页码，翻起来非常耗时耗力。对于一本需要反复查阅和深入研读的专业书籍来说，这种用户体验实在令人沮丧。我不得不说，这本书的编辑和校对工作显然没有做到位，如果只是作为参考资料快速浏览，可能还能勉强应付，但若想系统学习，恐怕得另寻高明。

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国内比较少见的叙述比较全面的微分几何。

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国内比较少见的叙述比较全面的微分几何。

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入门书，写得还是蛮细的。

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