Hyperresolutions cubiques et descente cohomologique (Lecture Notes in Mathematics) (French Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Francisco Guillen

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:1988-09-12

价格:USD 26.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540500230

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 代数几何
• 上同调
• 立方超解析
• 下降理论
• 法文
• 讲义
• 高等教育
• 研究

《代数几何中的局部与全局：环、模与概形的现代视角》 本书简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的代数几何基础，重点关注代数簇的局部性质如何通过更精妙的工具（如层理论、概形理论和同调代数）来揭示其全局结构。本书面向具有扎实抽象代数背景的研究生和研究人员，旨在弥合经典代数几何与现代代数几何之间的理论鸿沟。 第一部分：代数簇的局部化与开端——从环到局部环 本部分首先回顾了交换代数中关于理想、素理想与极小的基础概念。随后，我们将重点引入局部化的概念。我们详细探讨了给定素理想 $P$ 处的局部化 $R_P$，以及它在理解代数簇 $V(I)$ 在对应点 $p$ 附近性质中的核心作用。 局部化构造的严谨性： 我们将层层递进地构建分数域（或局部环）的构造，并证明其具有“通用性”——任何从 $R$ 到某个域 $K$ 的同态，若分母来自 $R setminus P$，则唯一地提升到 $R_P$ 到 $K$ 的同态。 局部环的结构与性质： 深入分析局部环的结构，特别是其唯一的极大理想。我们将研究诸如正则局部环、离去环等重要概念，并展示局部环如何编码了代数空间在特定点上的几何信息，例如光滑性、奇点等。 环化序列与克尔定理（Krull’s Theorem Revisited）： 虽然本书的核心是现代方法，但我们仍会简要回顾经典拓扑与局部环之间的联系，为后续引入拓扑结构做铺垫。 第二部分：层论的基础：研究局部现象的语言 代数几何的真正威力体现在其能够系统地研究“局部数据”的相容性。本部分将完全专注于层论 (Sheaf Theory)。 预层与层： 我们将严格定义预层和层，特别是针对拓扑空间（在代数几何中，我们通常首先考虑 Zariski 拓扑下的结构空间）。我们详细讨论了“粘合公理”（Gluing Axioms）的重要性，这是区分预层与层的关键。 结构层 (The Structure Sheaf)： 转向代数几何，本书的核心构造之一是结构层 $mathcal{O}_X$。我们将展示如何从函数环 $R$ 构造出 $operatorname{Spec}(R)$ 上的结构层。详细讨论 $mathcal{O}_X(U)$ 如何精确地捕获了 $U$ 上“正则函数”的集合。 局部上生成与凝聚层： 我们引入了凝聚层 (Coherent Sheaves) 的概念，这是研究代数簇上向量丛、子簇等几何对象的关键工具。我们将详述如何定义一个层是否是“局部上自由的”，以及凝聚性在代数几何中的重要意义，例如它与理想层 $mathcal{I}_Z$ 的关系。 正合性与长正合序列： 层同态的正合性是研究局部与全局关系的基础。我们将详细研究胚射（Morphisms of Schemes）诱导的拉回（Pullback）和推前（Pushforward）操作，并重点分析了由短正合序列诱导的层同调长正合序列。 第三部分：从代数簇到概形：现代视角的建立 本部分将实现从经典代数几何中的“集合”与“函数环”的对偶，到更具弹性、更一般的概形 (Scheme) 理论的飞跃。 环谱 $operatorname{Spec}(R)$ 的构造： 我们将详细构建 $operatorname{Spec}(R)$ 拓扑空间，并赋予其结构层 $mathcal{O}_{operatorname{Spec}(R)}$。这一构造的优越性在于它能够处理非整环、非域的情形（例如，包含零因子或具有幂零元的情况）。 概形的定义与性质： 定义概形 $X = (operatorname{Spec}(R), mathcal{O}_X)$。我们将研究拓扑性质（如不可约性、连通性）在 $operatorname{Spec}$ 上的体现。重点讨论仿射概形与射影概形的构造基础。 局部性质的概形化： 我们将重新审视第一部分中的局部性质，现在使用概形的语言来描述： 光滑点： 在概形层面，光滑性通过局部环的正则性（即 $mathfrak{m}/mathfrak{m}^2$ 作为一个向量空间维度有限）来精确捕捉。 奇点与局部完备交： 奇点的研究转向了研究结构层在奇点处模的局部性质。 第四部分：同调代数工具箱的初步应用——除数与向量丛 本部分将介绍如何利用第三部分建立的层和概形框架，来处理更复杂的几何对象。 除数理论的重构： 引入笛卡尔因子（Divisors）的概念，并将其与理想层和零因子联系起来。重点关注卡蒂埃除数 (Cartier Divisors)，展示它们与全局截面环 $H^0(X, mathcal{O}_X(D))$ 的关系。 向量丛与局部自由层： 向量丛在代数几何中被精确地等同于秩为有限的局部自由凝聚层。我们将深入探讨秩 1 的向量丛（即线丛 Line Bundles）与可逆层（Invertible Sheaves）之间的精确对应关系。 Sheaf Cohomology 的初探 ($H^1$ 的几何意义)： 简要介绍上同调的动机，即经典代数几何中“不存在全局截面”的问题。我们将展示 $H^1(X, mathcal{L})$ 如何衡量“局部平凡的线丛的非平凡粘合”——这为后续更高级的理论（如上同调的消失定理）打下基础，尽管本书不会深入探究高阶上同调的计算细节，但会强调其在处理几何限制时的必要性。 总结与展望 本书通过将代数对象的局部结构（局部环）提升到更具几何直觉的层论框架，并最终用概形理论将这些结构统一起来，为读者构建了一个坚实而现代的代数几何基础。本书的重点在于概念的清晰定义和理论间的内在联系，而非大规模的计算技巧，旨在为读者进入更专业的领域，如算术几何、向量丛的分类理论，做好充分准备。

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