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出版者:

作者:快乐考生编辑部 编

出品人:

页数:338

译者:

出版时间:2012-2

价格:65.00元

装帧:

isbn号码:9787811199239

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 数学学习

好的，这是一本名为《高等代数与线性空间基础》的图书简介。 --- 《高等代数与线性空间基础》 内容简介 本书旨在为学习高等代数的学生提供一个全面、深入且富有启发性的入门指南。它不仅涵盖了传统高等代数的核心概念，更着重于线性空间这一抽象结构在现代数学，乃至物理、工程和计算机科学中的基础地位。全书内容组织严谨，逻辑清晰，旨在培养读者严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。 第一部分：代数结构的基础 本书伊始，我们首先构建了理解抽象代数世界的基石。群论是本部分的核心。我们将从最基础的代数结构——二元运算、封闭性、结合律、单位元和逆元——开始，逐步引入群的定义与基本性质。我们详细探讨了子群、陪集与拉格朗日定理，这为理解群的内部结构提供了关键工具。书中特别安排了对循环群、二面体群的深入分析，通过具体的例子，帮助读者从直观上把握抽象概念。 随后，我们转向同态与同构的概念。这是理解不同代数结构之间关系的桥梁。我们将深入讲解正规子群、商群的构造及其性质，这是伽罗瓦理论等高级主题的必备前奏。本书在这一部分强调了抽象思维的训练，而非仅仅停留在计算层面，确保读者能够灵活运用这些工具解决实际问题。 第二部分：向量空间与线性变换的几何直观 本书的第二部分将读者带入向量空间的广阔天地。我们从最熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，逐步抽象到更一般的数域上（或域上）的向量空间的定义。本章详细阐述了线性组合、线性相关性、生成集与基等核心概念。我们特别关注维数的确定，并用清晰的论证证明了任何向量空间的基都具有相同的基数，从而奠定了线性代数中“度量”的基础。 紧接着，我们引入线性变换，将其视为向量空间之间的结构保持映射。本书着重于线性变换的几何意义，例如旋转、投影和拉伸。我们详细探讨了核（Kernel）与像（Image），并严格证明了秩-零化度定理，这是连接映射的内在特性与外部表现的关键。 第三部分：矩阵理论与坐标变换 矩阵不再仅仅是数字的矩形排列，而是线性变换在特定基下的具体表示。本书用大量篇幅解释了矩阵乘法的几何含义以及相似变换的本质。我们详细介绍了坐标系的变换如何影响矩阵的表示，这对于理解物理学中的坐标系选择尤为重要。 行列式的理论被系统地构建起来，从置换的奇偶性出发，推导出莱布尼茨公式，并阐述其与矩阵可逆性的深刻联系。本书提供了多种计算行列式的方法，并着重解释了行列式作为体积（或定向体积）变化的缩放因子的几何意义。 第四部分：特征值、特征向量与对角化 本章是高等代数中最为核心且应用广泛的部分。我们引入特征值与特征向量的概念，解释它们如何揭示线性变换在特定方向上的“不变性”。本书详细分析了特征多项式、最小多项式的性质，并导出了特征值分解（对角化）的条件。 对于不可对角化的矩阵，我们引入了Jordan标准型理论。尽管Jordan块的概念在形式上略显复杂，但本书通过详尽的例子和清晰的步骤，展示了如何将其作为对角化的自然推广，从而能处理所有方阵的结构。 第五部分：内积空间与正交性 为了引入长度、角度和投影等几何概念，我们转向内积空间。本书定义了内积、范数与距离，并深入探讨了正交性的概念。施密特正交化过程被详细描述，它是构造正交基的标准算法。 在实/复内积空间中，我们研究了正交矩阵、对称矩阵和厄米特矩阵的特殊性质。谱定理作为内积空间理论的最高成就，被严格证明，它揭示了对称/厄米特算子可以通过正交变换对角化的能力，这在量子力学和数据分析中具有不可替代的地位。 第六部分：多线性代数初步 本书的最后部分触及了更高级的主题，为后续学习打下基础。我们介绍了双线性型与二次型，并阐明了合同变换的概念。通过拉格朗日定理，我们展示了如何将任意二次型化为规范形，从而揭示其几何本质（例如椭圆、双曲线或抛物线）。此外，对张量的初步介绍也为读者指明了深入研究的方向。 本书特色： 1. 理论的严谨性与几何直观的结合： 每引入一个抽象概念，都辅以大量的几何或计算实例，确保读者不仅“会算”，更能“理解”。 2. 丰富的例题与习题： 书中包含大量的计算题、证明题以及启发性的思考题，覆盖从基础到深入的各个层面。 3. 现代数学视角： 强调向量空间作为核心对象的地位，而非仅仅将矩阵运算视为工具。 适用对象： 本书适用于大学本科非数学专业（如理工科、经济学、计算机科学等）对高等代数有基础学习需求的学生，以及需要巩固和深入理解线性代数基本理论的初级研究生。它尤其适合那些渴望从“计算”转向“结构理解”的学习者。 ---

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