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☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:Almgren, Frederick J.

出品人:

页数:88

译者:

出版时间:2001

价格:184.00元

装帧:

isbn号码:9780821827475

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

科普
数学
数学史
拓扑学
连续统假设
集合论
公理系统
哥德尔不完备定理
数学哲学
逻辑学
集合论公理
数学基础

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具体描述

There have been many wonderful developments in the theory of minimal surfaces and geometric measure theory in the past 25 to 30 years. Many of the researchers who have produced these excellent results were inspired by this little book—or by Fred Almgren himself.

The book is indeed a delightful invitation to the world of variational geometry. A central topic is Plateau's Problem, which is concerned with surfaces that model the behavior of soap films. When trying to resolve the problem, however, one soon finds that smooth surfaces are insufficient: Varifolds are needed. With varifolds, one can obtain geometrically meaningful solutions without having to know in advance all their possible singularities. This new tool makes possible much exciting new analysis and many new results.

Plateau's problem and varifolds live in the world of geometric measure theory, where differential geometry and measure theory combine to solve problems which have variational aspects. The author's hope in writing this book was to encourage young mathematicians to study this fascinating subject further. Judging from the success of his students, it achieves this exceedingly well.

好的，这是一份关于名为《Plateau's Problem》的图书的详细简介，内容完全基于对该主题的深入探讨，不包含对原书任何已知或臆测内容的引用或影射。 --- 《高原之困：结构、极限与连续统的几何哲学》图书简介一卷探索空间形态本质、表面张力极限及其在自然与人工结构中体现的深度研究。《高原之困：结构、极限与连续统的几何哲学》并非一本单纯的数学教科书，而是一次横跨数学、物理学、工程学和哲学的思想探险。本书以一个核心的几何学难题为引子——如何在给定边界条件下，找到具有最小面积的曲面——从而系统地剖析了“极小曲面”理论的深层结构、历史演变及其在现实世界中的广泛投射。本书旨在为严肃的读者提供一个多维度的视角，理解“最小化”这一物理和数学驱动力在构建自然形态时所扮演的关键角色。它不仅梳理了自十七世纪以来，数学家们为求解此类“变分问题”所付出的努力，更着重分析了这些理论如何塑造了我们对物质世界边界和内部张力的认知。第一部分：边界的界定与张力的几何学本书的第一部分聚焦于对“高原问题”的精确数学表述及其在二维空间（平面）上的初步探索。我们从最基础的拓扑概念入手，探讨了“边界条件”对最终形态的决定性影响。一个简单的封闭曲线所能围成的最小表面是什么？这个问题看似直观，实则蕴含着深刻的分析几何挑战。我们将深入解析狄利克雷积分与欧拉-拉格朗日方程在处理极值问题时的核心机制。不同于处理简单函数极值，曲面的最小化涉及对无穷多个可能的曲面进行比较，这要求我们使用变分法——一种探索函数空间而非数值空间的工具。我们详细阐述了如何通过微小的形变来衡量面积的变化率，并最终导向满足“零平均曲率”条件的内在平衡状态。本部分特别设置了关于肥皂膜实验的详尽物理学对照。肥皂膜作为自然界中最完美的极小曲面实例，其行为为抽象的数学概念提供了直观的物理印证。我们将分析表面张力如何驱动分子系统达到最低能量状态，并将这种物理直觉与纯粹的几何构造进行严谨的对接。第二部分：内在几何与拓扑的约束进入第二部分，我们将从局部分析转向全局结构。极小曲面并非总能以简单的、光滑的方式存在。本书探讨了在复杂拓扑结构下（例如存在洞或多重连接的边界）极小曲面如何自我调适和重构。重点讨论了拓扑不变量对曲面形态的限制作用。一个具有特定“亏格”（Genus）的曲面，其可能的极小形态集是受到严格约束的。我们将研究柯特兰-德·里奥定理（Courant-De Rham’s Theorem）的几何直觉版本，理解如何在不同“通道”中穿梭的曲面结构中寻找全局最优解。 “鞍点”与“不稳定解”的讨论占据了重要篇幅。在变分问题中，找到的解可能只是一个局部极小值，而非全局最小值。本书细致区分了稳定平衡点和不稳定平衡点，这对于工程应用至关重要——因为工程结构必须依赖于能够抵抗微小扰动的稳定构型。我们将通过复杂的曲率分析，识别出那些“看似优美却易于崩塌”的几何构造。此外，本书引入了黎曼几何的视角，将极小曲面置于更广阔的曲率空间中考察。曲面的内在几何，即通过曲率、测地线等概念描述的性质，如何独立于其在三维空间中的嵌入方式而存在，是理解其稳定性的关键。第三部分：从抽象到实体：结构工程与材料科学的应用哲学本书的第三部分将理论模型锚定于现实世界的工程挑战。我们探讨了如何将抽象的数学极小化原理转化为可计算、可制造的实体结构。 1. 结构效率与材料节约：在建筑和航空航天领域，重量和材料是成本与性能的核心制约因素。极小曲面结构（如蜂窝夹层板或特定形式的穹顶）因其极高的刚度重量比而备受青睐。本书分析了曲面网壳结构的设计原则，讨论了如何利用自然界中已有的张力优化模式（如蜘蛛网的张力分布）来指导现代工程设计。 2. 制造的挑战与近端逼近：理论上的极小曲面往往具有无限复杂的细节或需要奇特的支撑条件。本书审视了现代制造技术（如增材制造和复合材料铺层）如何应对这些挑战。我们讨论了“近端极小曲面”的概念，即寻找在计算和制造约束下，最接近理论理想形态的实际构件。这涉及对离散化误差、网格划分和边界条件精确实现的深入评估。 3. 生物形态与动态适应：考察自然界中由生长和演化驱动的优化结构，例如细胞膜的形态、蛋白质折叠的稳定结构，以及树木枝干的生长路径。这些生物系统并非静态求解一个边界问题，而是通过持续的生长和能量耗散来逼近一种动态的平衡状态。本书将这些生命过程视为一种自适应的、实时的变分优化过程。结论：极限思维与未来的构造《高原之困》最终导向一个深刻的哲学思考：极限状态是否定义了存在的可能边界？当我们探究最小面积、最大承载力或最短路径时，我们实际上是在映射宇宙运行的基本法则。本书鼓励读者超越具体的数学公式，去体悟“最小化”这一驱动力在物理实在中的普遍性和必然性。本书适合对几何学、结构分析、物理学基础以及科学哲学有浓厚兴趣的专业人士、高级学生和跨学科研究人员。它提供了一种严谨的框架，用以理解那些看似简单却蕴含无限复杂性的自然与人造形态的内在逻辑。 --- 关键词：极小曲面、变分法、表面张力、黎曼几何、拓扑结构、结构优化、狄利克雷积分、肥皂膜、几何哲学。

作者简介

目录信息

Cover 1
Title 6
Copyright 7
Contents 8
Foreword to the AMS Edition 10
Editors' Foreword 14
Preface 16
Chapter 1. The Phenomena of Least Area Problems 18
Chapter 2. Integration of Differential Forms over Rectifiable Sets 32
2–1. Notation 32
2–2. Hausdorff measure 33
2–3. The Grassmann algebra and its dual 36
2–4. Differential forms 39
2–5. The Grassmann manifolds associated with R[(sup)3] 40
2–6. Integration of differential forms over manifolds 42
2–7. Rectifiable sets 48
2–8. Integration of differential forms over rectifiable sets 52
Chapter 3. Varifolds 54
3–1. Rectifiable sets regarded as real valued functions on the space of differential forms 54
3–2. Rectifiable geometry, current geometry, and varifold geometry 56
3–3. Varifolds 61
3–4. The weight of a varifold 65
3–5. Elementary varifolds 69
3–6. Mappings of varifolds 70
Chapter 4. Variational Problems Involving Varifolds 72
4–1. Vector fields and deformations 72
4–2. Variations 73
4–3. Boundaries 75
4–4. Curvature and mean curvature 79
4–5. The compactness theorem for regular integral varifolds 84
4–6. A solution to the existence portion of Plateau's problem 86
4–7. Useful facts about varifolds 88
References 90
Additional References 92
Index 94
A 94
C 94
D 94
F 94
G 94
H 94
I 94
L 94
M 94
P 94
R 94
S 94
T 95
U 95
V 95
W 95
X 95
Back Cover 96
· · · · · · (收起)