Dynamical Theory (Classics of Soviet Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Press

作者:N. N. Bogolubov Jr.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-12-22

价格:USD 999.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9782884490689

丛书系列:

图书标签:

• dynamical systems
• mathematical physics
• Soviet mathematics
• classical mechanics
• hamiltonian systems
• bifurcation theory
• chaos theory
• nonlinear dynamics
• mathematics
• physics

动力学理论（苏联数学经典） 导言 《动力学理论（苏联数学经典）》是一部汇集了二十世纪苏联数学家在动力系统领域开创性研究成果的经典著作。本书的价值在于，它不仅系统地梳理了动力学理论的基础框架，更深入探讨了混沌、可积性、遍历理论以及稳定性的核心议题，为后世的数学家、物理学家和工程师提供了理解复杂系统行为的坚实理论基石。本书的出版，标志着苏联学派在这一交叉学科领域所达到的思想高度和技术深度。 第一部分：经典力学与相空间基础 本部分奠定了动力学理论的数学基础，着重于从经典力学框架出发，构建抽象的数学模型。 1. 连续系统与流 动力学系统首先被定义为在相空间上定义的“流”（Flow）。这里详细阐述了微分方程在流形上的动力学解释。相空间不再仅仅是牛顿力学的欧几里得空间，而是被提升到更具拓扑意义的几何结构。重点讨论了局部解的存在性与唯一性定理（如皮卡-林德勒夫定理），这些定理是分析任何动力系统行为的先决条件。特别地，对哈密顿系统的相空间结构进行了细致的分析，强调了辛几何在保守系统中的核心地位。 2. 离散时间系统与映射 与连续流相对，本部分也系统地介绍了离散时间动力学，即迭代映射。从最简单的映射如洛伦兹映射（非混沌系统的引入）开始，过渡到更复杂的迭代过程。解析了不动点、周期轨道以及它们的稳定性分析，引入了庞加莱截面作为降维分析复杂系统的工具。对映射的迭代性质，如收敛性、周期倍增，进行了严格的数学证明。 3. 平衡点与稳定性理论 平衡点（或称不动点）是动力系统研究的基石。本章深入探讨了李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论的经典表述。重点区分了线性和局部稳定性概念。李雅普诺夫函数的构建方法，特别是能量函数或二次型函数在确定系统长期行为方面的关键作用，被详尽阐述。对鞍点、稳定结点、不稳定焦点等不同类型的平衡点的分类和几何特征给出了严谨的数学刻画。这部分内容体现了苏联学派对工程应用中稳定性判据的偏爱和发展。 第二部分：庞加莱-柯莫戈洛夫方法与可积性 这是本书最具苏联数学特色和深度的部分，集中展示了对保守系统精确求解的追求。 4. 哈密顿系统与守恒律 本章将动力学理论与经典物理学紧密结合。详细回顾了哈密顿力学（Hamiltonian Mechanics）的正则方程体系，以及守恒量（Conservation Laws）在简化问题中的作用。强调了泊松括号（Poisson Bracket）的代数结构如何表征系统的演化和守恒量之间的关系。对于保守系统，相空间体积的保持性（刘维尔定理）是理解其长期行为的关键。 5. 可积性理论：庞加莱-柯莫戈洛夫（Poincaré–Kolmogorov）方法 可积性是动力学理论中的“完美”状态。本章是全书的理论高峰之一。深入探讨了“可积分性”的精确定义，即系统是否存在足够数量的独立、首次积分（Integrals of Motion）。苏联数学家在解析可积系统方面取得了重大进展。详细分析了 KAM 定理（Kolmogorov-Arnold-Moser）的前身和早期论证思想，尽管完整的 KAM 定理在西方成熟，但本书清晰地勾勒出了其在摄动理论中的萌芽。讨论了如何通过规范变换（Canonical Transformations）来简化哈密顿量，直至达到对角化形式，从而获得解析解。 6. 绝热不变量与慢变摄动 当系统偏离完美可积状态时，会产生微小的摄动。本章分析了在摄动下，某些量（如绝热不变量）的近似保持性。这对于理解行星运动和粒子加速器中的长期稳定性至关重要。通过平均化方法（Averaging Method），探讨了系统如何随着时间演化，其有效动力学行为如何被简化为更低维度的系统，从而避免了对高维复杂系统的直接分析。 第三部分：遍历理论与统计物理的连接 本部分将研究重点从精确解转移到系统的统计特性，这是连接确定性动力学与统计力学的桥梁。 7. 遍历性与混合性 遍历理论是概率论与动力学系统的交叉点。严格定义了遍历性（Ergodicity）：系统在长时间运行后，其轨迹在相空间中均匀分布的性质。讨论了通过测度论来描述系统演化的必要性。混合性（Mixing）作为比遍历性更强的性质，被引入来分析系统是否能“抹平”初始条件的差异。对泊松分布、柯西分布等在遍历系统中的出现进行了概率论上的论证。 8. 动力学中的测度与概率 本章系统地构建了动力学测度理论。引入了转移算子（Transfer Operator）的概念，它描述了系统在相空间中概率密度的演化，是玻尔兹曼方程在确定性系统中的对应物。分析了不动测度（Invariant Measure）的存在性，并讨论了如何通过测度来计算系统轨迹的平均物理量，从而将时间平均等同于空间平均。 第四部分：混沌现象的早期探索 尽管“混沌”概念在 20 世纪 70 年代后才被广泛接受，但本书的早期版本已对非线性系统中不可预测性的数学根源进行了深刻的探究。 9. 局部不稳定性和敏感依赖性 对非线性系统中的“蝴蝶效应”进行了数学描述。分析了李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的概念及其计算方法。一个系统具有正的李雅普诺夫指数被确立为是混沌行为的数学标志。重点讨论了在相空间中，相邻轨迹分离速率的几何意义，以及如何利用局部敏感性来预测系统的长期行为的困难性。 10. 拓扑熵与复杂性度量 为了量化系统的复杂程度，本章引入了拓扑熵（Topological Entropy）的概念，它衡量了系统在有限时间间隔内，能产生多少新的、不可区分的轨迹。这是衡量一个系统混乱程度的精确数值指标，超越了定性的观察。本书详细阐述了在紧凑流形上计算拓扑熵的算法和理论框架，为后续研究复杂系统的定量分析奠定了基础。 结论 《动力学理论（苏联数学经典）》是一部跨越多个数学分支的里程碑式著作。它以其严谨的结构、对解析解的执着追求，以及对复杂系统深层结构的深刻洞察，为动力学理论的现代发展提供了不可磨灭的贡献。本书不仅是历史文献，更是理解从宏观天体力学到微观统计物理现象的强有力工具。

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