Topics in Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Sigurdur Helgason

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:1981-1-1

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817630515

丛书系列:

图书标签:

数学
调和分析
齐次空间
表示论
数学分析
函数论
傅里叶分析
特殊函数
群论
几何分析
数学物理

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具体描述

谐波分析在齐性空间上的探索本书旨在深入剖析调和分析这一数学分支在齐性空间这一特殊几何背景下的应用与发展。调和分析，作为傅立叶分析的自然延伸，致力于研究函数及其变换在不同数学结构上的性质。而齐性空间，即那些具有丰富对称性的空间，为调和分析的研究提供了肥沃的土壤，孕育出大量深刻而优美的理论。本书将引领读者穿越抽象的数学世界，探索调和分析工具如何在齐性空间的几何特性中绽放异彩，并揭示其在其他数学分支中扮演的关键角色。本书的开篇，我们将首先回顾调和分析的基本概念，为后续深入的探讨奠定坚实的基础。这部分内容将涵盖傅立叶级数和傅立叶变换的经典理论，以及它们在欧几里得空间中的基本性质和应用。读者将重新审视这些强大的分析工具，为理解它们在更广阔的数学结构上的推广做好准备。随后，本书的重点将转向齐性空间的定义及其核心特征。我们将详细介绍齐性空间的代数结构，例如群作用、李群和李代数的概念，以及如何通过这些代数结构来刻画和分类齐性空间。齐性空间之所以重要，很大程度上源于其内在的对称性，这种对称性使得我们能够将许多复杂的问题简化，并利用群论的语言来描述空间的性质。我们将深入探讨这些对称性如何影响函数在空间上的分布和行为。接下来，本书将核心地展开调和分析在齐性空间上的理论。我们将在齐性空间上重塑傅立叶分析的工具。这包括在齐性空间上定义“傅立叶变换”的概念，例如通过不可约表示理论来理解函数的分解。我们将探讨如何利用群的表示论来研究函数在齐性空间上的行为，例如定义齐性空间的傅立叶变换，以及分析其性质，如收敛性、衰减性和重要积分。拉芳-施瓦兹不等式（Plancherel-Parseval theorem）在齐性空间上的推广，以及其在分析和几何中的应用，也将是本书的一个重要组成部分。此外，本书还将深入探讨几个典型的齐性空间，并展示调和分析在它们上的具体应用。例如，我们将研究李群上的调和分析，包括离散群和连续群。对于李群，我们将关注其伴随表示，以及在群代数上的调和分析。我们还将考察非紧李群上的调和分析，这通常涉及更复杂的表示论和积分技术。本书的一个重要主题是研究函数在齐性空间上的展开，特别是利用群的不可约表示来分解函数。我们将详细介绍如何构造齐性空间的本征函数（eigenfunctions）或特定的基函数，以及如何利用这些基函数来表示和分析函数。柯西-施瓦兹不等式（Cauchy-Schwarz inequality）在齐性空间上的各种变体及其重要性也将被深入讨论。拉芳-施瓦兹定理（Plancherel-Parseval theorem）及其推广是调和分析的核心结果之一。本书将详细阐述这一定理在齐性空间上的形式，并探讨其在证明其他重要结果中的作用，例如伯恩施坦-沃伊特不等式（Bernstein-vôit inequality）及其在函数逼近中的应用。本书还将关注调和分析在描述和理解齐性空间几何性质方面的能力。我们将探讨如何利用调和分析的方法来研究齐性空间上的微分方程，特别是那些具有对称性的微分方程。例如，在欧几里得空间中的拉普拉斯算子（Laplacian）在齐性空间上的推广，以及如何利用群表示来求解这些算子的本征函数和本征值。此外，我们还将触及一些更前沿和活跃的研究方向。这包括研究齐性空间上的小波分析（wavelet analysis）和多分辨分析（multiresolution analysis），以及它们在信号处理和图像分析等领域的潜在应用。同时，本书也将简要介绍调和分析与黎曼几何（Riemannian geometry）之间的深刻联系，例如如何利用调和分析来研究测地线（geodesics）和曲率（curvature）等几何不变量。本书的目标读者是具有扎实的数学基础，特别是熟悉傅立叶分析、群论和微分几何的本科高年级学生、研究生以及研究人员。本书的严谨性与深度将为读者提供一个全面而深刻的视角，去理解调和分析在齐性空间这一丰富而广阔的数学领域中所扮演的关键角色，并激发他们进一步探索和研究的兴趣。通过本书的学习，读者将能够掌握利用调和分析工具来解决数学问题和理解数学结构的先进方法。