Introduction to Numerical Methods in Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer New York

作者:Mark H. Holmes

出品人:

页数:249

译者:

出版时间:2009-12-28

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441921635

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• to
• in
• Springer
• Numerical
• Methods
• MathDifferentialEquation
• Math
• 数值方法
• 微分方程
• 数值分析
• 科学计算
• 数学建模
• 工程数学
• 高等数学
• 算法
• 计算方法
• 数值解

现代计算科学与工程中的关键技术：数值方法导论 面向对象： 本书旨在为数学、物理、工程学、计算机科学等领域的本科高年级学生和初级研究生提供一个坚实而全面的基础，使他们能够理解和应用解决复杂科学问题的数值方法。对于希望将理论知识转化为实际计算技能的专业人士来说，本书也是一本极具价值的参考资料。 全书概述： 在当今的科学研究和工程实践中，许多至关重要的物理和化学过程无法通过解析方法精确求解。从流体动力学的模拟到金融市场的风险评估，再到复杂系统的控制，我们越来越依赖于强大的数值技术来逼近这些问题的解。本书《现代计算科学与工程中的关键技术：数值方法导论》正是为了系统地介绍这些核心的数值计算工具而编写的。 本书采取“理论与实践并重”的教学方针，不仅深入剖析各种数值算法背后的数学原理和收敛性分析，还通过大量的实际案例和编程练习，指导读者如何高效地实现和应用这些方法。我们聚焦于那些在现代计算实践中应用最为广泛、且具有深厚理论基础的核心算法。 核心内容模块详解： 第一部分：基础与误差分析 本部分奠定整个数值计算的理论基础，确保读者对计算过程中的不确定性和精度问题有深刻的认识。 第1章：计算环境与浮点数表示 浮点数算术： 详细介绍IEEE 754标准，包括单精度和双精度浮点数的存储结构。讨论机器 epsilon ($epsilon_m$) 的概念及其在误差分析中的作用。 误差的来源与传播： 区分截断误差（离散化引入）和舍入误差（计算引入）。分析误差在复杂运算（如加法、乘法、除法、函数评估）中如何累积和放大。 数值稳定性与病态问题： 引入“病态”问题的概念，讨论问题本身的不适定性与算法的敏感性。强调选择数值稳定算法的重要性。 第2章：线性方程组的直接求解 矩阵分解技术： 深入探讨高斯消元法（Gaussian Elimination）的原理，包括LU分解（$A=LU$）及其计算复杂性。 特殊矩阵的处理： 重点分析三对角矩阵（Tridiagonal Systems）的求解，这是许多一维离散化问题（如热传导）的核心。介绍Thomas算法（TDMA）。 矩阵的范数与条件数： 定义各种矩阵范数（如1-范数、$infty$-范数、Frobenius范数）。详细解释条件数 $kappa(A)$ 如何量化线性系统对输入微小扰动的敏感性，并与误差放大因子联系起来。 第二部分：迭代法与大型系统求解 当矩阵规模庞大或稀疏时，直接法计算成本过高。本部分专注于高效的迭代求解器。 第3章：迭代求解器的基本理论 迭代法的收敛性： 介绍迭代矩阵的谱半径理论，以及何时迭代能保证收敛。 经典迭代法： 详述雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代的算法步骤、收敛条件和计算效率的比较。 松弛技术（SOR）： 引入超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation），讨论最优松弛因子 $omega$ 的选择对收敛速度的巨大影响。 第4章：Krylov 子空间方法与预处理 共轭梯度法（CG）： 详细介绍求解对称正定（SPD）系统的CG算法，强调其最优线性搜索性质和无残差特性。 GMRES与双共轭梯度法（BiCGSTAB）： 针对非对称系统，介绍GMRES算法（及其重启策略）和BiCGSTAB算法，这是解决大型稀疏问题的基石。 预处理技术： 讨论预处理器的作用——如何通过变换系统来加速迭代收敛。介绍不完全LU分解（ILU）和不完全乔列斯基分解（IC）作为常见的预处理器。 第三部分：非线性问题的求解与优化 本部分关注求解非线性方程组和寻找函数的极值点。 第5章：单变量非线性方程求解 区间套缩法： 介绍二分法（Bisection Method），分析其可靠性但收敛速度较慢的特点。 高效的局部方法： 深入讲解牛顿法（Newton's Method）的二次收敛性，以及割线法（Secant Method）作为牛顿法近似的替代方案。讨论如何处理初始猜测不佳导致的发散问题。 混合法： 介绍保证收敛的混合策略，如Brent法。 第6章：多变量非线性系统与优化基础 牛顿法在多维空间的应用： 将牛顿法推广到多维向量函数，涉及雅可比矩阵的计算和求解线性系统。讨论拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是BFGS算法，如何避免计算昂贵的雅可比矩阵。 无约束优化基础： 介绍梯度下降法（Steepest Descent）及其一维线搜索问题。讨论终止准则和鞍点问题。 第四部分：初值问题：常微分方程的数值解法 本部分是本书的重点之一，专注于一阶常微分方程（ODEs）的数值积分技术。 第7章：一阶常微分方程的单步法 欧拉方法及其变体： 介绍前向欧拉法（Forward Euler）和后向欧拉法（Backward Euler）。分析它们在局部截断误差、全局误差和稳定边界（A-稳定性）上的差异。 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）： 详细推导和分析经典的四阶龙格-库塔（RK4）方法。介绍如何通过代数构造来设计更高精度或特定稳定性的RK方法。 局部误差估计与步长控制： 介绍如何通过比较不同阶次的近似解（如嵌入式RK方法，如RKF45）来估计局部误差，并动态调整时间步长，以保证计算效率和精度要求。 第8章：高阶与刚性（Stiff）常微分方程 多步法概述： 介绍梯形法则和多步法的基本思想，包括亚当斯-巴斯福特（Adams-Bashforth）和亚当斯-穆尔顿（Adams-Moulton）公式。讨论其效率与稳定性。 刚性系统的挑战： 定义“刚性”系统的特征——时间尺度差异巨大。解释为什么显式方法在刚性系统上需要极小的步长。 隐式方法与A-稳定性： 强调隐式欧拉法和隐式Runge-Kutta方法在处理刚性问题上的优越性，并深入解释A-稳定性区域的概念。 本书的特色与优势： 本书的结构清晰，从最基础的浮点数运算到复杂的系统求解，循序渐进。我们特别强调收敛性分析和稳定性，确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为什么这样做有效”以及“何时可能失败”。书中包含丰富的算法伪代码，可以直接转化为C++、Python或MATLAB等主流编程语言的代码实现。每一章节后都附有旨在加深理解和应用能力的设计与分析练习题。通过系统学习本书，读者将具备构建和调试复杂科学计算模型所需的坚实数值基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

一本期待已久的著作终于摆在我面前，书名《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》。光是这个名字就足以勾起我对数值分析和微分方程交织领域的好奇心。我一直在寻找一本能够系统性地介绍求解微分方程数值方法的教材，它不仅要能传授各种算法的原理和推导，更要能指导我如何理解和应用这些方法来解决实际问题。这本书给我的初步印象是，它似乎正是我所寻觅的宝藏。我特别关注的是它是否能够清晰地阐述不同方法的优缺点，例如欧拉法、龙格-库塔法等，它们在精度、稳定性和计算效率上的权衡。同时，我希望书中能够包含大量的实例，从简单的常微分方程到稍微复杂一些的偏微分方程，展示这些数值方法是如何一步步逼近真实解的。理解方法的背后逻辑固然重要，但能否将其转化为可执行的代码，并对结果进行有效的分析和解读，更是衡量一本书是否真正实用的关键。我希望这本书能够提供这方面的指导，也许是通过伪代码，或者对常用编程语言（如Python、MATLAB）的应用示例。此外，对于初学者而言，对数值不稳定性、收敛性等概念的深入讲解至关重要，我希望本书能够在这方面给予足够的篇幅和清晰的解释，帮助读者建立起扎实的理论基础，为将来深入研究打下坚实的地基。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁而专业，书名《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》也相当直观，直接点明了其核心内容。我迫切地希望通过阅读它，能够对数值求解微分方程这一数学分支有一个全面的认识。一直以来，我对于如何将数学模型转化为计算机可执行的步骤感到迷茫，而微分方程在物理、工程、生物等众多领域都扮演着至关重要的角色，掌握其数值求解方法，无疑是打开这些领域大门的钥匙。我期待书中能够深入浅出地介绍各种经典的数值积分方法，比如如何从泰勒展开式推导出前向欧拉法、后向欧拉法以及中心差分法，并详细阐述它们各自的精度阶数和稳定性条件。更进一步，我希望它能够涵盖更高级的数值方法，如Runge-Kutta方法族，并详细解析不同阶数的Runge-Kutta方法的构建思路和计算流程。对于偏微分方程，我特别关注书中是否会涉及有限差分法、有限元法等常用的离散化技术，以及如何处理边界条件和初始条件。本书的成功与否，很大程度上取决于它能否在理论深度和实践应用之间找到一个恰当的平衡点，既能让读者理解背后的数学原理，又能指导他们进行实际问题的建模和求解。

评分☆☆☆☆☆

看到《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》这本书，我立刻联想到我在学习中遇到的瓶颈。在很多情况下，我们只能通过近似的方法来求解微分方程，而如何选择合适的近似方法，如何评价近似的精度，是至关重要的。我希望这本书能够提供一个扎实的理论基础，让我能够理解各种数值方法的原理。例如，我期待书中能详细介绍如何从微分方程的定义出发，通过泰勒展开等数学工具，推导出各种差分格式。同时，对于欧拉法、改进欧拉法、以及Runge-Kutta方法族，我希望能对其精度阶数、收敛性和稳定性有深入的了解。在处理偏微分方程时，有限差分法是最基础也最常用的技术之一，我希望书中能够详尽地介绍其在不同维度上的应用，以及如何处理边界条件。此外，对于如何评估数值解的可靠性，例如误差分析和稳定性分析，我希望本书能够给予足够的篇幅和清晰的讲解，帮助我建立起严谨的数值计算思维。

评分☆☆☆☆☆

《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》这个书名，瞬间点燃了我学习的激情。在我看来，微分方程是描述自然界和社会中各种动态变化的关键工具，而数值方法则是我们在计算机时代解决这些问题的利器。我希望这本书能够为我打开一扇通往数值求解微分方程世界的大门，让我能够理解各种经典数值方法的内在逻辑。从简单的显式方法，如前向欧拉法，到更高级的隐式方法，再到高阶的Runge-Kutta方法，我都希望能对其原理、推导以及优缺点有清晰的认识。我特别关注书中是否会深入探讨数值方法的稳定性问题，以及如何通过分析来避免计算过程中出现的误差累积和不稳定性。对于偏微分方程，我也希望能得到相关的指导，了解有限差分法、有限元法等常用离散化技术是如何工作的，以及如何应用它们来解决实际问题。此外，我渴望书中能提供一些实际的应用案例，展示这些数值方法是如何被应用到科学研究和工程实践中的，从而帮助我建立起理论联系实际的能力。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》这本书时，心中涌起了一股强烈的学习冲动。在我的学习和工作中，经常会遇到需要对动态系统进行建模和分析，而微分方程正是描述这些系统的核心数学语言。然而，许多微分方程并没有简单的解析解，这使得数值方法的应用显得尤为重要。我渴望这本书能够为我提供一个系统性的入门指导，让我能够理解各种基本的数值求解方法，例如欧拉方法、改进欧拉方法、以及不同阶数的Runge-Kutta方法。我希望书中能够清晰地阐述这些方法的推导过程，以及它们在精度和稳定性方面的特性。对于偏微分方程，我也期待书中能够介绍一些基础的离散化技术，例如如何利用有限差分法来近似导数，以及如何构建求解离散方程组的算法。理解不同方法的适用范围和局限性，以及如何评估数值解的可靠性，是我希望从这本书中获得的宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》时，我立即感受到了它与我研究方向的高度契合。在我的工作中，经常会遇到需要求解微分方程来模拟物理过程的情况，而解析解往往是可遇不可求的。因此，掌握一套强大的数值求解方法是我迫切的需求。我希望这本书能够提供一个系统性的指导，让我从基础的数值积分方法开始，逐步深入到更复杂的数值技术。例如，我期待书中能够详细阐述欧拉方法、改进欧拉方法、以及各种阶数的Runge-Kutta方法的推导过程和稳定性分析。对于偏微分方程，我希望书中能够介绍有限差分法在不同维度上的应用，以及如何处理边界条件和初始条件。此外，我非常关注书中是否会涉及一些处理“刚性”微分方程（stiff equations）的特殊方法，因为在许多实际应用中，这类方程会给数值求解带来巨大的挑战。理解不同方法的计算效率和精度之间的权衡，以及如何根据问题的特点选择最合适的方法，是我希望从这本书中获得的宝贵经验。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》这本书时，我的心中涌起一股强烈的求知欲。长期以来，我对如何用计算的手段来解决现实世界中的动态问题充满了兴趣，而微分方程正是描述这些动态过程的核心数学工具。然而，直接求解复杂的微分方程往往是不切实际的，这使得数值方法的重要性不言而喻。我渴望这本书能够提供一个清晰的框架，让我理解各种数值方法的由来和发展。从最基础的离散化思想，到各种显式和隐式方法，我希望能够系统地学习它们的工作原理。我特别关注书中对误差分析的详细论述，包括局部截断误差、全局截断误差以及稳定性分析，这些是判断数值方法可靠性的关键。此外，我希望书中能够涉及如何选择合适的数值方法来应对不同类型的微分方程，例如刚性方程（stiff equations）的处理，以及如何处理高维问题。本书的价值，我认为很大程度上体现在它能否帮助我建立起一种“数值思维”，让我能够将抽象的数学概念转化为具体的计算步骤，并对计算结果的准确性和局限性有一个深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》这个书名，立刻吸引了我，因为它直击了我学习中的痛点。在我的专业领域，很多问题最终都归结为求解微分方程，但很多时候，这些方程的形式复杂，难以找到解析解。因此，掌握一套有效的数值求解方法是必不可少的。我期望这本书能够系统地介绍从基础到进阶的各种数值求解技术。我希望能够清晰地理解诸如欧拉法、改进欧拉法、辛方法以及各种阶数的Runge-Kutta方法是如何被推导出来的，以及它们在精度、稳定性和计算效率上的权衡。对于偏微分方程，我尤其关心书中是否会介绍有限差分法、有限元法等离散化技术，以及如何处理边界条件和初始条件。更重要的是，我希望能够理解如何选择最适合特定问题的数值方法，以及如何对计算结果进行误差分析和稳定性评估，从而确保我得到的解是可靠的。

评分☆☆☆☆☆

书名《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》吸引了我，因为它精准地定位了我目前在学习和研究过程中亟需的知识领域。我一直在寻找一本能够系统性地介绍如何利用计算机来逼近微分方程解的书籍。传统解析求解方法在面对复杂问题时常常显得力不从心，而数值方法的出现，为我们打开了解决这类问题的大门。我期望这本书能够详细介绍各种基本的数值积分和积分方法，例如如何从离散化思想出发，推导出欧拉方法和其变种，并对其收敛性和稳定性进行严格的分析。对于更高精度的要求，我希望书中能够深入讲解Runge-Kutta方法，包括如何构造不同阶数的Runge-Kutta公式，以及它们在精度和计算成本上的权衡。此外，对于常微分方程组和高阶微分方程，我也希望书中能够提供有效的数值求解策略。更重要的是，对于实际应用而言，如何有效地实现这些算法，以及如何对数值结果进行误差估计和验证，是至关重要的。我期待这本书能够提供相关的指导，甚至是一些编程示例，帮助我将理论知识转化为实践能力，从而能够自信地应对更复杂的微分方程求解挑战。

评分☆☆☆☆☆

《Introduction to Numerical Methods in Differential Equations》这个书名，像是一盏明灯，照亮了我一直在探索的道路。在我的专业领域，许多现象都可以用微分方程来描述，但很多时候，这些方程并没有解析解，这时候数值方法的应用就显得尤为重要。我希望这本书能够带我入门，让我理解各种核心的数值方法背后的数学原理。例如，我希望能够清晰地了解如何通过有限差分来逼近导数，以及如何基于这些逼近来构建求解常微分方程的迭代算法。对于时间依赖性的问题，我期待书中能详细介绍不同步长选择对计算结果的影响，以及稳定性分析在选择合适步长时的重要性。另外，对于偏微分方程，我希望书中能够涉及基本的离散化技术，例如如何处理二维或三维空间上的网格，以及如何利用有限差分或有限体积法来近似偏微分方程。理解各种方法的精度阶数和适用范围，能够帮助我选择最适合特定问题的数值工具。同时，我对如何评价数值解的可靠性非常感兴趣，包括误差的界定和收敛性的证明，这对于确保计算结果的有效性至关重要。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆