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出版者:Cambridge University Press

作者:Arnold Neumaier

出品人:

页数:364

译者:

出版时间:2001-10-15

价格:USD 73.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521336109

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 计算方法
• 科学计算
• 数学
• 算法
• 工程数学
• 高等数学
• 数值模拟
• 优化
• 误差分析

《计算方法入门》：探索数字世界的奥秘 欢迎来到《计算方法入门》，这本书将带您踏上一段激动人心的旅程，深入探索如何利用计算的力量来理解和解决现实世界中的复杂问题。在当今科学、工程、经济、金融乃至社会科学的各个领域，数值分析都扮演着至关重要的角色。它提供了一套强大的工具和技术，使我们能够近似求解那些难以或不可能通过解析方法（即精确的数学推导）找到答案的问题。这本书旨在为您打下坚实的基础，让您掌握这些核心概念，并能够自信地将其应用于您的学习和研究中。 为何数值分析如此重要？ 在开始深入学习具体的计算方法之前，我们有必要理解为什么数值分析在现代世界中如此不可或缺。许多现实世界的问题，无论是在物理学中模拟流体动力学，在金融领域预测股票价格，还是在医学影像中重建三维模型，都最终归结为复杂的数学方程。然而，这些方程往往没有简单的解析解，或者即使有，其表达式也异常复杂，难以直接计算。 这时，数值分析就登场了。它提供了一种“近似”的艺术和科学。通过将连续的问题离散化，将复杂的函数用更简单的多项式或分段函数来逼近，我们能够利用计算机进行大量的、有规律的计算，从而获得足够精确的答案。这就像我们无法直接测量一个不规则形状的土地面积，但可以通过将其分割成许多小方格，然后计算这些小方格的总面积来得到一个非常接近真实值的近似。 数值分析的核心在于理解和控制这些近似带来的误差。它不仅教我们如何计算，更重要的是教我们如何评估计算结果的准确性，理解误差的来源，并选择最合适的方法来最小化误差，从而确保我们得到的答案在实际应用中是有意义的。 本书内容概览： 《计算方法入门》将从最基础的概念讲起，逐步深入到更高级的主题。我们将首先关注求解方程组和逼近函数，这是许多复杂数值计算的基础。 第一部分：误差分析与函数逼近 在任何数值计算中，理解误差是首要任务。我们将深入探讨不同类型的误差，包括截断误差（由截断无穷级数或微分方程产生）和舍整误差（由计算机有限的精度表示实数产生）。理解这些误差的性质，以及它们如何累积和传播，是进行可靠数值计算的关键。我们将学习如何量化这些误差，并了解它们对计算结果的影响。 接着，我们将转向函数逼近。很多时候，我们遇到的函数可能非常复杂，难以直接处理。数值分析提供了一系列强大的技术来逼近这些函数，最常见的是使用多项式。我们将学习多项式插值，包括拉格朗日插值和牛顿插值。通过这些方法，我们可以构造一个多项式，使其在给定的数据点上与原函数完全匹配。然而，高次插值多项式可能导致“龙格现象”，即在插值点之间出现剧烈的振荡。为了解决这个问题，我们将探讨分段多项式插值，例如三次样条插值，它通过在数据点之间使用低次多项式来获得更平滑、更稳定的逼近效果。 此外，我们还会介绍最佳平方逼近的思想。在很多情况下，我们可能不需要函数在所有点上都精确匹配，而是希望找到一个简单的函数（如低次多项式），使其与给定数据在整体上“最接近”，即最小化平方误差。这将为我们理解更广泛的函数逼近问题奠定基础。 第二部分：方程的求根 求解方程的根是数值分析中最基本也最重要的问题之一。对于许多非线性方程，解析方法往往无能为力。本书将介绍几种经典的迭代求根方法： 二分法 (Bisection Method): 这是一个简单而鲁棒的方法，它利用函数的根一定存在于一个区间内的性质，通过不断缩小区间来逼近根。虽然收敛速度相对较慢，但它保证了收敛性，是理解迭代求根思想的绝佳起点。 不动点迭代法 (Fixed-Point Iteration): 我们将学习如何将方程 $f(x) = 0$ 转化为不动点形式 $x = g(x)$，然后通过迭代 $x_{k+1} = g(x_k)$ 来逼近不动点。我们将分析迭代收敛的条件，并讨论如何选择合适的 $g(x)$ 以提高收敛速度。 牛顿-拉夫逊法 (Newton-Raphson Method): 这是最著名和最广泛使用的求根方法之一。它利用函数的一阶导数信息，通过在每次迭代中使用切线来逼近根。牛顿法通常具有二次收敛的快速性，但它要求函数可导，并且初始猜测值需要离根足够近。我们将详细分析其收敛性，并讨论其优缺点。 割线法 (Secant Method): 割线法可以看作是牛顿法的一种变体，它用割线代替切线，从而避免了计算导数。它通常比牛顿法收敛慢一些，但仍具有超线性收敛性，并且不需要计算导数，这在导数难以获得或计算成本高的情况下非常有用。 我们将对这些方法进行详细的推导，并分析它们的收敛阶数和适用范围。通过大量的例子，您将学会如何选择最适合特定问题的求根方法。 第三部分：数值积分与微分 在物理、工程等领域，我们经常需要计算定积分来求解面积、体积、功等物理量，或者求解微分方程来描述系统的演化。 数值积分 (Numerical Integration): 我们将学习如何使用梯形法则 (Trapezoidal Rule) 和辛普森法则 (Simpson's Rule) 来近似计算定积分。这些方法将积分区间分割成小段，然后用简单的几何图形（梯形或抛物线）来近似函数在该区间上的行为，最后将这些小段的积分值累加起来。我们将分析这些方法的误差项，并探讨如何通过增加子区间数量来提高精度。 数值微分 (Numerical Differentiation): 求解函数的导数在很多算法中至关重要，例如在求解常微分方程时。我们将学习如何使用有限差分法 (Finite Difference Methods) 来近似计算导数，包括前向差分、后向差分和中心差分。我们将分析这些方法的精度，并讨论如何选择合适的差分格式来平衡精度和计算成本。 第四部分：线性代数方程组的数值解 线性代数方程组在科学和工程中无处不在，例如在电路分析、结构力学、有限元分析等领域。 直接法: 我们将首先介绍求解线性方程组的经典直接方法，包括高斯消元法 (Gaussian Elimination) 和LU分解 (LU Decomposition)。高斯消元法通过一系列行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，然后通过回代求解。LU分解将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，这使得在处理多个右端向量时能够更有效地求解。我们将分析这些方法的计算复杂度。 迭代法: 对于大型稀疏线性方程组，直接法可能计算量过大或需要大量存储空间。这时，迭代法就显得尤为重要。我们将介绍几种常用的迭代法，如雅可比迭代法 (Jacobi Iteration) 和高斯-赛德尔迭代法 (Gauss-Seidel Iteration)。这些方法通过构造一个迭代关系，从一个初始猜测值出发，不断逼近真实解。我们将讨论迭代收敛的条件，并分析它们的收敛速度。 学习本书将带给您什么？ 通过学习《计算方法入门》，您将： 培养严谨的数学思维: 理解数值方法的数学原理，学会分析误差和收敛性，这对于任何科学研究者都至关重要。 掌握实用的计算工具: 学习并能够熟练运用各种计算方法来解决实际问题。 增强解决复杂问题的能力: 能够将抽象的数学模型转化为可计算的算法，并解释计算结果的意义。 为更高级的学习打下基础: 本书涵盖了数值分析的核心内容，为进一步学习更专业或更深入的主题（如常微分方程的数值解、偏微分方程的数值解、优化方法、傅里叶分析的数值方法等）提供了坚实的基础。 学习方法建议： 为了最大化您的学习效果，我们建议您： 1. 勤加练习: 数值分析是一门实践性很强的学科。请务必认真完成书中的例题和习题，尝试用编程语言（如 Python、MATLAB、Julia 等）来实现这些算法。 2. 理解原理: 不要仅仅停留在记忆公式，而是要努力理解每个算法背后的数学思想和推导过程。 3. 分析误差: 在进行每一次计算时，都要思考误差可能来自哪里，以及如何评估结果的可靠性。 4. 探索应用: 尝试将学到的方法应用于您感兴趣的实际问题，例如物理模拟、数据分析、金融建模等。 《计算方法入门》将成为您探索数字世界、解决现实挑战的得力助手。我们期待您在这段学习旅程中收获知识，激发灵感，并最终成为一名更加出色的问题解决者。

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