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出版者:Princeton University Press

作者:Karl Rubin

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2000-5-1

价格:USD 67.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780691050768

丛书系列:

图书标签:

Euler systems
Arithmetic geometry
Number theory
Galois representations
Cohomology
Algebraic K-theory
Motives
L-functions
Modular forms
Langlands program

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具体描述

One of the most exciting new subjects in Algebraic Number Theory and Arithmetic Algebraic Geometry is the theory of Euler systems. Euler systems are special collections of cohomology classes attached to p-adic Galois representations. Introduced by Victor Kolyvagin in the late 1980s in order to bound Selmer groups attached to p-adic representations, Euler systems have since been used to solve several key problems. These include certain cases of the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture and the Main Conjecture of Iwasawa Theory. Because Selmer groups play a central role in Arithmetic Algebraic Geometry, Euler systems should be a powerful tool in the future development of the field. Here, in the first book to appear on the subject, Karl Rubin presents a self-contained development of the theory of Euler systems. Rubin first reviews and develops the necessary facts from Galois cohomology. He then introduces Euler systems, states the main theorems, and develops examples and applications. The remainder of the book is devoted to the proofs of the main theorems as well as some further speculations. The book assumes a solid background in algebraic Number Theory, and is suitable as an advanced graduate text. As a research monograph it will also prove useful to number theorists and researchers in Arithmetic Algebraic Geometry.

《欧拉系统》一书，顾名思义，深入探索的是数学领域中一个极为重要且影响深远的理论分支——欧拉系统。这本书并非对某个特定历史事件或人物的传记式描绘，也不是一本轻松的科普读物，而是一本严谨的学术专著，旨在为读者构建一个清晰、系统且富有洞察力的欧拉系统知识体系。欧拉系统，顾名思义，是以18世纪伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）命名的。欧拉的一生对数学的几乎所有分支都做出了奠基性的贡献，他的思想如同一条奔腾的河流，滋养了后世无数的数学研究。而“欧拉系统”这个概念，则凝聚了他在不同领域中展现出的深刻洞察和统一思想，尤其是在处理与函数、方程、级数以及分析连续性相关的问题时，他所建立的方法论和引入的概念，共同构成了一个逻辑自洽、应用广泛的数学框架。本书的主体内容将围绕着欧拉在数学分析、微分方程、数论以及拓扑学等领域所引入的具有系统性特征的关键概念和理论展开。我们将从欧拉早期的工作入手，例如他对于无穷级数的研究，特别是对π的各种级数表示，以及他如何系统地使用符号来简化和统一数学表达。书中会详细阐述欧拉恒等式 $e^{ipi} + 1 = 0$ 的背景和意义，并将其置于更广阔的复数分析框架下进行讨论，展现欧拉如何突破性地将指数函数、三角函数和虚数统一起来，构建了强大的分析工具。微分方程是欧拉数学体系中的另一座丰碑。书中将深入探讨欧拉在常微分方程和偏微分方程领域的开创性工作。我们将详细介绍欧拉在求解线性常微分方程方面提出的经典方法，例如特征方程法，以及他如何系统地处理各种类型的非齐次方程。本书会追溯欧拉对于函数概念的严格化过程，他如何通过引入“函数”这一术语，并对其进行明确定义，为现代数学分析奠定了基础。此外，书中还会涉及欧拉在流体力学和力学中的微分方程模型，分析他如何利用微分方程描述自然现象的演变，展现数学工具的强大预测能力。数论同样是欧拉系统不可或缺的一部分。虽然欧拉的数论工作更为分散，但其深刻性不容忽视。本书将聚焦于欧拉在数论中引入的具有系统性思维的成果，例如欧拉函数 $phi(n)$，它计数小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数。我们将详细阐述欧拉函数在数论中的重要地位，它在模运算、中国剩余定理以及大数分解等问题中的应用。书中还会探讨欧拉对费马大定理的初步探索，以及他引入的“整数分解”思想，这些都为后来的数论发展铺平了道路。此外，本书还会触及欧拉在几何学和拓扑学领域的先驱性工作，尤其是他对于图论的早期探索，例如解决柯尼斯堡七桥问题，这被认为是图论的开端。我们将分析欧拉在此过程中所展现出的抽象思维能力，他如何将一个实际问题转化为具有普遍意义的数学模型，以及这种模型如何构成了一种新的“系统”的分析方式。本书的结构设计力求严谨而清晰，每个章节都将围绕欧拉系统的一个核心方面展开。我们并非简单地罗列欧拉的数学成果，而是着力于挖掘其背后隐藏的系统性思维模式和方法论。例如，我们会探讨欧拉如何通过符号的系统化和运算的统一性，极大地提高了数学的表达效率和处理能力。他对于“普遍性”的追求，以及试图将不同数学分支联系起来的努力，正是“欧拉系统”之所以为“系统”的关键所在。在讨论过程中，本书将引用欧拉的经典著作和手稿中的相关片段，并结合现代数学的视角进行解读和阐释。我们旨在展示欧拉的思想是如何演进的，他所提出的概念是如何被后世修正、发展和泛化的。这不仅是对欧拉个人贡献的致敬，更是对数学发展脉络的一次深刻梳理。本书的目标读者群包括对数学史和高等数学有浓厚兴趣的本科生、研究生，以及从事相关研究的学者。书中虽然涉及复杂的数学概念和定理，但我们会尽量以一种循序渐进的方式呈现，确保读者能够理解欧拉系统的前因后果及其内在逻辑。对于初学者，本书提供了一个认识欧拉数学思想体系的窗口；对于专业研究者，则可以从中获得新的启发和视角。我们力求在本书中展现的“欧拉系统”是一个动态的概念，它不是静态的僵化理论，而是不断被发展和应用的数学思想的集合。欧拉系统所蕴含的分析方法、符号体系以及统一的思想，至今仍在影响着代数、几何、数论、概率论以及应用数学等各个领域。例如，在计算机科学中，很多算法的设计都离不开对欧拉所提出的数学模型的理解；在物理学中，各种理论模型的建立和求解，也常常能追溯到欧拉的分析工具。本书将重点分析欧拉如何构建数学的“语言”和“工具”。他所引入的函数符号、微积分符号以及对无穷的处理方式，极大地改变了数学的面貌。例如，他对于无穷小量和无穷大量的使用，虽然在当时存在争议，但却孕育了后来严谨的微积分理论。本书会详细剖析欧拉在这些概念上的创新，以及它们如何构成了一个处理连续变化问题的强大“系统”。此外，本书还会探讨欧拉系统在处理“复杂性”方面的能力。面对当时复杂的数学问题，欧拉常常能够将其分解，用系统的方法一一击破。他对于数学研究的系统性、逻辑性和严谨性的强调，塑造了现代数学的研究范式。本书将通过具体的数学例子，来揭示欧拉是如何通过他的方法，将看似难以解决的问题化为一系列可控的数学步骤。总体而言，《欧拉系统》一书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，去理解和学习以莱昂哈德·欧拉的名字命名的、贯穿他一生工作的数学思想体系。它不仅仅是一部关于数学家生平的记录，也不是一本简单介绍数学公式的汇编，而是一次对数学发展史上一位巨匠所构建的、具有深远影响的数学“系统”的深度探索。通过阅读本书，读者将能够领略欧拉思想的博大精深，以及他所构建的数学体系在现代科学中的重要地位和不朽价值。