Algebraic Functions and Projective Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer New York

作者:David M. Goldschmidt

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:2010-02-19

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441929952

丛书系列:

图书标签:

• 代数函数
• 射影曲线
• 代数几何
• 代数拓扑
• 复分析
• 代数簇
• Birational Geometry
• Riemann面
• 代数代数
• 算术几何

《代数函数与射影曲线》 本书深入探索了代数几何的核心概念，聚焦于代数函数域和射影曲线的深刻联系。我们将带领读者穿越一个丰富的数学世界，揭示代数结构如何精巧地映射到几何形态，以及射影空间的优雅如何为理解这些对象提供强大的框架。 第一部分：代数函数的基石 我们的旅程始于代数函数域的理论基础。我们将首先建立对函数域的直观认识，将其视为代数对象，并探讨其基本属性，如域的特征、代数扩张以及生成元。接着，我们将深入研究代数函数域的结构，介绍诸如域的阶数、迹以及范数等关键概念。 域的结构与性质： 我们将严格定义代数函数域，并从其代数结构出发，理解其基本性质。 探讨有限生成代数函数域，特别是超越次数的概念，以及它如何决定函数的“自由度”。 引入理想和模的概念，为后续的结构分析打下基础。 研究代数函数域上的赋值（Valuations），理解其在域上的“极点”和“零点”的几何意义。 深入探讨域的扩张，包括代数扩张和有限扩张，并分析它们的性质。 理解迹（Trace）和范数（Norm）在域扩张中的作用，以及它们如何与域的结构相关联。 代数函数域上的代数结构： 我们将重点研究函数域上的代数运算，包括加法、乘法、求逆等。 介绍函数域上的多项式环及其商环，理解它们与函数域的关系。 深入探讨函数域上的理想及其性质，特别关注素理想和极大理想。 研究函数域上的模（Modules）及其结构，为理解更复杂的代数对象做准备。 第二部分：射影空间与几何的交汇 随后，我们将目光转向射影空间，这个抽象而强大的几何框架。我们将详细阐述射影空间的基本构造，从仿射空间到射影空间的提升，以及射影空间的齐次坐标。在此基础上，我们将引入射影簇的概念，并探讨其几何特性。 射影空间的构造与性质： 我们将从最基本的仿射空间出发，逐步构建射影空间，并理解其“无穷远”点的概念。 详细介绍齐次坐标系统，理解同一个点在不同齐次坐标表示下的不变性。 探讨射影空间中的直线、平面等基本几何对象，并研究它们的射影性质。 引入射影坐标变换，理解它如何保持射影几何的性质。 研究射影空间的维数，以及不同维数射影空间之间的联系。 射影簇的几何分析： 定义射影簇（Projective Varieties）作为多项式方程组在射影空间中的解集。 分析射影簇的代数结构，包括它们的理想、维数、不可约性等。 引入函数域与射影簇之间的对应关系，理解一个射影簇上的函数域如何反映其几何结构。 探讨射影簇的几何性质，如连通性、奇点等。 研究射影簇的闭子簇（Closed Subvarieties）及其性质。 第三部分：代数函数域与射影曲线的深度融合 本书的核心在于揭示代数函数域与射影曲线之间深刻而美丽的对偶关系。我们将证明，一个亏格为 $g$ 的光滑射影曲线精确地对应于一个具有特定结构的代数函数域。我们将利用代数函数域的工具来理解射影曲线的几何性质，反之亦然。 代数函数域与射影曲线的对应： 我们将严谨地证明，每一个光滑射影曲线都对应着一个代数函数域，反之亦然。 引入亏格（Genus）的概念，并证明它是代数函数域的一个不变量，同时也是射影曲线的一个重要几何不变量。 研究函数域上的除子（Divisors）与射影曲线上的点集之间的对应关系。 介绍里曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem），这是连接代数函数域和射影曲线的重要桥梁，我们将详细阐述其内容和应用。 代数函数域工具在曲线研究中的应用： 利用代数函数域的代数工具，如线性系统（Linear Systems），来研究射影曲线上的几何结构，例如点、直线、奇点等。 理解函数域的扩张如何对应于射影曲线上的分支（Branching）或覆盖（Covering）。 利用函数域的模理论来分析射影曲线上的向量丛（Vector Bundles）和外微分形式（Differential Forms）。 探讨函数域的迹和范数如何与射影曲线上的几何运算相关联。 研究代数函数域的李代数（Lie Algebras）如何反映射影曲线的对称性。 射影曲线几何性质的函数域解释： 理解射影曲线的连通性如何对应于函数域的不可约性。 研究射影曲线的奇点（Singularities）如何通过函数域的代数性质来刻画。 分析射影曲线上的自同构群（Automorphism Groups）如何体现在函数域的自同构群中。 将射影曲线的分类问题转化为代数函数域的分类问题。 第四部分：高级主题与现代应用 最后，我们将拓展视野，触及代数函数域与射影曲线在现代数学中的一些重要应用和前沿课题。这包括但不限于： 代数几何的算术化： 我们将简要介绍代数几何的算术化思想，即研究定义在有限域上的代数簇，这与函数域的理论有着紧密的联系。 介绍代数函数域在数论中的应用，例如与数域（Number Fields）的类域论（Class Field Theory）的类比。 模形式与代数曲线： 我们将探讨模形式（Modular Forms）与代数曲线之间的深刻联系，特别是在椭圆曲线（Elliptic Curves）的研究中。 编码理论与密码学： 简要介绍代数曲线在纠错码（Error-Correcting Codes）和密码学（Cryptography）中的应用，展示了纯粹数学理论的实际价值。 本书的特色： 严谨的数学论证： 本书注重数学的严谨性，每一个定理和结论都配有详细的证明。 清晰的逻辑结构： 内容循序渐进，从基础概念到高级主题，逻辑清晰，便于读者理解。 丰富的例子： 穿插大量的例子，帮助读者将抽象的理论概念具象化，加深理解。 启发性思考： 引导读者思考数学问题之间的深层联系，激发对代数几何的探索兴趣。 《代数函数与射影曲线》是一本面向数学专业学生和研究人员的著作，旨在为读者提供一个扎实的理论基础，并激发对这个迷人领域的进一步研究。通过本书，读者将能够深刻理解代数函数域和射影曲线之间无与伦比的数学之美，以及它们在现代数学各个分支中扮演的重要角色。

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