微分几何导引 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:南京大学出版社

作者:黄正中

出品人:

页数:681

译者:

出版时间:1992

价格:6.85

装帧:

isbn号码:9787305012372

丛书系列:

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• 微分几何5
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《空间之韵：流形、张量与测地线》 本书是一部深入探索数学核心之美的著作，它将带领读者遨游于由点、线、面构成的抽象宇宙，揭示隐藏在各种几何形态背后的深刻规律。本书并非仅仅是对已有理论的陈述，而是力图展现数学家们如何通过严谨的逻辑推理和精妙的构造，从最基本的概念出发，逐步构建起宏伟的几何大厦。 第一部分：曲面之魅，几何的初探 我们将从大家熟悉的二维世界——曲面——开始，以直观而严谨的方式引入曲率的概念。我们会看到，看似简单的曲面，其弯曲程度并非一成不变，而是随观察角度和位置的不同而变化。我们将深入理解高斯曲率和平均曲率的意义，理解它们如何决定了一个曲面的局部几何性质。例如，平坦的平面具有零曲率，而球面的曲率则处处为正，这直接影响了我们在其上绘制三角形的内角和。我们会探讨不同类型的曲面，如球面、圆环面、马鞍面等，并通过具体的例子来体会曲率的奇妙之处。 第二部分：抽象之翼，流形的构建 在理解了曲面的基本性质后，我们将把目光投向更高维度的空间。本书将引入“流形”这一核心概念，它是一种局部上与欧几里得空间相似的数学对象。想象一下，我们身处一个扭曲但光滑的宇宙，在每个小范围内，它看起来都像一个普通的平面，但整体上却可能充满奇特的形状。本书将详细阐述流形的定义，包括开集、映射、图册等关键要素，以及拓扑空间的性质。我们将学会如何“粘合”这些局部欧几里得空间，构建出我们期望的全局结构。从一维的曲线到二维的曲面，再到高维的抽象流形，我们将看到几何的广阔性与包容性。 第三部分：力量之语，张量的运用 为了更精确地描述流形上的几何性质，我们需要一种更强大的语言。本书将隆重推出“张量”这一数学工具。张量可以看作是向量的推广，它们能够捕捉多方向上的信息，例如曲率、度量、导数等。我们将学习张量的定义、运算规则（如张量积、收缩、协变和逆变分量），以及它们在几何中的具体应用。本书将展示如何利用张量来表达曲面上的切向量、法向量，以及更复杂的几何量。我们将看到，张量的引入极大地简化了许多几何问题的表达和计算，使其能够适用于任意维度的流形。 第四部分：最短之径，测地线的探索 在弯曲的空间中，直线不再是我们熟悉的度量两点之间距离的唯一标准。本书将引入“测地线”的概念，它是流形上两点之间“最短”路径的推广。在平坦空间中，测地线就是直线；而在弯曲空间中，测地线可能表现为我们熟悉的曲线，例如球面上的大圆。我们将探讨测地线的定义，理解它们是如何由流形上的度量张量决定的。本书还将介绍如何求解测地线方程，并分析它们的性质，例如是否存在唯一的测地线连接任意两点，测地线是否会“闭合”等。测地线的研究对于理解空间结构、导航以及物理学中的运动轨迹都至关重要。 第五部分：内在之维，里奇曲率与标量曲率 除了局部曲率，我们还将深入研究流形整体的几何特性。本书将重点介绍里奇曲率和标量曲率。里奇曲率衡量了空间在某个方向上，其周围的测地线是靠近还是远离，它揭示了空间在“平均”意义上的弯曲程度。标量曲率则是里奇曲率的平均值，它是一个纯量，能够更宏观地描述流形的弯曲情况。我们将看到，这些曲率不依赖于我们如何在外部嵌入流形，而是完全由流形本身的结构决定，因此被称为“内在”几何。我们将通过实例分析不同流形的里奇曲率和标量曲率，理解它们与空间形态之间的联系。 本书特色： 循序渐进，由浅入深： 从直观的二维曲面入手，逐步过渡到抽象的高维流形，确保读者能够稳步理解复杂的概念。 强调几何直觉： 在引入抽象概念的同时，注重培养读者的几何直觉，通过丰富的例子和图示来辅助理解。 严谨的数学表述： 尽管注重直观性，本书仍然保持数学的严谨性，为读者提供坚实的理论基础。 广泛的应用前景： 所介绍的数学工具和概念在物理学（广义相对论、弦理论）、计算机图形学、数据科学等领域有着广泛的应用。 《空间之韵：流形、张量与测地线》将是任何对数学之美、对空间本质怀有好奇心的读者不可多得的读物。它将开启一扇通往全新数学视野的大门，让你用全新的视角去理解我们所处的世界以及更广阔的宇宙。

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我特别欣赏作者在书中穿插的一些历史性的注脚和对现代研究方向的展望。这使得这本书不仅仅是一份冰冷的数学知识的搬运工，更像是一部关于这门学科发展的简史。当读到某个定理的发现者与其时代背景时，我能更深刻地理解某些数学工具被发明出来的动机和历史必然性。特别是关于爱因斯坦广义相对论中度规张量应用的那个小节，虽然篇幅不长，但它成功地将抽象的黎曼几何与宏大的物理学背景联系起来，让人热血沸腾。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教育理念，在本书中得到了很好的体现——它不仅仅教你如何计算，更教你思考为什么要去计算。这种对学科精神的传达，是我认为这本书最宝贵的财富之一，它极大地激励了我去探索更深层次的、未被完全解答的问题。

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这本书的封面设计得非常有品味，那种深邃的蓝色和烫金的字体，一下子就抓住了我的眼球。我一直对数学的纯粹美感抱有敬意，而这本书的视觉呈现恰好契合了这种感觉。拿到书的时候，能感觉到纸张的质地很厚实，装帧也很精良，这让阅读过程本身变成了一种享受。我当时是抱着学习一个全新领域的期待来翻开它的，期待能有一场思维的冒险。第一章的引入部分，作者并没有直接抛出复杂的公式，而是用非常生活化的比喻，引导我们去理解“曲率”这个抽象的概念。这种循序渐进的叙述方式，极大地降低了我对这门学科的恐惧感。我记得那个关于“测地线”的例子，用行走在地球表面来比拟，一下子就让那些原本拗口的定义变得鲜活起来。整体来看，这本书在美学和入门引导上做得非常出色，为接下来的硬核学习打下了坚实的基础，让人有一种被温柔对待的感觉，而不是直接被扔进冰冷的概念海洋。

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阅读体验上，这本书的排版确实是教科书式的严谨，但随之而来的是对阅读兴趣的挑战。大量的定义、定理和引理被密集地排列在页面上，中间几乎没有喘息的空间。虽然定理的表述无可指摘，但缺乏足够的例证来“活化”这些理论。例如，当引入“高斯绝妙定理”时，虽然给出了其在平面和球面上的应用，但如果能增加一些更具趣味性或更贴近物理直觉的例子，比如在三维空间中某个特定形状（比如环面或扭环面）上的曲率计算过程，可能更能吸引那些对应用感兴趣的读者。我发现自己经常在读完一个定理后，脑海中一片空白，因为缺少一个具体的“锚点”来固定这个抽象的知识。总结来说，它的内容深度无疑是足够的，但“可读性”——尤其是在保持长期阅读热情方面——还有提升的空间，它更像是案头查阅的工具书，而不是可以沉浸其中的读物。

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这本书最令我赞叹的一点是其对拓扑概念融入微分几何的巧妙处理。很多同类书籍在介绍流形时，总是将其视为一个纯粹的分析工具，仅仅关注光滑性。但这本书，从一开始就将拓扑空间的基本性质——比如连通性、紧致性——作为讨论微分结构的基础。这使得我对流形的概念有了更深层次的理解，明白了为什么我们需要要求流形是豪斯多夫的，为什么分离性如此重要。作者在讨论切丛和余切丛的构建时，也很有条理地嵌入了对向量空间和对偶空间性质的复习，这种交叉学科的整合，极大地拓宽了我的知识视野。它让我意识到，微分几何绝不仅仅是曲面的研究，它更是一种关于空间结构本质的深刻洞察，这种广阔的视角是许多入门书籍所欠缺的。这种将不同数学分支融会贯通的叙事方式，简直是教科书级别的典范。

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坦率地说，我对这本书的某些章节的处理方式感到有些困惑，尤其是在处理张量分析的部分。作者似乎默认读者已经对线性代数和多重线性代数有了一个非常扎实且深入的理解。当我翻到介绍协变导数和黎曼张量的章节时，感觉像是从平缓的坡地突然被推上了一座陡峭的冰山。公式的推导过程虽然严谨，但在关键的跳跃点上，缺少了那种“为什么是这样？”的直觉性解释。我不得不频繁地查阅其他参考资料，来弥补自己在这方面的知识盲区，这无疑打断了阅读的流畅性。如果能在这部分加入更多几何直观的辅助图示，或者至少用更详尽的文字去阐释张量在坐标变换下的不变性原理，对于自学入门者来说会友好得多。这本书更像是为已经有了一定专业背景的研究生准备的教材，而非面向初学者的“导引”。我期望的“导引”是能带我摸着石头过河，而不是直接把我放在河流中央。

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整本书本身就是瓦内尔的书一个具体阐述都是抄书公。流形上层与流形纤维丛区分 层的定义 投影是局部同胚 纤维丛的投影是满射且同胚出现在底流形和纤维乘积，纤维丛只有拓扑结构 层上茎出了拓扑结构还有代数结构 ？？？这个结论我保持怀疑

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整本书本身就是瓦内尔的书一个具体阐述都是抄书公。流形上层与流形纤维丛区分 层的定义 投影是局部同胚 纤维丛的投影是满射且同胚出现在底流形和纤维乘积，纤维丛只有拓扑结构 层上茎出了拓扑结构还有代数结构 ？？？这个结论我保持怀疑