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出版者:Mathematical Association of America

作者:David R. Mazur

出品人:

页数:410

译者:

出版时间:2009-11-18

价格:USD 64.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780883857625

丛书系列:

图书标签:

组合数学
离散数学
排列组合
图论
数学
高等数学
算法
计数原理
数学建模
竞赛数学

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具体描述

Combinatorics is mathematics of enumeration, existence, construction, and optimization questions concerning finite sets. This text focuses on the first three types of questions and covers basic counting and existence principles, distributions, generating functions, recurrence relations, Polya theory, combinatorial designs, error correcting codes, partially ordered sets, and selected applications to graph theory including the enumeration of trees, the chromatic polynomial, and introductory Ramsey theory. The only prerequisites are single-variable calculus and familiarity with sets and basic proof techniques. It is flexible enough to be used for undergraduate courses in combinatorics, second courses in discrete mathematics, introductory graduate courses in applied mathematics programs, as well as for independent study or reading courses. It also features approximately 350 reading questions spread throughout its eight chapters. These questions provide checkpoints for learning and prepare the reader for the end-of-section exercises of which there are over 470.

《组合数学概论》这本书是一本深入浅出的组合数学教科书，旨在为读者提供一个扎实的理论基础和丰富的应用视角。我们从最基础的概念出发，逐步引导读者探索组合数学的奥秘，无论是初学者还是希望巩固知识的研究者，都能从中获益。第一部分：计数的基本原理本部分将从最核心的计数技术开始，为读者构建理解组合问题的基石。加法原理与乘法原理：我们将深入探讨这两个最基本的计数工具，并通过大量的实例来展示它们在解决实际问题中的威力。从简单的排列组合到更复杂的计数场景，您将学会如何巧妙地运用这两个原理来分解和解决计数难题。排列与组合：从有顺序的选择（排列）到无顺序的选择（组合），我们将清晰地阐述它们之间的区别与联系。本书将详细介绍阶乘、二项式系数等核心概念，并通过精心设计的例子，让读者理解如何计算不同情况下的排列与组合数量。我们将涵盖重复排列、圆周排列以及组合中带有重复元素的场景，确保读者对这些基本概念有全面的掌握。鸽笼原理：这个看似简单的原理，却蕴含着强大的证明力量。我们将通过经典的“将n+1只鸽子放入n个鸽笼”问题，引出鸽笼原理的多个变种，并展示它在证明存在性问题、抽屉原理等方面的应用。您将看到如何利用这个原理来解决看似复杂但本质上是“分配”问题的数学题。第二部分：生成函数与递推关系本部分将引入更为高级的工具，用于解决更复杂的计数问题和分析序列的性质。生成函数：生成函数是一种强大的数学工具，可以将计数问题转化为代数问题。我们将介绍普通生成函数和指数生成函数，并演示如何利用它们来解决组合恒等式、整数划分、背包问题等。读者将学习如何构建、操作和解析生成函数，从而发现隐藏在序列中的规律。递推关系：许多组合问题可以通过递推关系来描述。我们将介绍如何建立和求解线性齐次与非齐次递推关系，并展示它们在斐波那契数列、卡特兰数等经典序列中的应用。本书将提供多种求解递推关系的方法，包括特征方程法、母函数法等，帮助读者掌握分析序列性质的利器。第三部分：图论入门图论是组合数学的一个重要分支，在计算机科学、网络分析等领域有着广泛的应用。图的基本概念：我们将介绍图的定义、顶点、边、度数、路径、环等基本概念。从无向图到有向图，从简单图到多重图，我们将清晰地界定各类图的特性。连通性与树：连通性是图的基本性质之一，我们将探讨图的连通分量、桥、割点等概念。树作为一种特殊的连通无环图，其结构和性质有着重要的研究价值。本书将深入介绍树的定义、性质以及各种类型的树，如生成树、二叉树等。欧拉图与哈密顿图：欧拉图与哈密顿图是图论中的经典问题，它们涉及到图的遍历问题。我们将介绍欧拉路径、欧拉回路、哈密顿路径、哈密顿回路的定义和存在条件，并通过实例展示如何判断一个图是否拥有这些特性。匹配：匹配是在图的边集中选择若干条互不相邻的边。我们将介绍最大匹配、完美匹配等概念，并讨论一些经典的匹配算法，如匈牙利算法。第四部分：组合结构与计数本部分将进一步拓展组合数学的应用范围，探讨更复杂的组合结构。二项式定理及其应用：我们将重新审视二项式定理，并深入探讨其各种变体和恒等式，如范德蒙德卷积等。读者将学习如何利用二项式定理来简化代数表达式和解决计数问题。容斥原理：容斥原理是解决包含“至少”、“至多”等词语的计数问题的重要工具。我们将从简单的容斥原理开始，逐步引入更复杂的应用，例如计算互斥事件的概率、解决错排问题等。集合的划分与整数的划分：我们将探讨集合的划分（斯特林数）和整数的划分（整数划分函数）这两个经典而重要的组合问题。读者将学习如何计算不同情况下的划分数量，并了解它们在组合数学中的重要地位。贯穿全书的特点：清晰的逻辑结构：本书遵循由浅入深、由易到难的原则，每一个章节都建立在前一章节的基础之上，确保读者能够循序渐进地掌握组合数学的知识体系。丰富的例题与练习：书中包含了大量的经典例题和精心设计的练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并提高解决实际问题的能力。练习题的难度各异，既有基础巩固题，也有挑战思维的难题。严谨的数学证明：本书在介绍定理和结论时，会提供清晰、严谨的数学证明，以培养读者的数学思维能力。广泛的应用前景：本书不仅关注理论知识，更注重展示组合数学在计算机科学、概率论、密码学、运筹学等众多领域的实际应用，激发读者的学习兴趣。《组合数学概论》将为您打开一扇通往抽象数学世界的大门，让您在解决问题的过程中，领略到数学的严谨与美妙。无论您是希望为未来的学习打下坚实基础，还是希望在工作中使用组合数学的工具，这本书都将是您理想的伴侣。