Counterexamples in Calculus (Classroom Resource Materials) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Mathematical Association of America

作者:Sergiy Klymchuk

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:2009-12-09

价格:USD 45.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883857656

丛书系列:

图书标签:

微积分
反例
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高等数学
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具体描述

《微积分中的反例：课堂资源精选》本书是一本专注于微积分概念的深入探索，它打破了传统教科书的线性叙事，通过一系列精心挑选的反例，引导读者跳出思维定势，以更批判、更全面的视角审视微积分的理论基石。本书旨在成为数学教师和高年级本科生、研究生在课堂教学和自主学习中的宝贵资源，提供了一个理解微积分核心原理的独特视角。内容概述：本书的内容围绕微积分中的关键概念展开，每一个章节都以一个或多个具有启发性的反例作为切入点，揭示了看似简单概念背后隐藏的复杂性和微妙之处。我们并非要颠覆微积分的严谨性，而是要通过这些“例外”情况，加深对“一般”情况的理解。极限与连续性：我们将探讨那些在直观上似乎符合极限或连续性概念，但实际上并非如此的函数。例如，在某个点看似平滑的函数，却可能存在着令人惊讶的不连续性；或者，一系列看似收敛的函数在特定点上的行为，如何违背了我们对极限函数的预期。这些反例将促使读者更严格地理解 $epsilon-delta$ 定义的精妙之处，以及函数在点态收敛和一致收敛上的差异。导数与可微性：导数是微积分的核心工具，但函数的“光滑性”并非总是显而易见的。本书将呈现一些在期望的区间内处处可导，但其导函数却存在不连续性，甚至在某些点上表现出极端行为的函数。我们还将探讨那些在某个点上似乎拥有任意切线，但实际上该点却并非可微的例子。这些案例将促使读者深入理解可微性与连续性的关系，以及导数性质的局限性。积分与可积性：定积分的定义以及其与黎曼和的关系是微积分的另一大支柱。我们将审视那些在某些“病态”情况下，尽管函数在某个区间上有界，但却无法被黎曼积分所捕捉的例子。这些函数可能在无数个点上不连续，但其“病态”程度如何影响了它们的积分行为？我们还将探讨不可积函数的性质，以及如何通过更广义的积分概念（如勒贝格积分）来处理它们，从而理解积分理论的发展脉络。级数与收敛性：函数项级数是处理复杂函数和进行近似计算的重要手段。本书将展示一些在局部看似收敛，但在全局或特定点上表现出奇异收敛行为的级数。我们还将探讨一些看似“正常”的收敛级数，其各项的性质却可能导致一些反直觉的结果，例如级数收敛但各项不趋于零（在某些特定定义下）的误解。这些反例将帮助读者更深刻地理解级数收敛的判定准则，以及一致收敛的重要性。多变量微积分：随着维度增加，反例的复杂性和多样性也随之增加。我们将探索在多变量函数中，偏导数存在但函数不可微的场景；梯度存在但函数在某个方向上并非沿着梯度方向增长的现象；以及曲线积分与路径选择相关的微妙之处。这些反例将揭示多变量微积分的几何直观性与严谨定义之间的潜在差异。本书的特点：以反例驱动：不同于传统教材从定义和定理出发，本书以“反例”为核心，通过展示“例外”情况来激发读者对基本概念的深度思考。严谨的证明：每一个反例都附有严谨的数学证明，确保其准确性，并为读者提供理解的阶梯。课堂实用性：本书内容经过精心设计，适合在课堂上作为讨论的起点、练习的补充，或是作为教师激发学生兴趣和培养批判性思维的有力工具。拓展性思维：通过这些反例，读者可以更清晰地认识到微积分理论的边界和未解决的问题，从而对数学研究的本质有更深的体会。精炼的数学语言：本书使用清晰、准确的数学语言，力求在保持严谨性的同时，也易于理解。《微积分中的反例：课堂资源精选》不仅仅是一本习题集或定理的罗列，它是一场关于微积分本质的深度对话。它鼓励读者不仅要掌握微积分的计算技巧，更要理解其背后的思想和限制。本书将帮助学习者建立起对微积分概念的更扎实、更具洞察力的理解，为他们在未来的数学学习和研究中打下坚实的基础。