Stochastic and Integral Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Weil, Wolfgang

出品人:

页数:693

译者:

出版时间:

价格:$ 145.77

装帧:

isbn号码:9783540788584

丛书系列:

图书标签:

随机几何
积分几何
概率几何
随机过程
测度论
几何概率
点过程
随机集
高维几何
数学物理

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具体描述

Stochastic geometry deals with models for random geometric structures. Its early beginnings are found in playful geometric probability questions, and it has vigorously developed during recent decades, when an increasing number of real-world applications in various sciences required solid mathematical foundations. Integral geometry studies geometric mean values with respect to invariant measures and is, therefore, the appropriate tool for the investigation of random geometric structures that exhibit invariance under translations or motions. Stochastic and Integral Geometry provides the mathematically oriented reader with a rigorous and detailed introduction to the basic stationary models used in stochastic geometry random sets, point processes, random mosaics and to the integral geometry that is needed for their investigation. The interplay between both disciplines is demonstrated by various fundamental results. A chapter on selected problems about geometric probabilities and an outlook to non-stationary models are included, and much additional information is given in the section notes.

《概率与测度论基础》内容提要：本书旨在为读者提供一个坚实且深入的概率论与测度论基础。它不仅涵盖了经典测度论的核心概念，如 $sigma$-代数、测度、可测函数、勒贝格积分，还详细阐述了概率论中的随机变量、期望、条件期望、鞅论等关键理论。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助读者构建起从经典分析到现代概率论的桥梁，为深入研究随机过程、统计推断以及其他依赖于概率数学的领域打下坚实的基础。第一部分：测度论基础本书的开端聚焦于测度论的构建，这是现代概率论的数学基石。我们从集合论的基本概念出发，系统地引入了 $sigma$-代数（或称波雷尔 $sigma$-代数）的严格定义及其性质。这一结构不仅是定义“可测量”事件的必要框架，也是理解随机现象发生空间的数学工具。随后，本书详细探讨了测度的概念，从有限测度（如计数测度）到更具挑战性的 $sigma$-有限测度。勒贝格测度作为最重要且应用最广泛的测度之一，将得到深入剖析，包括其构造、性质（如平移不变性、可加性）以及与传统黎曼测度的对比。我们还将介绍外测度理论，作为构建完整测度空间的有效途径。第二部分：积分理论与收敛性测度论的核心应用之一是积分的推广。本书系统地介绍了可测函数的概念，并基于此定义了勒贝格积分。与黎曼积分相比，勒贝格积分在处理极限操作下的积分顺序互换问题时表现出卓越的优越性。本部分将重点阐述勒贝格积分的收敛定理：单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）以及占优收敛定理（DCT）。这些定理是处理积分与极限交换问题的核心工具，其严谨的证明过程将帮助读者理解其背后的深刻洞察力。我们还将讨论 $L^p$ 空间及其完备性，这在泛函分析和随机分析中至关重要。第三部分：概率论的公理化在建立起稳固的测度论基础之后，本书转向概率论的公理化。概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 被清晰地定义，其中 $Omega$ 是样本空间，$mathcal{F}$ 是事件的 $sigma$-代数，而 $P$ 是满足柯尔莫哥洛夫公理的概率测度。我们将探讨独立事件的测度论表述、随机变量的定义及其可测性，以及累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）的性质。期望（Expected Value）被定义为关于概率测度的勒贝格积分。本书将详尽分析离散型和连续型随机变量的期望计算，并引入各种重要的概率分布，如伯努利分布、泊松分布、正态分布等，分析其矩和特征函数。第四部分：随机变量的收敛性与强大数定律概率论的核心议题之一是随机变量序列的收敛性。本书区分并深入分析了五种主要的收敛模式：依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛、$L^p$ 收敛以及几乎处处收敛。每种收敛模式的定义、相互关系及其在不同情境下的应用将被详细讨论。强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）和中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是概率论的两大支柱。本书将提供这些定律的经典证明，例如使用特征函数（Characteristic Functions）来证明 CLT，并探讨它们在统计推断中的实际意义。特征函数作为概率分布的强有力工具，将得到充分的介绍和应用，包括唯一性定理。第五部分：条件期望与鞅论条件期望是连接概率论与信息论、时间序列分析等领域的关键概念。本书将从测度论的角度严格定义条件期望 $E[X|mathcal{G}]$，其中 $mathcal{G}$ 是一个子 $sigma$-代数。这一定义依赖于测度空间的投影性质，并展示了条件期望作为信息投影的几何直观。我们将探讨条件期望的性质，如塔性质（Tower Property）和鞅差序列的概念。最后，本书引入了鞅（Martingale）这一核心随机过程模型。鞅是公平博弈的数学表达。我们将分析次鞅（Submartingale）和超鞅（Supermartingale），并引入 Doob 的不等式，这些不等式是分析鞅论收敛性的关键技术。鞅论在金融数学（如最优停止问题、资产定价的无套利原理）中占据核心地位，本书将为读者提供深入研究这些前沿应用所需的理论基础。目标读者：本书面向数学、统计学、物理学、工程学以及经济金融领域的高年级本科生、研究生以及希望系统回顾概率论与测度论的专业人士。读者应具备实分析或高等微积分的初步知识。本书特色：严谨性与可读性的平衡：保持数学定义的绝对严谨性的同时，辅以清晰的解释和直观的例子。强调联系：贯穿全书，强调测度论的构造如何服务于概率论的公理化和随机分析。丰富的例题与习题：每章末尾均附有大量精选习题，难度梯度合理，旨在巩固理论理解并培养解决实际问题的能力。