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出版者:Pearson Scott Foresman

作者:Charles, Randall I./ Crown, Warren/ Fennell, Francis (Skip)

出品人:

页数:0

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出版时间:

价格:83.6

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isbn号码:9780328263677

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图书标签:

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• 基础数学

《精微几何与拓扑学基础：从欧几里得到高维空间》 图书简介 本书旨在为数学、物理学以及工程学领域的初学者和专业人士提供一套深入且严谨的几何学与拓扑学基础框架。我们摒弃了传统教材中过于依赖死记硬背公式的教学方式，转而强调几何直觉的培养与严密逻辑的构建，带领读者穿越从平面欧几里得空间到抽象黎曼流形，再到现代拓扑空间的核心概念。全书内容丰富，结构清晰，旨在为读者后续深入研究微分几何、代数拓扑乃至理论物理打下坚实的基础。 第一部分：欧几里得几何的再审视与解析几何的构建 本部分是对经典欧几里得几何体系进行一次深刻的、解析视角的重构。我们从希尔伯特公理系统（或更现代的公理系统，如塔斯基系统）出发，细致探讨点、线、平面之间的关系，并重点分析平行公设的地位及其对几何结构的影响。 第一章：公理体系与基础构造 公理与推理的严格性： 详细阐述几何推理的演绎过程，辨析“不证自明”的概念与严格证明的界限。 欧几里得几何的完备性分析： 探讨欧氏几何在平面上是否完备，以及如何通过构造性方法验证基本定理（如三角形全等定理的证明链）。 度量与距离的引入： 严格定义点间距离、角度，并引入勾股定理的解析几何证明，强调欧氏范数（$L^2$ 范数）的几何意义。 第二章：解析几何的几何化 本章将坐标系引入几何世界，展示代数工具如何转化为几何直观。 笛卡尔坐标系的建立与变换： 详述刚体运动（平移与旋转）在坐标系下的矩阵表示，特别是正交矩阵（旋转矩阵）的性质及其在保持距离上的作用。 二次曲线的代数与几何统一： 对圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）进行全面的代数分析，通过配方和特征值分解，揭示其内在的几何对称性。重点讨论二次型与二次曲面在三维空间中的分类。 向量空间与仿射空间： 从线性代数的角度理解二维和三维空间，引入向量加法和标量乘法，并区分向量空间（原点固定）与仿射空间（允许平移）。 第二部分：非欧几何的探索与微分几何的萌芽 几何学的进步往往源于对欧几里得体系的质疑。本部分将带领读者走出平面，进入弯曲空间的思想领域。 第三章：非欧几何的范式革命 罗巴切夫斯基-鲍耶-加洛伊几何： 详细分析双曲几何的构造，讨论其平行线的性质，并深入探讨庞加莱圆盘模型（Poincaré Disk Model）作为双曲几何的实现。理解双曲空间中三角形内角和小于 180 度的几何直觉。 黎曼几何的先驱：球面几何： 考察球面几何的特性，如大圆、测地线，以及球面三角形内角和大于 180 度的现象。这为理解正曲率空间提供了直观基础。 曲率的内在概念： 初步探讨曲率，区分外在曲率（如对嵌入曲面的观察）与内在曲率（仅依赖于曲面自身度量性质的概念）。 第四章：曲线论与初步曲率分析 本章开始使用微积分工具研究空间中的曲线。 曲线的参数化与弧长： 引入光滑参数化，精确计算曲线的长度。 弗雷内-塞雷公式（Frenet-Serret Formulas）： 详细推导三维空间中曲线的自然坐标系（切向量 $mathbf{T}$、主法向量 $mathbf{N}$、副法向量 $mathbf{B}$）。深入解析曲率 $kappa$ 和挠率 $ au$ 如何完全决定一条曲线的局部形状。 等距变换（Isometries）的性质： 讨论保持曲线长度不变的变换，为后续的流形概念做铺垫。 第三部分：拓扑学的诞生：不变性的研究 本部分是全书的核心，将几何学从依赖度量和角度的约束中解放出来，转向研究空间在连续形变下保持不变的性质。 第五章：拓扑空间的定义与基本概念 拓扑的起源：柯尼斯堡七桥问题与欧拉的洞察： 以历史事件引入图论与拓扑学的联系。 拓扑空间的形式定义： 严格定义开集、闭集、邻域、基以及开子基，强调拓扑仅依赖于“开集族”的选择。 连续性的拓扑定义： 使用开集定义函数在拓扑空间间的连续性，并展示其比依赖于 $epsilon-delta$ 定义的连续性更为普适。 同胚（Homeomorphism）： 定义拓扑学中的“等价”概念，理解拓扑形变（拉伸、扭曲，但不撕裂或粘合）的本质。 第六章：连通性、紧致性与分离公理 这些是区分不同类型拓扑空间的关键性质。 连通性（Connectedness）： 区分连通空间与路径连通空间，分析它们如何描述空间的“分离”程度。 紧致性（Compactness）： 深入理解紧致性的定义（开覆盖的有限子覆盖），并证明（在度量空间中）紧致性等价于列紧性。讨论紧致性在微积分中的重要性（如连续函数在紧集上能取到最大值）。 分离公理（Hausdorff Axiom）： 介绍 $T_1, T_2$ (Hausdorff) 等分离公理，说明为什么 Hausdorff 空间（即所有度量空间）在分析和几何中如此重要，因为它们保证了极限点的唯一性。 第七章：度量空间：拓扑学的具体实现 本章将几何直观与拓扑抽象完美结合。 度量空间的定义与例子： 引入距离函数 $d(x, y)$，考察欧几里得度量、曼哈顿度量 ($L^1$)、切比雪夫度量 ($L^infty$) 等，并说明每种度量都诱导出特定的拓扑结构。 完备性（Completeness）： 定义柯西序列，解释完备空间的概念，并分析实数集 $mathbb{R}$ 的完备性在分析中的核心地位。 巴拿赫不动点定理： 展示完备性在迭代方法中的实际应用，如证明常微分方程解的存在性与唯一性。 第四部分：高维空间与流形的初步概念 本部分将读者带入现代几何研究的前沿，为理解广义相对论或高维数据分析提供必要的概念工具。 第八章：多面体、同调与欧拉示性数 组合拓扑的视角： 研究多面体的顶点、边、面的关系。 欧拉示性数 $(chi)$： 详细推导 $chi = V - E + F$，并证明它对于任何拓扑等价的凸多面体（例如球体）是拓扑不变量。 直观理解同调群： 引入对“洞”的计数概念，不进行严格的代数拓扑定义，而是通过例子（如圆环、球体、环面）来直观解释 0 维、1 维、2 维“洞”的拓扑意义。 第九章：流形导论 微分流形的定义： 引入流形的概念——局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。重点讨论光滑结构（坐标图册和转移映射的光滑性）。 切空间的概念： 解释切空间 $T_pM$ 作为流形在点 $p$ 处“最佳线性近似”，它是向量场和微分形式的载体。 张量与微分形式的几何意义： 初步介绍微分 1-形式和 2-形式如何帮助我们测量曲线上的积分和曲面上的“通量”，这是微分几何的基石。 总结与展望 本书最后回顾了从精确的欧几里得度量到抽象的拓扑不变性的演化历程，强调了几何思维如何从“测量”转向“结构”的深刻转变。它为后续学习微分几何中的黎曼曲率、代数拓扑中的同伦理论，以及更深入的分析领域奠定了不可或缺的理论基础。本书的风格注重逻辑的连贯性、概念的清晰阐释，并辅以大量的几何直观插图和解析证明，确保读者能够全面、深入地掌握现代几何与拓扑学的核心思想。

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