Sign-changing Critical Point Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Zou, Wenming

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2008-9

价格:$ 202.27

装帧:

isbn号码:9780387766577

丛书系列:

图书标签:

Critical Point Theory
Sign-changing Solutions
Nonlinear Analysis
Variational Methods
Differential Equations
Topology
Partial Differential Equations
Mathematical Analysis
Functional Analysis
Global Analysis

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具体描述

Many nonlinear problems in physics, engineering, biology and social sciences can be reduced to finding critical points of functionals. While minimax and Morse theories provide answers to many situations and problems on the existence of multiple critical points of a functional, they often cannot provide much-needed additional properties of these critical points. Sign-changing critical point theory has emerged as a new area of rich research on critical points of a differentiable functional with important applications to nonlinear elliptic PDEs. This book is intended for advanced graduate students and researchers involved in sign-changing critical point theory, PDEs, global analysis, and nonlinear functional analysis.

《非线性分析中的拓扑方法：从不动点到变分原理》内容简介本书旨在系统而深入地探讨非线性分析领域中，如何运用先进的拓扑学工具来解决复杂的数学问题，特别是那些涉及不动点、极值点、周期解和非线性边界值问题的研究。全书结构严谨，内容涵盖从基础理论的巩固到前沿研究的探讨，力求为数学、物理、工程学及相关领域的研究人员和高年级研究生提供一本内容充实、富有洞察力的参考著作。本书的核心思想在于，许多看似纯分析性的问题，通过恰当的几何化和拓扑嵌入，可以转化为具有清晰结构的可解性问题。我们避免了对特定符号函数或特定奇点类型的过度依赖，转而聚焦于那些普适性的结构性工具，如度量空间上的收缩映射、更一般的巴拿赫空间上的不动点定理、紧性以及维度的概念在无限维空间中的推广。第一部分：基础与不动点理论的拓扑基石本部分首先回顾了必要的拓扑空间知识，包括紧性、完备性、函数空间（如 $L^p$ 空间和 Sobolev 空间）的基本性质，为后续的分析奠定坚实的基础。重点在于对拓扑度（Topological Degree）理论的详尽阐述。我们从布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）出发，逐步过渡到更具操作性的Schäffer 映射不动点定理和Leray-Schauder 理论。在讨论过程中，我们特别强调了如何构造合适的映射空间以及如何处理非紧算子。例如，我们将详细分析集合紧算子在 Banach 空间中的性质，并展示如何利用紧性来简化对大型线性算子扰动的分析。一个重要的篇章专门献给临界点理论（Critical Point Theory）的初级形式，这部分内容侧重于光滑函数在局部紧性假设下的极值点存在性。我们引入了山路引理（Mountain Pass Lemma）的经典表述，并将其应用于变分法中的简单二次型泛函。这里的讨论严格限制在使得泛函满足戈蒂（Coercivity）条件的领域内，旨在为读者建立一个稳固的、基于能量最小化的分析框架。第二部分：变分法的几何化与极值理论的深入第二部分将分析的深度提升，聚焦于泛函在更一般的拓扑空间上的行为，并引入极小极大原理。我们避免了对特定拉格朗日函数或哈密顿量的直接分析，而是从几何结构出发。极小极大原理（Minimax Principle）的构建是本部分的核心。我们详细讨论了 Lusternik–Schnirelmann 范畴（Category）的概念，并展示了如何利用拓扑范畴来估计函数具有的临界点的数量。与仅寻找单个极值点的传统方法不同，范畴理论提供了一种“数量级”的保证，这对于诸如多重波解（multiple wave solutions）的存在性证明至关重要。随后，我们深入探讨了庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）的推广形式，尽管我们不直接讨论向量场在流形上的指数求和，但我们将利用其背后的思想——即全局拓扑不变量如何约束局部行为——来理解变分问题中的“山峰”和“鞍点”。关键主题包括： 1. 山路引理的变体：讨论了在目标函数不具有全局最小值的场景下，如何通过路径的结构（如桥形结构）来确立鞍点的存在性。 2. 约束优化问题：采用乘子法（Method of Multipliers）的拓扑视角，分析具有明确边界约束或等值面约束的泛函的极值点。我们强调了拉格朗日乘子在几何上对应于梯度正交性的概念。 3. Morse 理论的初步介绍：简要介绍了 Morse 理论的基本思想，即将拓扑结构与特定类型的临界点（Morse 临界点）关联起来。这部分作为过渡，为读者理解更复杂的拓扑方法做好准备，但重点仍放在拓扑度理论的直接应用上，而非昂贵的微分流形上的计算。第三部分：非线性方程的可解性与拓扑工具的综合应用第三部分将理论应用于具体的非线性问题，主要集中于单值算子的不动点理论的更强形式以及非局部问题的处理。我们探讨了Krasnoselskii 的不动点定理，该定理是处理形如 $u = Ku + f$ 形式方程的有力工具，其中 $K$ 是紧算子而 $u$ 是非紧项。这在分析具有小扰动项的非线性微分方程时尤为重要。一个专门的章节用于分析向量值映射的拓扑度，这对于涉及多个未知函数或多维参数空间的系统至关重要。我们展示了如何将多变量系统映射到适当的高维欧几里得空间上的映射，从而应用度理论来证明解的存在性。总结与展望：本书的最终目标是让读者掌握一种强大的、不受局部光滑性严格限制的分析工具箱。我们着重于那些依赖于空间结构（如连通性、孔洞和维数）的定理，而非仅仅依赖于微分和积分的局部性质。全书的论证风格力求清晰、逻辑递进，并辅以大量的例子，以展示这些抽象的拓扑概念如何在具体的分析问题中发挥决定性作用。本书不涉及对特定符号函数或特定类型的函数空间（如希尔伯特空间上的谱理论）的深入探讨，而是专注于普适性的不动点和极值存在性理论。