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出版者:

作者:Wynne, Sharon

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页数:533

译者:

出版时间:

价格:$ 73.39

装帧:

isbn号码:9781581979312

丛书系列:

图书标签:

• TExES
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深入探究：高等数学中的拓扑结构与分析基础 图书名称：《高等数学：拓扑学基础与实分析进阶》 本书简介 本书旨在为学习高等数学、特别是计划深入研究数学分析、微分几何、乃至理论物理领域的读者，提供一套坚实而系统的基础。本书超越了传统微积分的范畴，将读者引入现代数学的核心——拓扑空间的概念，并以此为基础，构建起严谨的实分析理论体系。全书内容组织严谨，逻辑清晰，力求在概念的精确性与直观理解之间找到最佳的平衡点。 第一部分：基础回顾与集合论的严谨性 在正式进入拓扑学的世界之前，本书首先对读者在初等微积分中接触到的集合论概念进行了必要的复习和深化，特别是关于无穷集合的基数理论（康托尔和策梅洛的基本概念），为后续构造拓扑结构奠定严格的语言基础。 第一章：集合论与函数概念的再审视 本章重点回顾了集合的运算、笛卡尔积、幂集等基本概念。关键内容包括：选择公理（Axiom of Choice）及其在数学中的重要性，良序定理（Well-Ordering Theorem）与选择公理的等价性讨论。此外，对函数的满射、单射、双射的性质进行了深入剖析，引入了基数（Cardinality）和序数（Ordinal Number）的初步概念，为理解度量空间的完备性打下基础。 第二部分：拓扑空间：现代分析的基石 本书的核心部分在于对拓扑学的系统介绍。拓扑学作为研究“空间”本质的学科，其核心在于不依赖于距离或角度的概念，而是通过开集（Open Sets）的结构来定义邻近性（Nearness）。 第二章：拓扑空间的定义与基本性质 本章从最基础的定义入手，拓扑空间 (Topological Space) 被定义为一对 $(X, mathcal{T})$，其中 $mathcal{T}$ 是 $X$ 上的一族满足特定条件的子集（开集）。我们将详细讨论 开集、闭集、闭包（Closure）、内部（Interior）和边界（Boundary） 等基本概念的代数定义与几何直观。 第三章：构造拓扑：基、子基与特定构造 为了有效描述拓扑，本章介绍了拓扑基 (Base for a Topology) 和 子基 (Subbase) 的概念。我们将研究几种重要的拓扑构造： 1. 有限补拓扑 (Finite Complement Topology)：在无限集上的特殊构造。 2. 密着拓扑（Indiscrete Topology）与余有限拓扑（Cofinite Topology）。 3. 子空间拓扑 (Subspace Topology)：如何在子集上继承原有空间的结构。 4. 商拓扑 (Quotient Topology)：如何从一个拓扑空间通过等价关系构造出新的空间。 第四章：连续性、同胚与空间的分类 拓扑学中的“函数”概念被“连续映射”所取代。本章探讨了连续函数的拓扑定义（原像下保持开集），并引入了拓扑同胚（Homeomorphism）这一核心概念，它标志着两个空间在拓扑性质上是等价的。在此基础上，我们开始对空间进行初步分类： 分离公理 (Separation Axioms)：介绍 $T_1, T_2$（豪斯多夫空间 Hausdorff Space）的重要性。豪斯多夫空间是后续讨论度量空间和收敛性的必要前提。 紧致性 (Compactness)：这是拓扑学中最强大的性质之一。本章详细讲解了开复盖的定义，并证明了在豪斯多夫空间中，紧致子集即为闭子集这一关键定理。 连通性 (Connectedness)：从最直观的“不可分割”概念出发，引入路径连通性 (Path Connectedness)，并论证了实数区间 $[a, b]$ 的紧致性和路径连通性。 第三部分：度量空间与收敛性 拓扑学为分析学提供了抽象的语言，而度量空间（Metric Space）则将我们带回了熟悉的“距离”概念，但比欧几里得空间更为一般。 第五章：度量空间的结构 本章定义了度量（Metric），并考察了基于度量诱导出的拓扑结构。重点讨论：开球、闭球、度量空间的开集与闭集。分析了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量，以及 $L^p$ 范数诱导的度量。 第六章：收敛、Cauchy序列与完备性 在度量空间中，序列的极限（收敛）概念得以恢复，但更加一般化。 序列收敛 (Sequence Convergence)：基于邻域的定义。 Cauchy 序列 (Cauchy Sequences)：不再依赖于极限点是否存在，仅依赖于序列项之间的“自我接近”程度。 完备性 (Completeness)：定义完备度量空间为每一个 Cauchy 序列都收敛的空间。本章将分析 $mathbb{R}$ 的完备性，并展示完备性在求解微分方程（如巴拿赫不动点定理）中的巨大作用。 第四部分：实分析的严谨回归 本书的最后部分将拓扑学的工具应用于实数集 $mathbb{R}$ 上的函数分析，使读者对微积分中的极限、连续性和积分有了更深刻的理解。 第七章：连续函数在拓扑空间上的表现 深入分析连续函数的性质，特别是连续函数在紧致集上的性质（例如，连续函数将紧致集映射到紧致集）。讨论了均匀连续性 (Uniform Continuity) 的概念，并说明了它与标准连续性的区别。 第八章：测度和勒贝格积分简介（初步） 为后续更深入的分析做铺垫，本章简要介绍了从黎曼积分到更强大的勒贝格积分（Lebesgue Integration）的动机。重点阐述了可测集 (Measurable Sets) 的概念，以及测度（Measure）如何推广长度、面积和体积的概念。虽然不进行深入测度论的推导，但会解释测度的基本性质，例如可加性，并说明为什么它比传统长度概念更适合进行极限操作。 --- 本书特点： 1. 概念优先，逻辑严密： 强调从基础定义（如开集）出发，每一步推导都基于已证明的公理或定理。 2. 丰富的例题与反例： 专门设计了大量反例来打破读者对欧氏空间直觉的依赖，特别是关于紧致性、连通性和分离公理的反例。 3. 跨学科视野： 明确连接了代数拓扑的语言、度量分析的工具以及实分析的应用，为研究生阶段的学习奠定坚实基础。 本书适合数学专业本科高年级学生、准备考研（涉及高数第二阶段）的学生，以及希望从更抽象、更严谨的角度理解微积分基础的理工科研究人员参考使用。阅读本书，读者将能真正掌握现代数学分析的“语言”。

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