Differential Geometry and Its Applications pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Kowalski, Oldrich (EDT)/ Krupka, Demeter/ Krupkova, Olga/ Slovak, Jan

出品人:

页数:717

译者:

出版时间:2008-7

价格:$ 209.88

装帧:

isbn号码:9789812790606

丛书系列:

图书标签:

微分几何
流形
拓扑学
几何学
应用数学
数学分析
曲线曲面
黎曼几何
广义相对论
计算机图形学

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具体描述

This volume contains invited lectures and selected research papers in the fields of classical and modern differential geometry, global analysis, and geometric methods in physics, presented at the 10th International Conference on Differential Geometry and its Applications (DGA2007), held in Olomouc, Czech Republic. The book covers recent developments and the latest results in the following fields: Riemannian geometry, connections, parabolic geometries, jets, differential invariants, the calculus of variations on manifolds, differential equations, Finsler structures, and geometric methods in physics. It is also a celebration of the 300th anniversary of the birth of one of the greatest mathematicians, Leonhard Euler, and includes the Euler lecture "Leonhardt Euler - 300 years on". The notable contributors include: A Asada, Manuel de Leon, Jurgen Eichhorn, J-H Eschenburg, and Ivan Kolar.

《黎曼几何与拓扑》作者：[此处填写作者姓名] 出版信息：[此处填写出版社名称]，[此处填写出版年份] ISBN：[此处填写ISBN号] --- 图书概述《黎曼几何与拓扑》是一部深入探讨现代微分几何和代数拓扑核心概念的权威性著作。本书旨在为高年级本科生、研究生以及相关领域的研究人员提供一个全面、严谨且富有洞察力的理论框架。不同于侧重于应用或特定领域的教材，本书的重点在于构建从基础概念到前沿研究的坚实桥梁，强调几何结构与拓扑性质之间的内在联系。全书结构清晰，逻辑严密，通过精选的例题和习题，帮助读者深刻理解抽象概念的几何直觉。本书的叙事主线围绕两大支柱展开：黎曼几何（研究具有度量和曲率的流形）与代数拓扑（使用代数工具研究空间的可区分属性）。作者精心组织材料，确保读者能够逐步掌握从光滑流形的基础构造，到复杂的同调理论和特征类，最终触及现代微分拓扑的前沿领域。 --- 详细内容章节划分全书分为五大部分，共十五章，内容涵盖了从基础分析到高级微分拓扑的广阔图景。第一部分：光滑流形的拓扑基础（第 1-3 章）本部分为后续所有几何和拓扑研究奠定必要的集合论和拓扑学基础。第 1 章：拓扑空间回顾与度量空间回顾紧致性、连通性、分离公理等基本拓扑性质。深入探讨完备性、完备化，以及巴拿赫空间和希尔伯特空间在泛函分析中的作用。引入拓扑群的概念及其在描述对称性中的初步应用。第 2 章：光滑流形与切丛详细定义光滑流形、图册、转移映射和光滑结构。严格定义向量场、张量场以及张量代数。重点分析切空间、余切空间及其构成的切丛和余切丛。引入李导数作为衡量沿着向量场变化的工具。第 3 章：光滑映射与微分研究浸入、淹没、临界点和正则值的概念。详尽论述反函数定理和隐函数定理在流形上的推广。介绍微分形式（微分 $k$-形式）和外微分算子 $ ext{d}$ 的构造，建立外代数结构。第二部分：积分、拓扑不变量与同调理论（第 4-7 章）本部分将代数工具引入拓扑研究，特别是德拉姆上同调的构建。第 4 章：积分与斯托克斯定理建立流形上的积分理论，包括定向积分和测度。详尽阐述格林定理、高斯公式（散度定理）的推广形式，并引出经典的广义斯托克斯定理，这是连接微分与积分的关键。第 5 章：奇越子与同调群从奇异单纯形开始，构建奇异链复形。定义边界算子 $b$，建立链复形 $C_(M)$。引入同调群 $H_n(M)$ 的代数定义，讨论其作为拓扑不变量的性质，如同构不变量性。讨论同伦等价对同调群的影响。第 6 章：上同调与上链复形引入上链复形和上同调群 $H^n(M)$ 的定义，并探讨其与 $H_n(M)$ 之间的对偶关系（万有系数定理的直观介绍）。定义上链映射和上同调群的函子性质。第 7 章：德拉姆上同调与德拉姆定理重点研究光滑微分形式构成的德拉姆复形 $A^(M)$。证明德拉姆定理：流形上的德拉姆上同调群同构于奇异上同调群（在域 $mathbb{R}$ 上）。讨论流形上“拓扑”如何由“光滑结构”体现出来。第三部分：黎曼几何的建立（第 8-10 章）本部分将度量结构引入流形，转向微分几何的核心领域。第 8 章：黎曼度量与长度定义黎曼度量 $g$ 及其诱导的内积。研究曲线上长度、面积和体积的计算。引入拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$，作为黎曼流形上的泛函分析工具。第 9 章：联络与测地线引入平行移动的概念，并以此定义仿射联络。着重分析 Levi-Civita 联络的唯一性及其由度量诱导的性质。定义测地线方程，并讨论测地线的变分原理。第 10 章：曲率的计算与张量定义黎曼曲率张量 $R$、里奇曲率张量 $ ext{Ric}$ 和斯卡拉曲率 $S$。深入分析曲率的几何意义（如截面曲率）。引入第二基本形式（在嵌入空间中）和 Gauss-Codazzi 方程组，用于研究子流形的几何。第四部分：连接与拓扑的交汇（第 11-13 章）本部分探索黎曼几何的内在不变量，特别是曲率与拓扑的深刻联系。第 11 章：指数映射与测地流利用指数映射将切空间映射到流形上，作为测地线局部构造的工具。研究测地流的性质及其在流形上的动力学行为。讨论测地线的焦点点和焦散线。第 12 章：霍奇理论与调和形式在紧致黎曼流形上，利用拉普拉斯算子研究调和形式。阐述霍奇分解定理：任意微分形式可唯一分解为调和形式、边界形式和曲率相关项的和。利用调和形式的唯一性，重新验证德拉姆定理。第 13 章：黎曼流形上的几何不等式介绍著名的两几何定理（如 Myers-Sinclair 定理的背景）。重点讨论里奇曲率在流形上的全局约束性质。简要介绍辛几何中的基本概念，作为黎曼几何的延伸。第五部分：特征类与整体几何（第 14-15 章）本部分将几何结构提升到整体的代数拓扑层面，引入 Chern 类和 Pontryagin 类。第 14 章：向量丛与联络定义向量丛、纤维丛的结构，以及主丛的概念。引入向量丛上的联络，定义第一、第二、第三陈示类的构造。讨论这些拓扑不变量如何由联络的曲率张量（通过示性类公式）计算得出。第 15 章：高斯-邦内定理与扬-米尔斯理论的黎曼几何基础详细推导二维流形上的高斯-邦内定理，精确展示截面曲率的积分如何决定流形的拓扑（欧拉示性数）。介绍爱因斯坦-希尔伯特作用量在经典场论中的几何起源。总结黎曼几何在低维拓扑分类中的作用。 --- 读者定位与特色本书的特色在于其平衡性：它既不回避黎曼几何中复杂的计算细节（如曲率的坐标表示），也不弱化代数拓扑中抽象的构造过程（如洋链和边界算子的精确定义）。本书适合的读者群体包括： 1. 数学研究生：作为进入微分几何、拓扑学、理论物理（如广义相对论和弦论）研究的起点或核心参考书。 2. 物理学高年级学生：需要严谨的几何语言来理解规范场论、量子场论中的拓扑结构。 3. 几何学研究人员：寻求对基础理论概念进行深入复习和跨领域连接的工具。核心价值：本书通过对德拉姆定理和高斯-邦内定理的深入解析，清晰地展示了微分几何的“光滑”世界与代数拓扑的“不变”世界之间无法割裂的内在联系。它不仅仅是工具的堆砌，更是对几何直觉的培养与数学思维的锤炼。