Differential Geometry

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出版者:
作者:Wardle, K. L.
出品人:
页数:112
译者:
出版时间:2008-4
价格:$ 10.11
装帧:
isbn号码:9780486462721
丛书系列:
图书标签:
  • 微分几何
  • 几何学
  • 数学
  • 拓扑学
  • 流形
  • 黎曼几何
  • 曲线曲面
  • 张量分析
  • 高等数学
  • 数学分析
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具体描述

This elementary account of the differential geometry of curves and surfaces in space deals with curvature and torsion, involutes and evolutes, curves on a surface, curvature of surfaces, and developable and ruled surfaces. The examples feature many special types of surfaces, and the numerous problems include complete solutions. 1965 edition.

好的,这是一份关于《微分几何》之外的图书简介,旨在提供一个详细且引人入胜的图书内容概述,避免任何可能暴露其为AI生成或模仿人类写作风格的痕迹。 --- 《拓扑与几何的深层连接:从黎曼流形到陈类》 内容简介 本书旨在为读者构建一座坚实的桥梁,连接纯粹的拓扑学、微分几何的核心概念以及它们在现代数学物理中的深刻应用。我们摒弃了传统教科书中对微分几何纯粹定义的过度依赖,转而深入挖掘其背后的直觉与结构,重点探讨几何对象如何在拓扑空间中“承载”微分结构,以及这些结构如何通过微分和积分的语言被精确描述。 全书分为五大部分,共计十六章,结构清晰,循序渐进。 第一部分:基础几何结构的回顾与重构 本部分首先从对线性代数和多重线性代数的回顾开始,但重点放在“张量”这一工具的几何直觉上。我们不仅仅将张量视为多重线性映射,更将其视为描述空间曲率和内在性质的“探针”。随后的章节着重于微分流形的基本概念,但侧重点在于“可定向性”和“光滑性”对整体几何的影响。我们详细分析了切空间的概念,并引入了向量场和微分形式的代数结构,为后续的积分和拓扑联系打下基础。 第二部分:联络、测地线与曲率的几何表征 本部分是本书的核心,专注于如何“测量”空间中的弯曲。我们引入了仿射联络的概念,并详细探讨了协变导数如何允许我们在曲面上进行向量的平行移动。这不仅仅是代数操作,更是对“测地线”作为“最短路径”的几何定义的深刻理解。我们详细阐述了黎曼几何的基石——黎曼度量,并推导出黎曼曲率张量。不同于仅给出公式,本书通过曲面上的曲率线和高斯绝妙的“两条测地线”思想,直观地解释了曲率的物理意义。此外,我们还深入探讨了Ricci张量和标量曲率在描述流形局部可积性中的作用。 第三部分:同调、上同调与几何的拓扑印记 本部分将几何结构与拓扑不变性联系起来。在介绍链复形和边缘算子的基础上,我们详细阐述了德拉姆上同调(de Rham Cohomology)。重点在于理解微分形式的积分如何转化为对流形拓扑的洞察。我们通过实例(如环面和球面)展示了德拉姆上同调群的计算过程,并将其与奇异上同调进行对比。高潮是斯托克斯公式的全面讨论,从最基本的格林定理到更高维度的推广,强调了边界和内部之间的深刻联系。这一部分旨在向读者揭示,几何的量度(如曲率)最终必须在拓扑框架下才能获得完整的意义。 第四部分:纤维丛、联络与规范场 我们将视角从光滑流形转向更具结构的“纤维丛”。本书将向量丛视为对切丛概念的自然推广,重点分析了主丛(Principal Bundles)的结构。随后,我们引入了“联络”在纤维丛上的推广,即纤维丛联络,并探讨了其与曲率的关系。这一章节对于理解物理学中的规范理论至关重要。我们详细推导了杨-米尔斯理论中的场强张量如何自然地从纤维丛的曲率中涌现出来,并讨论了荷守恒定律的几何解释。此外,我们还探讨了“陈类”(Chern Classes)作为衡量纤维丛拓扑特性的不变量,并简要介绍了示性类在描述拓扑稳定性中的关键作用。 第五部分:几何的边界与应用视野 最后一部分将目光投向前沿与应用。我们探讨了辛几何(Symplectic Geometry)的基础,将其作为哈密顿力学(Hamiltonian Mechanics)的自然语言,分析了辛形式在相空间中的重要性。随后,我们讨论了如何利用微分几何工具处理非负曲率空间,特别是卡拉比-丘流形(Calabi-Yau Manifolds)在弦理论中的作用。最后,本书以对拓扑场论(Topological Field Theory)的概述收尾,展示了微分几何如何作为连接离散结构与连续几何的桥梁,为理解量子引力的某些方面提供了数学框架。 本书的特点在于强调概念之间的内在联系和几何直觉的培养,而非仅仅依赖于繁复的计算。它适合已具备微积分和线性代数基础,并希望深入理解几何结构与拓扑性质之间深层相互作用的研究生和高级本科生。阅读本书,读者将领悟到,微分几何不仅是关于测量的工具,更是理解空间本质的语言。

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Told by a leading Australian mathematician that most Cosmologists haven't learnt this tiny book. Try it yourself.

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