Fourier Series, Transforms, and Boundary Value Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Hanna, J. Ray/ Rowland, John H.

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2008-6

价格:$ 24.80

装帧:

isbn号码:9780486466736

丛书系列:

图书标签:

• 傅里叶级数
• 傅里叶变换
• 边界值问题
• 数学分析
• 偏微分方程
• 工程数学
• 信号处理
• 数值分析
• 应用数学
• 高等数学

深度探索经典分析与应用：工程与物理的数学基石 综述：解析物理世界的数学语言 本书旨在为读者提供一个全面而深入的数学分析框架，重点关注那些在经典物理学、工程学和信号处理领域中扮演核心角色的数学工具和概念。我们聚焦于偏微分方程 (PDEs) 的求解方法、复变函数理论的强大能力，以及概率论在随机过程建模中的应用。全书内容严谨，注重概念的几何直觉与代数技巧的精确结合，旨在培养读者将抽象数学模型应用于实际物理问题的能力。 第一部分：复变函数与积分变换的威力 第1章：复数域的结构与解析函数 本章是深入理解现代数学分析的基石。我们首先从复数的代数和几何结构入手，定义了复平面上的距离、角度和拓扑性质。核心内容在于解析函数的严格定义，包括柯西-黎曼方程的推导及其对函数局部性质的约束。我们将详细探讨全纯函数（Holomorphic Functions）的性质，如它们的导数处处存在且连续，以及它们在保形映射方面的作用。 第2章：柯西积分理论与留数法 本章将复变函数理论推向实际应用的高峰。我们将详细阐述柯西-古萨蒂夫定理 (Cauchy-Goursat Theorem)，并由此导出柯西积分公式 (Cauchy Integral Formula)，该公式是连接函数值与其边界积分的关键桥梁。在此基础上，我们将系统地介绍泰勒级数与洛朗级数的展开，从而识别和分类函数在孤立奇点处的行为。最终，我们将聚焦于留数定理 (Residue Theorem) 的强大求解能力，通过计算各种复杂的实积分和级数求和，展示其在工程计算中的效率与精确性。 第3章：傅里叶变换与拉普拉斯变换的基础 本章介绍两种最关键的积分变换，它们将微分方程问题转化为代数方程问题，极大地简化了求解过程。 傅里叶变换 (Fourier Transform)：我们将从离散傅里叶级数开始，逐步推广到连续傅里叶变换。重点分析变换的线性、时移不变性、卷积定理等基本性质。我们探讨了傅里叶变换在频域分析中的物理意义，例如如何通过变换观察信号中的周期性和频谱分布。 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)：本变换特别适用于处理初始值问题。我们将详细定义单边拉普拉斯变换，并重点讨论其在线性常微分方程求解中的应用，特别是如何处理不连续输入函数（如阶跃函数和冲激函数）。我们还将介绍逆变换的计算方法及其在系统响应分析中的作用。 第二部分：偏微分方程的求解与物理模型 第4章：经典偏微分方程的引入与分离变量法 本章将焦点转移到描述自然界中基本过程的偏微分方程。我们主要关注拉普拉斯方程、热传导方程（扩散方程）和波动方程。我们将严格推导这些方程的物理背景，例如稳态热分布、物质扩散或波的传播。 核心求解技术是分离变量法 (Separation of Variables)。我们将展示如何将一个多变量偏微分方程转化为一组常微分方程，并利用傅里叶级数来构建满足特定边界条件和初始条件的级数解。本章强调了本征值问题（Sturm-Liouville 问题）在确定傅里叶展开系数中的关键作用。 第5章：格林函数方法：系统的响应视角 本章介绍一种更高级、更通用的 PDE 求解技术——格林函数法 (Green's Functions)。格林函数被视为系统对一个点源输入的脉冲响应。我们将学习如何利用格林函数来构造拉普拉斯算子、亥姆霍兹算子等线性算子的反演算子。格林函数法提供了一种强大的、统一的框架来处理非齐次边界值问题，尤其适用于涉及介质不均匀或外部源项的物理系统。 第6章：特解法与扰动理论基础 当分离变量法不再适用，或者问题具有复杂边界条件时，我们需要其他技术。本章介绍特解法 (Method of Undetermined Coefficients) 在求解特定形式非齐次线性 PDE 中的应用。此外，我们将引入摄动理论 (Perturbation Theory) 的基础概念。通过将复杂问题分解为一个已知解（零阶近似）和一个小参数控制的修正项，我们能够处理那些精确解析解难以获得的实际非线性或微小修正问题。 第三部分：随机性与统计描述 第7章：概率论基础与随机变量 本部分将分析那些本质上具有随机性的物理现象。我们从概率论的基本公理出发，定义了随机试验、事件和概率的量度。核心内容包括离散和连续随机变量的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。我们将深入探讨矩（期望值、方差） 的计算，并分析重要分布，如二项分布、泊松分布、高斯（正态）分布及其在自然现象中的普适性。 第8章：随机过程与时间序列分析 本章将随机变量的静态描述扩展到描述随时间演化的系统。我们将引入随机过程 (Stochastic Processes) 的概念，分析马尔可夫链、平稳过程和遍历性。重点将放在维纳过程（布朗运动） 的分析，该过程是描述微观粒子运动和金融市场随机性的基础模型。我们将探讨如何使用时间序列分析工具来识别和建模现实世界数据中的随机成分。 结论：数学工具的综合运用 全书贯穿始终的理念是，工程和物理问题很少能被单一的数学工具完全解决。我们鼓励读者将复变函数理论用于求解积分变换，将积分变换用于简化 PDE，并将概率论应用于分析由不确定性引起的系统行为。本书是为高年级本科生或研究生设计的，要求读者具备坚实的微积分和线性代数基础，目标是使他们能够自信地运用这些经典但极其有力的数学工具，解决前沿科学和工程中的挑战性问题。

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