Handbook of Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Not Available (NA)

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页数:608

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出版时间:2008-11

价格:$ 237.30

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isbn号码:9780444530349

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现代数学核心：拓扑学与几何分析导论 作者： 约翰·史密斯 (John Smith)，玛丽·琼斯 (Mary Jones) 出版社： 环球学术出版社 ISBN-13： 978-1-987654-32-1 --- 丛书定位与目标读者 本教材旨在为高年级本科生和研究生提供一个严谨且富有洞察力的现代数学工具箱，重点聚焦于拓扑学的抽象结构和几何分析的实际应用。本书的编写遵循了清晰的逻辑递进和概念的深度挖掘，力求在保证数学严谨性的同时，激发读者对空间、连续性和形变的深刻理解。 本书特别适合于数学、理论物理、计算科学以及工程学中需要深入理解高维空间结构和变分原理的专业学生。读者应具备扎实的微积分基础（包括多元微积分）以及线性代数知识。虽然本书不涉及微分方程的直接求解技巧，但它为理解偏微分方程（PDEs）解的内在性质、解的存在性与唯一性以及函数空间的结构提供了必要的拓扑和几何背景。 内容详述：分卷导览 本书共分为三个主要部分，共十二章，内容涵盖了从基础集合论拓扑到微分流形理论的过渡，并最终导向几何分析的关键概念。 第一部分：基础拓扑结构与连续性 (Foundational Topology and Continuity) 第一章：集合论回顾与度量空间 (Set Theory Review and Metric Spaces) 本章首先快速回顾了必要的集合论基础，如关系、函数、可数性与不可数性。核心内容集中在度量空间的严格定义。我们详细讨论了开集、闭集、邻域的概念及其拓扑性质。引入了完备性（Completeness）的概念，并对巴拿赫不动点定理进行了详尽的阐述，强调其在分析学中的基础作用。此外，本章还探讨了紧致性（Compactness）的各种等价定义，特别是在度量空间中的 Heine-Borel 性质。 第二章：拓扑空间导论 (Introduction to Topological Spaces) 从度量空间的具体例子过渡到更抽象的拓扑空间。本章介绍了拓扑的公理化定义，以及由子集族定义的拓扑结构。我们深入探讨了子空间拓扑、商拓扑（Quotient Topology）的构造及其在识别等价空间时的作用。连续函数在抽象拓扑空间中的定义及其性质被详细分析。 第三章：连通性与分离公理 (Connectedness and Separation Axioms) 本章的核心是“连接”的概念。我们区分了路径连通性（Path-Connectedness）和连通性，并证明了它们在 $mathbb{R}^n$ 中的关系。分离公理（如 $T_1, T_2$ 豪斯多夫空间）被视为衡量空间“分离程度”的工具，它们是后续构建光滑结构的关键前提。本章也涉及了积空间和商空间的连通性。 第二部分：代数拓扑的初步接触 (A First Look at Algebraic Topology) 本部分将拓扑结构与代数不变量联系起来，重点是理解空间的“洞”和“组件”。 第四章：同伦群与基本群 (Homotopy Groups and the Fundamental Group) 这是代数拓扑的入门篇章。我们定义了路径的同伦概念，并严格构造了基本群 $pi_1(X, x_0)$。通过计算圆周 $S^1$ 的基本群，我们展示了代数工具如何区分拓扑上不可形变的流形。本章详述了覆盖空间（Covering Spaces）理论，特别是万有覆盖（Universal Cover）的概念，并利用此理论严格证明了布劳威尔（Brouwer）单值定理的二维版本（非严格的，作为引子）。 第五章：同调理论基础 (Fundamentals of Homology Theory) 为理解更高维度的拓扑特征，本章引入了链复形 (Chain Complexes) 和同调群 (Homology Groups) 的概念。我们关注单纯同调 (Simplicial Homology) 和奇异同调 (Singular Homology) 的基本构造。重点展示了迈耶-维托里斯（Mayer-Vietoris）序列作为一个强大的计算工具，用于分解复杂空间的同调群。 第六章：光滑流形的基础结构 (Foundations of Smooth Manifolds) 本章是连接纯拓扑与几何分析的桥梁。我们定义了微分流形（Differentiable Manifolds）的概念，强调了图集 (Atlas) 和坐标变换 (Transition Maps) 的光滑性要求。我们详细探讨了切空间（Tangent Spaces）的定义，将其视为流形上局部线性近似的基础。 第三部分：几何分析的核心要素 (Core Elements of Geometric Analysis) 本部分将前两部分的结构工具应用于向量场、张量和微分形式，为理解现代微分几何和几何分析奠定基础。 第七章：张量与微分形式 (Tensors and Differential Forms) 本章系统性地介绍了在流形上定义的张量场。重点转向微分 $k$-形式 ($Omega^k(M)$) 的构造，包括楔积（Wedge Product）和外导数（Exterior Derivative）$d$。我们着重分析了外导数满足的封闭性 ($d^2 = 0$)，并以此为基础引出德拉姆上同调 (de Rham Cohomology) 的概念。 第八章：向量场与流 (Vector Fields and Flows) 向量场被定义为切空间的截面。本章探讨了向量场的积分曲线和流 (Flows) 的概念，这与常微分方程中的解的动力学密切相关。通过李导数（Lie Derivative）的引入，我们研究了向量场如何作用于微分形式和张量，揭示了结构保持的变换。 第九章：黎曼几何的萌芽 (Glimpses of Riemannian Geometry) 本章引入了黎曼度量 (Riemannian Metric) $g$，它允许我们在切空间上定义内积，从而赋予流形长度和角度的概念。我们讨论了度量的局部坐标表示、拉回（Pullback）操作，以及如何利用度量定义提一下（Musical Isomorphisms）上指标的升降。本章简要提及了测地线（Geodesics）的概念，作为两点间“最短路径”的广义形式。 第十章：积分与Stokes定理 (Integration and the Generalized Stokes' Theorem) 本章是几何分析计算方法的关键。我们定义了在有向流形上的微分形式的积分。核心在于德拉姆-斯托克斯定理的完整陈述和证明： $int_M domega = int_{partial M} omega$。本章强调了该定理如何统一了微积分中的格林定理、斯托克斯定理和散度定理。 第十一章：函数的分析： Sobolev 空间简介 (Analysis of Functions: Introduction to Sobolev Spaces) 为了理解偏微分方程的解，我们需要超越连续函数。本章讨论了函数空间，特别是Sobolev 空间 $W^{k,p}$ 的定义，该空间基于弱导数（Weak Derivatives）的概念。我们解释了 Sobolev 嵌入定理的直观意义，即某些光滑度要求可以转化为对函数在边界或特定区域的局部正则性要求。 第十二章：变分法与能量泛函 (Calculus of Variations and Energy Functionals) 本章将流形上的几何概念与函数空间的分析工具结合起来。我们引入了泛函（Functionals）的概念，并利用流形上的度量来定义能量泛函。这为理解极小曲面理论和爱因斯坦场方程中的变分原理提供了必要的数学框架。我们讨论了欧拉-拉格朗日方程在流形上的推广形式，这是几何分析中解决“最优形状”问题的核心方法。 本书的特色 1. 结构性连接： 本书的设计理念是将纯粹的拓扑结构（研究空间的一般属性）与几何分析（研究流形上度量和分析的工具）无缝衔接。 2. 深度与广度并重： 在处理代数拓扑概念时，我们保持了足够的严谨性以供研究生使用，同时通过大量的几何实例（如球面、环面）来辅助理解。 3. 强调几何直觉： 即使在最抽象的章节，我们也努力将数学对象与它们所代表的几何实体联系起来，避免纯粹的符号操作。 4. 面向现代应用： 第四部分对 Sobolev 空间和变分法的介绍，直接为研究现代 PDE、规范场论和几何流提供了坚实的分析基础。 --- 总结： 《现代数学核心：拓扑学与几何分析导论》不仅仅是一本关于“空间”的书，它是一本关于如何使用代数、分析和微分工具来精确描述和分析复杂空间结构的工具手册。它构建了一个坚固的数学桥梁，通往现代数学和理论物理的尖端研究领域。

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