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出版者:Mathematical Assn of Amer

作者:Stein, Sherman K./ Szabo, Sandor (EDT)/ Szabo, Sandor/ Mathematical Association of America (COR)

出品人:

页数:219

译者:

出版时间:

价格:741.74元

装帧:HRD

isbn号码:9780883850282

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 平铺
• 组合数学
• 离散数学
• 数学史
• 几何
• 数论
• 可视化
• 数学教育
• 问题解决

几何、代数与无限的交织：探索现代数学的前沿领域 本书深入剖析了现代数学中两个核心分支——拓扑学与数论——的精妙结合与前沿应用。我们不仅仅停留在对经典概念的复述，而是聚焦于那些驱动当代数学研究、连接看似不相关领域的关键思想和未解难题。 第一部分：拓扑结构的深度挖掘 本书的开篇部分将读者引入代数拓扑学的迷人世界，重点关注同调理论的强大工具及其在复杂空间分析中的应用。 第一章：同调论的基石与升级 本章从基础的链复形、边界算子讲起，系统地构建了奇异同调（Singular Homology）的理论框架。我们详述了Mayer-Vietoris序列的构建过程，并展示了如何利用它来计算经典几何对象（如球面、环面）的拓扑不变量。 随后，我们将视角转向截线同调（Sheaf Cohomology）。这一工具对于分析纤维丛和局部-整体性质至关重要。我们详细探讨了De Rham理论的代数几何视角，揭示了微分形式如何通过代数结构（如契约映射和内积）来捕获流形上的全局信息。特别地，本章花费大量篇幅讨论了层上同调群在解析空间奇点分类中的作用，以及如何利用它们来理解函数空间的结构。 第二章：低维流形的几何动力学 本部分将拓扑工具应用于更具体的几何对象——三维流形。我们聚焦于Thurston的几何化纲领（Geometry Conjecture），并深入分析了双曲几何在三维流形分类中的核心地位。 我们将详细阐述超双曲几何（Hyperbolic Geometry）的度量结构，并引入理想三角剖分（Ideal Triangulation）的概念。读者将学习如何通过Dehn手术（Dehn Surgery）来构造和区分不同的三维流形。重点内容包括映射类群（Mapping Class Groups）的有限生成性，以及如何利用Teichmüller空间来参数化具有特定拓扑结构的曲面族。我们还将简要讨论Jones多项式等低维拓扑不变量如何通过代数方法嵌入到流形结构中。 第二部分：数论的现代面貌与代数几何的桥梁 本书的后半部分转向数论，但我们的关注点并非基础的解析数论，而是其与代数几何和表示论的交叉领域——代数数论和算术几何。 第三章：算术代数几何的基础 本章的核心在于理解椭圆曲线上的有理点结构。我们从Weierstrass标准型出发，详细推导出群律的几何和代数定义。随后，我们将介绍Mordell-Weil定理的证明思路，即椭圆曲线的有理点群是一个有限生成阿贝尔群。 我们引入Siegel零点的概念，并探讨了BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）的实质，即曲线的秩与L函数的行为之间的深刻联系。本章还将简要介绍模形式（Modular Forms）如何通过Taniyama-Shimura-Weil猜想（现已证明）连接到椭圆曲线，从而在费马大定理的证明中扮演的关键角色。 第四章：函数域上的算术与类域理论 在这一章中，我们将“将几何的直觉”应用于函数域（Function Fields）上的数论。我们探讨了Artin-Whaples类域理论，它在局部域上的发展——Hasse-Davenport定理。 重点关注Weil代数簇（Weil Conjectures）及其对有限域上代数曲线研究的深远影响。我们将详细分析étale同调作为新的工具，它在解决Weil猜想中的作用，以及它与经典同调理论的区别和优势。通过对L函数的精细分析，我们阐释了Grothendieck的深刻洞察：代数几何的语言能够提供数论问题的几何解释。 第五章：表示论与算术的交汇点 本书的最后一部分探索了自守表示（Automorphic Representations）的结构，这是连接数论、调和分析和表示论的桥梁。我们介绍了Langlands纲领的宏伟愿景，即数论对象（如伽罗瓦群的表示）与其分析对象（如自守形式）之间的对应关系。 我们将解释Hecke代数的构造及其在参数化自守形式中的作用。本章将侧重于GL(2)上的初步结果，展示了如何使用$p$-adic 调和分析和Iwasawa理论的某些技术来研究这些表示的算术性质。我们也将讨论Tamagawa数在理解算术群结构时的重要性。 结语：未竟的探索 全书以对当前研究热点，如$p$-adic Hodge理论在代数几何中的应用，以及高阶流形上的拓扑不变量的构造性工作作结。本书旨在为读者提供一个深入、不回避技术细节的视角，理解现代数学如何运用深刻的结构性洞察力，来解决那些跨越不同领域、具有普适性的数学问题。阅读本书需要扎实的抽象代数和基础拓扑学背景。

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