Number Theory and Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Mckee, James (EDT)/ Smyth, Chris (EDT)

出品人:

页数:364

译者:

出版时间:2008-3

价格:$ 97.18

装帧:

isbn号码:9780521714679

丛书系列:

图书标签:

• Number Theory
• Polynomials
• Algebraic Number Theory
• Polynomial Rings
• Integer Valued Polynomials
• Diophantine Equations
• Additive Number Theory
• Multiplicative Number Theory
• Algebra
• Mathematics

《代数几何导论：经典与现代的桥梁》 图书简介 作者： [此处可填写两位或三位资深学者的名字，例如：阿历克斯·韦伯斯特 (Alex Webster)、艾琳·陈 (Irene Chen)] 出版社： [此处可填写一家知名的学术出版社名称，例如：剑桥大学出版社 或 普林斯顿大学出版社] --- 核心理念与目标读者 《代数几何导论：经典与现代的桥梁》旨在为读者提供一个深入、严谨且富有洞察力的代数几何学入门。本书的构建哲学是建立在清晰的几何直觉与严格的代数工具之间的坚实桥梁之上。我们深知，代数几何这一领域常常因其抽象性和技术性而令初学者望而却步。因此，本书从最基础的代数结构出发，逐步过渡到现代代数几何的核心概念，确保读者在理解复杂理论的同时，能够始终把握其背后的几何意义。 本书特别适合具有扎实抽象代数基础（群论、环论、域论、模论）的高年级本科生、研究生，以及希望系统性地重塑或深化自身代数几何知识的研究人员。对于物理学、密码学和计算机代数等相关领域的专业人士，本书亦提供了必要的理论支撑和丰富的应用视角。 全书结构与内容深度 全书共分为五个主要部分，共计十五章，每一部分都建立在前一部分坚实的基础之上。我们刻意避免了对数论或纯粹多项式理论的深入探讨，而是将重点完全聚焦于由方程组定义的几何对象——代数簇（Algebraic Varieties）的结构研究。 第一部分：代数集合与基础拓扑 (The Algebraic Setting and Foundational Topology) 本部分是整个知识体系的基石。我们从最朴素的仿射空间 $mathbb{A}^n$ 开始，引入代数集（Algebraic Sets）的概念，这些是多项式零点集构成的几何对象。 基础结构： 详细阐述了坐标环（Coordinate Rings）$k[x_1, dots, x_n]$ 与闭子集之间的伽罗瓦对应关系（即希尔伯特零点定理的几何表达）。 拓扑引入： 引入了 Zariski 拓扑——代数几何特有的拓扑结构。我们详尽分析了 Zariski 拓扑的性质，包括其不可分解性、开集和闭集的结构，并将其与欧几里得拓扑进行对比，强调了理解 Zariski 拓扑在代数几何中的中心地位。 理想与几何： 深入探讨了理想（Ideals）如何编码几何信息。我们引入了素理想（Prime Ideals）对应不可约集（Irreducible Sets）的概念，为后续引入簇的概念做好准备。 第二部分：代数簇的定义与性质 (Defining and Characterizing Algebraic Varieties) 第二部分正式进入对核心研究对象的刻画。 簇的定义： 系统定义了射影空间 $mathbb{P}^n$ 以及由它诱导的射影簇（Projective Varieties）。我们花了专门的章节来解释为什么射影空间在几何上比仿射空间更“完备”，以及它如何解决许多仿射空间中出现的“无穷远点”问题。 环的关联： 阐述了结构层（Sheaves of Functions）的初始概念，但侧重于环化（Localization）技术在定义簇上的局部性质中的应用。例如，如何通过局部环来研究簇上的特定点（如奇点）的性质。 维度理论的萌芽： 引入了维数（Dimension）的概念，从 Krull 维数的代数定义出发，展示其与几何直觉的一致性。 第三部分：态射与双有理几何 (Morphisms and Birational Geometry) 几何对象之间的关系是理解其结构的另一关键维度。 态射 (Morphisms)： 严格定义了代数簇之间的态射，它们是“良好的”函数。我们分析了态射的代数对应物——环同态，并讨论了它们的连续性（基于 Zariski 拓扑）。 同构与同胚： 区分了代数簇的同构（Isomorphism）和拓扑空间的同胚（Homeomorphism），强调了代数结构对几何分类的限制性。 有理映射与奇点： 引入了有理映射（Rational Maps）的概念，以及由此衍生的双有理等价（Birational Equivalence）。本节的重点是奇点（Singularities）的研究——即簇上不可进行局部坐标变换变得光滑的点。我们使用判别式和雅可比矩阵来识别这些点，但并不深入到经典拓扑或复分析的奇点理论。 第四部分：光滑性与规范 (Smoothness and Canonical Structures) 本部分深入研究“良好”的代数簇——光滑簇。 局部性质的工具： 详细介绍了切空间（Tangent Spaces）的代数定义。对于一个点 $P in V$，其切空间 $T_P V$ 是通过点 $P$ 处的局部环的最大理想的商空间定义的。我们证明了该切空间维数与簇的维度之间的关系，并以此为核心，定义了光滑点。 正规化 (Normalization)： 阐述了如何通过规范映射（Normalization Map）来“修复”某些类型的奇点（如非正规奇点），这是代数几何中一个重要的构造性工具。 向量丛的初探（仅限射影空间）： 简要介绍了在 $mathbb{P}^n$ 上定义切丛（Tangent Bundles）的必要性，但我们将向量丛的复杂理论留给后续的高级课程。 第五部分：概形理论的代数基础（不涉及预射束） (The Algebraic Underpinnings of Scheme Theory) 为了实现现代性，我们必须接触到概形的概念，但本书的范围严格限制在经典概形（即具有特定结构层的环空间）的构建上，避免深入探讨预射束（Presheaves）的复杂构造。 从环到空间： 介绍了谱（Spec R）的概念，即将一个任意环 $R$ 抽象地转化为一个拓扑空间。我们将素理想视为“点”，并构造了其上的结构层。 局部化与结构层： 解释了如何通过环的局部化构造一个“好的”拓扑空间，使其具有局部结构（即一个满足特定条件的层）。本书将此视为连接环论与几何的最终桥梁。 概形的诞生（概念层面）： 最后，我们将前述的仿射簇与射影簇的结构，嵌入到更广阔的“概形”框架中，强调了概形理论作为统一语言的重要性，但不涉及 K-理论或更高级的范畴论概念。 本书的特色与局限性声明 本书的特色在于： 1. 纯代数视角： 理论推导完全基于环论、模论和线性代数，避免了对复分析或微分几何工具的依赖。 2. 几何驱动： 每一个代数构造（如局部化、商环）都配有清晰的几何解释（如开集、局部性质）。 3. 强调例子： 包含大量低维空间（如曲线和曲面）的具体实例计算，帮助读者建立直觉。 明确的局限性（本书不包含的内容）： 本书的范围明确排除了以下高级主题，以保证对初学者的友好性： 数论方面： 费马大定理的代数几何证明、椭圆曲线上的模运算（尽管涉及多项式，但深入数论的工具不在本书范围内）。 同调与上同调： 贝蒂数、上同调群、Serre 范畴等任何涉及同调代数的理论。 复杂几何： Kähler 几何、复解析结构、柯西-黎曼方程等。 预射束与范畴论： 完整的概形理论（Scheme Theory），特别是预射束（Sheaves）的深刻构造和范畴论的应用。 算术几何： 涉及有限域或数域上的代数簇（如椭圆曲线上的有理点计数）。 《代数几何导论》致力于为读者打下坚实的几何基础，使其能够自信地迈入更深层次的现代代数几何研究领域。

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