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出版者:

作者:Cooke, Roger

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:2008-3

价格:499.00元

装帧:

isbn号码:9780470259528

丛书系列:

图书标签:

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《现代数学基础：从集合论到拓扑学》 图书定位： 本书旨在为数学、物理学、计算机科学以及工程学等领域的学生和研究人员提供一套严谨、全面且易于理解的现代数学基础体系。它超越了传统微积分和线性代数的范畴，深入探讨了支撑现代科学发展的核心概念，包括集合论、逻辑、函数空间、度量空间和拓扑结构。 目标读者： 具备微积分和基础线性代数知识的本科高年级学生、研究生，以及希望系统回顾和深化其数学基础的研究人员。 --- 第一部分：形式化基础与逻辑（The Formal Framework） 本部分致力于构建数学推理的坚实基石，强调从公理到定理的严谨演绎过程。 第一章：数理逻辑与证明方法论（Mathematical Logic and Proof Techniques） 本章首先回顾命题逻辑和一阶逻辑的基本语法和语义，重点阐述量词的精确使用和模型论的初步概念。随后，我们将深入探讨证明的艺术与科学。 核心内容细分： 直接证明、反证法（Reductio ad Absurdum）与对偶论证（Proof by Contraposition）。 特别分析反证法在证明数论中基本定理（如无理数的存在性）中的关键作用。 数学归纳法（Mathematical Induction）： 从基础的自然数归纳到更强大的强归纳法（Strong Induction）和良序原理（Well-Ordering Principle）的等价性论证。 构造性证明与非构造性证明： 讨论存在性证明（Existence Proofs）的不同哲学立场，及其对后续理论构建的影响。 第二章：朴素集合论与公理化（Naive Set Theory and Axiomatization） 本章从直观的集合概念出发，逐步引入必要的限制，以避免罗素悖论等经典陷阱，并为后续的结构化数学奠定基础。 集合的定义与操作： 德摩根定律、笛卡尔积、幂集。 关系与函数： 等价关系（Equivalence Relations）的深入分析及其诱导的划分（Partitions）。函数的单射性、满射性和双射性的严格定义与验证。 罗素悖论的重述与策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF Axioms）的引言： 简要介绍替换公理（Axiom of Replacement）和分离公理（Axiom Schema of Separation）在限制集合构造中的作用，为读者建立“可信赖”的集合宇宙观。 第二部分：基数、序数与无限（Cardinality, Ordinals, and Infinity） 这是本书最具挑战性但也是最富魅力的部分之一，探讨了无限集合的“大小”问题。 第三章：集合的基数（Cardinality of Sets） 本章详细阐述了如何比较无限集合的大小，这是康托尔深刻见解的核心所在。 有限集与可数集（Countable Sets）： 自然数集 $mathbb{N}$ 的基数 $aleph_0$ 的定义。可数集（如整数 $mathbb{Z}$ 和有理数 $mathbb{Q}$）与 $mathbb{N}$ 之间的双射构造。 对角线论法（Cantor’s Diagonalization Argument）： 严谨证明实数集 $mathbb{R}$ 是不可数的，引出连续统的基数 $c$ 或 $2^{aleph_0}$。 选择公理（The Axiom of Choice, AC）： 对 AC 及其等价命题（如良序定理和Zorn’s 引理）的详尽讨论。分析在不同数学分支（如泛函分析）中，接受 AC 带来的理论便利及其哲学争议。 第四章：序关系与良序（Order Relations and Well-Ordering） 本章关注集合元素的“顺序”，而非数量。 偏序集与全序集： 上界、下界、极大元、极小元、最大元、最小元。 良序集的特征： 任何良序集都可以被良序定理“良序化”。 序数（Ordinals）： 从有限序数到无限序数 $omega, omega+1, omega cdot 2, omega^2$ 的构造过程，展示了在序数运算中，加法和乘法不再满足交换律的现象，加深对无限结构复杂性的理解。 第三部分：从度量到拓扑（From Metric Spaces to Topology） 本书的后半部分将数学的严谨性应用于分析学和几何学的抽象结构，构建现代分析学的通用语言。 第五章：度量空间（Metric Spaces） 本章将读者从 $mathbb{R}^n$ 熟悉的欧几里得距离推广到更一般的结构。 度量空间的基本定义与例子： 距离公理的验证。深入分析离散度量、欧几里得度量、切比雪夫度量（$L_infty$）和曼哈顿度量（$L_1$）的几何意义。 收敛性与连续性： 基于 $epsilon-delta$ 语言在度量空间中的推广。函数序列的逐点收敛与一致收敛（Uniform Convergence）的区分。 完备性（Completeness）： 柯西序列（Cauchy Sequences）的概念，完备空间的定义，以及巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）在证明微分方程解的存在性中的应用。 第六章：拓扑空间的引入（Introduction to Topological Spaces） 拓扑学是对“邻近性”概念的最抽象描述，它剥离了度量的具体形式，保留了连续性的本质。 拓扑的定义： 满足开集公理的集合族。如何从一个度量或一个邻域基（Neighborhood Basis）生成一个拓扑。 拓扑空间的基本概念： 开集、闭集、闭包（Closure）、内部（Interior）、边界（Boundary）和导集（Limit Points）。分析这些概念在 $mathbb{R}$ 上的标准拓扑与离散拓扑中的差异。 连续函数与同胚（Homeomorphisms）： 用拓扑语言重新定义连续性，理解同胚作为结构保持的双射，及其在区分拓扑空间上的重要性。 第七章：分离公理与紧致性（Separation Axioms and Compactness） 本章探讨拓扑空间的关键性质，这些性质使得空间具有更强的分析特性。 分离公理（Separation Axioms）： $T_1$ 空间、豪斯多夫空间（$T_2$ 空间）的定义与重要性。分析豪斯多夫空间在处理极限和收敛性时的优越性。 紧致性（Compactness）： 通过开覆盖的有限子集性质来定义。证明在 $mathbb{R}^n$ 中，闭有界集是紧致的（海涅-博雷尔定理，Heine-Borel Theorem）。 紧致性的重要推论： 紧致集上的连续函数必取到最大值和最小值。紧致空间的连续像仍然是紧致的。 --- 结语：通往更高阶数学的桥梁 本书的结构旨在引导读者从最基本的逻辑公理出发，逐步抽象化到集合的“大小”（基数），再到空间的“形状”（拓扑）。掌握这些基础，不仅能为学习泛函分析、代数拓扑和几何学打下坚实基础，更能培养出严谨、抽象的数学思维方式，这对于任何致力于前沿科学研究的人来说都是不可或缺的能力。全书贯穿着大量的课后习题，旨在巩固理论理解和提升独立构造数学论证的能力。

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