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出版者:

作者:Martin-Gay, Elayn

出品人:

页数:792

译者:

出版时间:2008-1

价格:$ 201.90

装帧:

isbn号码:9780136007296

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 二次方程

几何的殿堂：从欧几里得到非欧几里得 导言：空间的探索与几何学的演进 本书旨在带领读者深入探索几何学的宏伟殿堂，一个跨越数千年的人类智慧结晶。我们的旅程将从古希腊欧几里得所奠定的严格公理化体系出发，考察其在平面和立体空间中对形状、大小、位置和相互关系的精确描述。随后，我们将触及几何学在文艺复兴和启蒙运动中的复兴，以及其在描述自然现象和指导工程实践中所扮演的关键角色。最后，我们将迈入现代，探讨非欧几何的诞生如何彻底颠覆了我们对空间的固有认知，为相对论等现代物理学奠定了数学基础。本书将力求在保持数学严谨性的同时，兼顾清晰的逻辑推导和丰富的历史背景，使读者不仅掌握几何学的定理和证明，更能理解其背后的哲学思想和演变历程。 第一部分：古典几何的基石——欧几里得体系的精髓 第一章：公理与基础概念的构建 几何学的力量源于其对基本概念的精确定义和不证自明的公理（或称公设）。本章将详细解析欧几里得《几何原本》中开篇的五大公设和五大公理。我们将深入探讨“点”、“线”、“面”的初始概念，理解“两点之间直线最短”、“角相等，则其外项相等”等基本命题的意义。重点将放在对“平行公设”的讨论上，这一公设在之后的近两千年里，一直是数学史上最具争议和影响力的命题之一。读者将学习如何利用这些基础构建块，进行初步的逻辑推理。 第二章：平面几何的严密证明 平面几何，即欧氏二维空间的研究，是本书早期核心内容。我们将系统地回顾三角形的性质，包括内角和定理、全等判定（SSS、SAS、ASA）以及相似判定。本章的重点在于掌握证明的艺术——如何从已知条件出发，通过一系列合乎逻辑的推理步骤，最终得出结论。我们将分析与圆相关的关键定理，例如圆周角定理、切线性质以及圆的度量（周长与面积的计算）。此外，还将探讨多边形的分类与性质，如正多边形的内角和与中心角的关系。 第三章：立体几何的维度拓展 从平面跃升至三维空间，立体几何引入了新的挑战与直观性。本章将聚焦于欧氏三维空间中的基本几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体。我们将详细研究这些立体图形的表面积和体积计算公式的推导过程，理解积分思想在计算复杂体积中的萌芽（尽管严格的微积分在当时尚未成熟，但求积法的思想已经出现）。空间中直线与平面之间的关系（平行、相交、垂直）的判断与度量，也是本章的重点内容，这对于理解坐标几何的过渡至关重要。 第二部分：解析几何的革命与坐标系统的威力 第四章：笛卡尔的联姻——代数与几何的结合 解析几何的诞生是数学史上的一次伟大综合，它使得几何问题可以通过代数方程来解决。本章将系统介绍笛卡尔坐标系及其在二维平面上的应用。我们将学习如何用代数方程来表示直线、圆等基本图形，并掌握距离公式、中点公式以及如何通过方程判断两条直线的斜率和关系。本章强调的是“坐标化”的思维方式：将几何直观转化为代数运算，极大地简化了原本复杂的几何证明。 第五章：圆锥曲线的代数描述 圆锥曲线——抛物线、椭圆和双曲线——是解析几何中最迷人的一部分。本章将深入探讨这些曲线的定义（如焦点与准线的关系）以及它们在标准坐标系下的代数方程。我们将分析二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 与圆锥曲线之间的对应关系，理解判别式在识别曲线类型中的作用。这些曲线不仅在纯粹的几何学中占有重要地位，更是天体力学（如行星轨道）的基础。 第六章：三维空间中的解析几何 解析几何的威力在三维空间中得到了进一步的体现。本章将引入三维直角坐标系，并探讨平面和直线在空间中的方程表示（点法式、截距式、一般式）。空间中两点间的距离、点到平面的距离、线线之间的夹角和距离的计算，都将通过向量代数的初步概念（如点积和叉积的几何意义）得到优雅的解答。这一章为后续学习线性代数和微分几何打下了坚实的坐标基础。 第三部分：现代几何的飞跃——非欧几何的兴起与拓扑学的萌芽 第七章：平行公设的挑战与罗巴切夫斯基的突破 在古典几何的严密性下，对第五公设的怀疑从未停止。本章将追溯高斯、波耶耶和罗巴切夫斯基等人对该公设的探索。我们将详细介绍双曲几何（罗氏几何）的基本原理，特别是如何构造一个“不通过给定点且平行于给定直线的无穷多条直线”的世界。我们将比较欧氏几何、椭圆几何（黎曼几何的雏形）和双曲几何在三角形内角和等基本性质上的根本差异，理解“几何的真理性”并非绝对，而是依赖于所选的公理系统。 第八章：射影几何与不变性原理 射影几何关注的是在“投影”变换下保持不变的几何性质。本章将介绍射影平面、点和线的概念，以及对偶性原理。我们将讨论透视变换（如中心投影）对图形形状的改变，但保持某些特定关系（如交比）不变。射影几何揭示了隐藏在不同几何学分支之下的更深层次的统一性，并对艺术透视学产生了巨大影响。 第九章：拓扑学的开端——对“形变”的关注 拓扑学，常被称为“橡皮泥几何”，关注的是在连续形变（拉伸、扭曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质。本章将作为向现代几何过渡的桥梁，介绍欧拉对柯尼斯堡七桥问题的解决，引出图论和连通性的概念。我们将探讨“亏格”（Genus）的概念，并简要介绍莫比乌斯带这一非定向曲面的奇异性质，展示几何学如何从精确度量转向对空间拓扑结构的定性研究。 结语：几何学的无限疆域 几何学远非一门成熟的学科，它仍在不断拓展边界。从欧氏空间的完美直观到非欧空间的抽象逻辑，再到拓扑学对“连续性”的深刻洞察，几何学一直是人类理解宇宙结构和抽象思维的强大工具。本书的结束标志着对古典与解析几何的系统掌握，并为读者开启了探索微分几何、代数几何等前沿领域的思维准备。几何的殿堂广阔无垠，等待着每一个求知者的深入探索。

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