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出版者:

作者:Tussy, Alan S./ Gustafson, R. David

出品人:

页数:1033

译者:

出版时间:2008-3

价格:$ 196.95

装帧:

isbn号码:9780495389736

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 因式分解

好的，这是一本名为《高等微积分原理与应用》的图书简介，旨在涵盖扎实的理论基础、广泛的应用领域以及对现代科学和工程学的深刻影响，而完全不涉及《Intermediate Algebra》的内容。 --- 高等微积分原理与应用 (Advanced Calculus: Principles and Applications) 专著导言：跨越极限的数学之旅 《高等微积分原理与应用》是一部旨在为数学、物理学、工程学、计算机科学以及经济学等领域的研究者和高级学生提供坚实基础的专著。本书的核心目标在于深度挖掘经典微积分（单变量和多变量）背后的严格理论框架，并将其提升至现代分析学的视角进行审视。我们认为，理解微积分的“为什么”与“如何应用”同等重要，因此，本书将理论的严谨性与实际问题的建模能力紧密结合。 本书的叙事结构遵循从基础概念的精确定义出发，逐步构建起强大的分析工具箱，最终引导读者探索高级主题，如测度论的初步思想、泛函分析的萌芽，以及复杂系统中的优化问题。我们避免了对初级代数概念的重复，而是直接聚焦于极限、连续性、导数、积分以及无穷级数在更高维度空间中的推广与深入研究。 第一部分：实数系统与严谨性基础 (The Real Number System and Rigorous Foundations) 本部分致力于为后续所有分析打下不可动摇的逻辑基石。我们不再将实数轴视为理所当然的背景，而是从集合论的公理（如ZFC的简化表述）出发，通过构造性方法建立完备的实数系统 $mathbb{R}$。 第1章：集合论与序关系的回顾：虽然不对集合论进行全面展开，但本章强调了上确界原理（Supremum Principle）和下确界原理（Infimum Principle）在实分析中的核心地位。我们将严格证明这些性质如何保证实数系统的“无洞性”。 第2章：序列与极限的 $epsilon-delta$ 论证：本书将标准序列收敛的定义提升至更加形式化的层面。我们将重点探讨柯西收敛准则（Cauchy Criterion for Convergence）及其在证明许多重要序列性质（如有界单调序列必收敛）中的应用。同时，我们引入了广义极限的概念，包括在扩展实数线 $mathbb{R} cup {-infty, +infty}$ 上的处理。 第3章：函数连续性与一致连续性：本章深入探讨函数在拓扑空间中的连续性概念的初步表述。我们将详细分析“紧集”的概念（Compactness），并严格证明海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）在 $mathbb{R}^n$ 上的重要性。一致连续性（Uniform Continuity）与点点连续性的区别被置于核心地位，用于理解积分理论中的黎曼可积性。 第二部分：单变量分析的深入 (In-Depth Single Variable Analysis) 在巩固了严谨的分析基础后，本书将重新审视导数和积分的经典概念，但采用更强大的工具进行定义和分析。 第4章：导数与微分的严格定义：我们定义了微分（Differential）作为线性近似的最佳表示，并引入了链式法则的更深层次的理解。本章着重于中值定理（Mean Value Theorems）的推广形式，特别是洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的严谨推导，以及泰勒定理（Taylor's Theorem）的精确余项形式（Lagrange和Cauchy余项）。 第5章：黎曼积分的理论与构造：本书详细阐述了黎曼上和与下和（Darboux Sums）的构造，从而定义了黎曼可积性。我们严格证明了连续函数在闭区间上可积，以及可积函数的性质。更进一步，本章引入了对勒贝格积分（Lebesgue Integration）的初步洞察，解释了为何黎曼积分在处理不连续函数时存在局限性，从而为下一部分的勒贝格积分理论做铺垫。 第6章：无穷级数与幂级数的收敛性：本章超越了简单的收敛测试，专注于分析函数序列和函数项级数的一致收敛性。我们将严格证明一致收敛可以保证极限运算与求导/积分运算可以交换顺序的条件（交换性定理）。幂级数的收敛半径和收敛域的确定是本章的重点。 第三部分：多变量微积分与微分几何的交汇 (Multivariable Calculus and the Intersection with Differential Geometry) 本部分将分析的舞台扩展到 $mathbb{R}^n$ 空间，这是理解物理世界和高级数学结构的关键。 第7章：偏导数、方向导数与梯度：我们将导数的概念推广到多维空间，定义了偏导数和方向导数。梯度（Gradient）被清晰地定义为最大上升率的方向，并与函数的一阶线性近似联系起来。本章强调了偏导数存在性与可微性（Differentiability）之间的关键区别。 第8章：多重积分与坐标变换：本章深入探讨了二重积分和三重积分。核心内容在于如何通过雅可比行列式（Jacobian Determinant）来进行坐标变换（如极坐标、柱坐标和球坐标），以简化积分计算。我们将严格推导雅可比行列式在面积和体积元素缩放中的作用。 第9章：向量微积分：线积分、面积分与微积分基本定理的推广：这是本书的高潮部分之一。我们将介绍向量场（Vector Fields）的概念，并定义线积分（Line Integrals）和曲面积分（Surface Integrals）。三大基本定理——格林定理（Green's Theorem）、斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）——将在本章中以其最广义的形式被证明和应用，展示了微分形式（Differential Forms）的初步威力。 第四部分：高级分析主题的初探 (Explorations into Advanced Analytic Topics) 为了满足对现代数学有更高要求的读者，本书的最后部分提供了一些分析学前沿领域的概览。 第10章：勒贝格积分导论 (Introduction to Lebesgue Integration)：本章将通过简单函数（Simple Functions）的定义，系统地构建勒贝格积分理论。我们将对比黎曼积分和勒贝格积分的优势，特别是它们在处理病态函数和级数收敛中的优越性。收敛定理（如单调收敛定理和有界收敛定理）的介绍将是重点。 第11章：隐函数定理与反函数定理：这些定理是处理微分方程和几何约束问题的核心工具。我们将利用偏导数和雅可比矩阵来严格证明隐函数定理（Implicit Function Theorem）和反函数定理（Inverse Function Theorem），并探讨它们在局部坐标变换存在性证明中的关键作用。 第12章：变分法基础 (Fundamentals of Calculus of Variations)：本章将微积分的思想应用于函数空间，探讨如何找到使得某个泛函（Functional）取极值的函数。我们将推导出欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation），并将其应用于简单的物理问题，如最短路径和最速降线问题。 适用读者对象 本书面向数学、物理、应用数学专业的高年级本科生和研究生，以及需要深入理解分析学基础的工程师和定量研究人员。读者应具备扎实的微积分初步知识和线性代数背景，本书将带领他们从“会用”微积分走向“精通”分析学的理论框架。通过大量的例题和证明练习，本书致力于培养读者严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。

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