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These authors understand what it takes to be successful in mathematics, the skills that students bring to this course, and the way that technology can be used to enhance learning without sacrificing math skills. As a result, they have created a textbook with an overall learning system involving preparation, practice, and review to help students get the most out of the time they put into studying. In sum, Sullivan and Sullivan's Precalculus: Enhanced with Graphing Utilities gives students a model for success in mathematics.
好的，这是一本名为《代数与几何的交汇：高等数学预备精要》的图书简介，完全不涉及您提到的《Precalculus》的具体内容，但旨在涵盖高等数学预备阶段学生可能需要接触的关键概念。 --- 图书名称：《代数与几何的交汇：高等数学预备精要》 图书简介 在步入微积分或更深层次的数学殿堂之前，学生需要一座坚实的桥梁来连接高中代数和几何的知识，并为大学数学的抽象与严谨做好充分准备。《代数与几何的交汇：高等数学预备精要》正是这样一座精心设计的桥梁。本书摒弃了传统预备课程中可能存在的零散知识点堆砌，转而采用结构化的、以应用为导向的叙事方式，旨在构建一个连贯、深刻且实用的数学思维框架。 本书的核心理念在于强调代数结构与几何直觉之间的内在联系，证明这两者并非孤立的学科，而是相互依存、共同推动数学进步的两个维度。我们致力于培养读者在面对复杂问题时，能够灵活地在符号运算（代数）和可视化分析（几何）之间进行切换和整合的能力。 全书共分为六个主要部分，旨在系统性地巩固和提升读者的数学素养。 第一部分：函数概念的深化与拓展 本部分将函数这一核心概念提升到新的高度。我们不再仅仅将其视为简单的输入-输出机器，而是深入探讨函数的性质、表示法及其在现实世界中的建模能力。 函数族系解析： 细致回顾并深化对多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数的理解。重点在于分析这些函数在不同定义域和值域上的行为特征，特别是它们如何描述增长、衰减以及周期性现象。 变换与合成： 对函数的平移、拉伸、反射等几何变换进行系统梳理，并详细讲解函数合成（复合函数）的代数意义和图形意义。这为理解更高阶的数学结构打下基础。 反函数的探究： 不仅讲解如何求出一个函数的反函数，更重要的是探讨反函数存在的充要条件——单射性与满射性。通过图形和代数测试，帮助读者建立对函数一一对应关系的直观认识。 第二部分：超越线性：多项式与有理表达式的结构解析 本部分将重点放在了对复杂代数表达式的处理能力上，这是进行微积分求导和积分操作的基础技能。 多项式的深度分析： 从因式分解的高级技巧（如剩余定理、因子定理）出发，深入探讨多项式的根的性质，包括复数根的成对出现原理。我们引入了根与系数之间的关系（如韦达定理），使学生能够不直接解方程而洞察根的结构。 有理函数的图形构建： 详细教授如何利用渐近线（垂直、水平和斜渐近线）来准确描绘复杂有理函数的行为。本节强调极限思维的萌芽，即观察函数在趋向无穷大或特定点时表现出的趋势。 代数恒等式的精炼： 强化对各种代数公式的灵活运用，不仅包括平方差、立方和等，更关注如何通过配方法、完成平方等技巧来重构表达式，以暴露其内在结构。 第三部分：角度、弧度与三角学的统一场 三角学被重新构建为一个统一的数学系统，强调其周期性和在圆周运动中的本质。 从几何到分析： 跨越传统直角三角形的限制，引入单位圆的概念。弧度制被确立为首选的度量单位，并详细论证了其在微积分中的优越性。 三角函数的周期性与对称性： 深入探讨正弦、余弦、正切等函数图象的周期性、奇偶性以及平移对称性。这些性质是解决三角方程和进行傅里叶分析的基石。 三角恒等式的推导与应用： 本节侧重于理解和推导和差角公式、二倍角公式、半角公式。我们强调这些公式并非需要死记硬背，而是从基本定义通过几何或代数推理自然导出的规律。如何利用这些恒等式简化复杂表达式和求解三角方程将是训练的重点。 第四部分：解析几何的复兴：曲线的代数描述 本部分将代数的强大力量应用于描述和分析几何图形，展现数学的统一性。 直线方程的精炼： 巩固斜率、截距的概念，并引入点斜式、两点式等多种形式，强调不同形式在解决特定问题时的适用性。 圆锥曲线的代数特征： 详细分析抛物线、椭圆和双曲线的定义、标准方程、焦点、准线和离心率。重点在于理解这些曲线如何从一个共同的几何概念——圆锥截切——中衍生出来。读者将学习如何通过一般二次方程识别和转换这些曲线的标准形式。 参数方程的应用： 引入参数方程来描述运动轨迹，这为后续学习向量和微积分中的路径积分提供了必要的直觉基础。 第五部分：序列、级数与离散数学的初步接触 本部分引导学生从连续的函数世界转向离散的数列世界，为离散数学和高等概率论做准备。 数列的结构： 明确区分算术序列和几何序列的本质区别，并推导出它们的通项公式和求和公式。 级数的收敛性探究： 介绍有限级数和无限级数的概念。虽然不涉及严格的收敛性测试，但会直观地展示几何级数收敛的条件，以及调和级数不收敛的现象，为未来的分析做好铺垫。 排列与组合的基础： 介绍计数原理中的乘法原理和加法原理，并建立排列和组合的明确区分，重点在于理解“顺序”在计数问题中的决定性作用。 第六部分：复数系统与代数完备性 本部分将代数系统扩展到实数域之外，引入复数，这是高等数学中不可或缺的工具。 复数的定义与运算： 明确虚数单位 $i$ 的定义，掌握复数的代数形式 $(a+bi)$ 及其加、减、乘、除运算。 几何解释： 将复数表示为二维平面上的点（复平面），并探讨复数乘法在几何上对应于旋转和缩放的操作。 代数的基本定理： 介绍代数基本定理的意义——任何一个非常数多项式方程在复数域内总有解。这为我们理解多项式根的完整性提供了最终的保证。 《代数与几何的交汇》旨在通过深入的例题解析、富含洞察力的几何插图以及逻辑严密的推导过程，确保学生不仅“知道”如何计算，更“理解”为何如此计算。本书面向的是那些渴望在进入高等数学前，建立起扎实、灵活且富有联系的数学思维体系的学习者。它提供的不是简单的知识回顾，而是一场对数学基础概念的深刻重塑。
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