具体描述
This book offers a predominantly theoretical coverage of statistical prediction, with some potential applications discussed, when data and/ or parameters belong to a large or infinite dimensional space. It develops the theory of statistical prediction, non-parametric estimation by adaptive projection – with applications to tests of fit and prediction, and theory of linear processes in function spaces with applications to prediction of continuous time processes. This work is in the Wiley-Dunod Series co-published between Dunod (www.dunod.com) and John Wiley and Sons, Ltd.
《高维数据中的推断与预测》 一部聚焦于现代统计学与机器学习前沿挑战的深度探索 引言：复杂性时代的统计学图景 在当今信息爆炸的时代，我们正面临着前所未有的海量数据。从基因组测序到金融市场的高频交易，从社交网络分析到气候模型的构建，数据维度（特征数量）常常呈指数级增长，远超观测样本的数量。这种“大维度”或“高维”的特性，对传统的统计推断和预测方法构成了根本性的挑战。传统理论往往建立在维度固定的假设之上，当维度失控时，这些方法要么计算复杂度过高，要么其统计效率急剧下降，甚至在某些情况下会完全失效。 《高维数据中的推断与预测》正是在这一背景下应运而生的一部著作。它不仅仅是对现有方法的简单回顾，更是一次对高维统计学核心理论、新兴算法及其在复杂应用中如何有效运作的系统性梳理与深入剖析。本书旨在为研究人员、高级学生和数据科学专业人士提供一个坚实的理论基础和实用的技术工具箱，以驾驭那些看似“维度灾难”的复杂数据结构。 第一部分：高维统计学的理论基石 本书的开篇着眼于构建理解高维现象的必要理论框架。我们首先回顾了经典统计学中关于渐近理论的局限性，并引入了在高维背景下更为稳健的统计框架。 1. 维度与样本规模的非渐近分析： 重点讨论了$p gg n$（特征数远大于样本数）情形下的统计行为。我们详细阐述了随机矩阵理论在高维估计中的核心作用，特别是当数据协方差矩阵不再是全秩时，如何通过分析其特征值分布（如Marčenko-Pastur定律）来理解信息丢失和信号提取的界限。 2. 稀疏性假设与可解释性： 在高维数据中，完全稀疏性（只有少数特征对结果有显著影响）是一个关键的现实假设。本书深入探讨了$l_1$正则化（LASSO）背后的数学原理，超越了单纯的优化问题，关注其统计性质，包括系数估计的一致性和渐近分布。我们对比了$l_0$惩罚（作为理论基准）与$l_1$惩罚（作为可操作的替代品）在统计性质上的差异和权衡。 3. 维数缩减的统计视角： 主成分分析（PCA）和因子分析等传统方法在高维数据中如何表现？本书从信息最大化和方差保留的角度，审视了这些方法的局限性，并引入了与预测目标更紧密耦合的维数缩减技术，例如判别分析的扩展形式，确保降维过程不损害最终的预测精度。 第二部分：核心预测模型与优化算法 高维统计学的核心挑战在于找到既能处理大规模特征集，又能保证计算效率和模型稳健性的预测模型。本部分详细介绍了当前最前沿的算法。 4. 广义线性模型的扩展： 线性回归的普及性毋庸置疑，但在高维情境下，如何有效地求解带有正则项的广义线性模型（如逻辑回归、泊松回归）成为关键。我们不仅介绍了迭代收缩阈值算法（ISTA）和快速迭代收缩阈值算法（FISTA），还深入剖析了交替方向乘子法（ADMM）在高维惩罚回归中的应用，特别是在处理约束或多任务学习设置时的优势。 5. 非线性与集成学习在高维情境下的适配： 虽然许多高维方法基于线性或近似线性模型，但现实世界往往是非线性的。本书探讨了梯度提升机（GBM）和随机森林在高维特征空间中的稳定性和特征选择能力。特别关注了如何在高维背景下进行有效的特征交互作用建模，以及如何通过结构性正则化（如Group LASSO）来保持模型的可解释性。 6. 稳健性与异常值处理： 高维数据往往伴随着测量误差和极端异常值。本书用专门的章节讨论了如何在高维回归中实现稳健估计，例如M估计在高维空间的推广，以及如何利用核方法来度量和减轻异常值对整体预测模型的负面影响。 第三部分：推断的复杂性与后选择推断 预测的成功并不意味着统计推断的可靠性。当模型选择过程本身依赖于数据时，传统的p值和置信区间会变得过于乐观或不可靠。这是高维统计学中最具挑战性的领域之一。 7. 局部渐近理论： 传统渐近理论依赖于参数的固定性，而高维推断往往需要研究在维度趋向无穷大时，关键参数（如感兴趣的系数）如何趋近于零或保持在一个非零的临界值。本书引入了基于投影和正态化假设的局部渐近框架，用于精确界定系数估计值的分布。 8. 后选择推断（Post-Selection Inference）： 这是一个革命性的领域。一旦我们使用数据（例如通过LASSO或前向选择）挑选出了一组显著变量，我们如何对这组变量进行可靠的统计推断？本书系统介绍了基于条件重采样、条件检验以及Oracle近似的方法，这些方法旨在纠正模型选择引入的选择偏差，使得最终的p值和置信区间具有真实的覆盖率。 9. 多重检验与家族错误率控制： 随着检验数量（特征数量）的增加，控制错误发现率（FDR）或家族错误率（FWER）变得至关重要。本书详细介绍了Benjamini-Hochberg程序在高维设置下的有效性，并探讨了那些专门为稀疏高维模型设计的改进型控制程序。 结论：面向未来的挑战 本书最后展望了高维统计学面临的前沿挑战，包括深度学习模型的可解释性推断、异构数据源下的推断一致性，以及在因果推断中如何在高维混杂因子下保证识别和估计的有效性。 《高维数据中的推断与预测》是一部面向应用同时兼顾严格理论的著作，它为读者提供了在高维度、大数据环境下进行严谨统计实践的路线图。
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