Analytical Geometry of Three Dimensions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:McCrea, William Hunter

出品人:

页数:160

译者:

出版时间:2006-10

价格:$ 13.50

装帧:

isbn号码:9780486453132

丛书系列:

图书标签:

• 解析几何
• 三维几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 空间几何
• 坐标几何
• 向量
• 立体几何
• 数学分析

《三维解析几何导论》 聚焦基础、夯实根基，构建清晰的几何直觉 本书旨在为初学者和需要巩固基础的学习者提供一个全面、深入而又易于理解的三维解析几何学习路径。我们深知，解析几何作为连接代数与几何的桥梁，其概念的清晰度与运算的熟练度至关重要。因此，本书的叙述风格力求严谨而不失生动，注重几何图像与代数公式之间的直观对应。 第一部分：坐标系与点的位置 本部分伊始，我们详细阐述了笛卡尔直角坐标系在三维空间中的构建原理。从二维平面直角坐标系的概念出发，逐步引入第三个相互垂直的坐标轴，形成空间直角坐标系。我们详细讨论了三个坐标轴的定向规则（遵循右手定则），以及如何通过坐标来唯一确定空间中的任意一点的位置。 随后的章节致力于空间中两点间的距离公式的推导与应用。不同于二维情况，三维距离的计算涉及对毕达哥拉斯定理的两次连续应用。我们不仅给出了标准的距离公式，还深入分析了该公式在工程测量、物理学中的实际意义。 紧接着，我们探讨了空间中点的分点公式。对于任意给定的两点 $P_1$ 和 $P_2$，如何精确地找到一条内部或外部的特定比例点 $M$ 的坐标。我们详细分析了比例因子 $k$ 的正负对点 $M$ 位置的影响，并通过具体实例展示了如何利用该公式求出空间中线段的中点坐标。 第二部分：向量代数在几何中的应用 向量是描述三维空间中方向和大小的理想工具。本部分将解析几何建立在向量的坚实基础之上。我们首先定义了空间向量的概念，并区分了自由向量、位置向量和单位向量。 向量的线性运算是核心内容。我们详述了向量的加法、减法（遵循平行四边形法则或三角形法则）以及数乘运算的几何意义。重点在于，我们将这些运算与点的坐标表示紧密联系起来，使得向量运算可以在代数层面上高效进行。 随后，本书用大量的篇幅讲解了点积（数量积）。点积的几何意义——投影——被反复强调。我们展示了如何利用点积来判断两个向量是否垂直（即点积为零），以及如何计算两个向量之间的夹角。书中包含了一系列利用点积解决几何问题的实例，例如求空间中力对转轴的矩。 叉积（向量积）作为三维空间特有的运算，被给予了充分的关注。我们详细阐述了叉积的定义、计算方法（利用行列式）及其独特的几何意义：结果向量既垂直于原两个向量，其大小又等于由原向量构成的平行四边形的面积。叉积在确定法向量、计算平面面积以及处理旋转问题中扮演着关键角色。 第三部分：空间中的直线 本部分转向研究三维空间中的“一维”对象——直线。我们探讨了表达空间中直线的三种主要方式： 1. 点向式（或称向量方程）：通过空间中一个已知点的位置向量 $mathbf{r}_0$ 和一个方向向量 $mathbf{v}$ 来定义直线 $L = {mathbf{r}_0 + tmathbf{v} mid t in mathbb{R}}$。我们分析了参数 $t$ 的变化如何带动点在直线上移动的轨迹。 2. 对称式方程：从点向式出发，通过消去参数 $t$ 得到的一种更简洁的表达形式。我们特别强调了当方向向量的某个分量为零时（即直线平行于某个坐标平面时），对称式需要如何特殊处理。 3. 一般式方程（两个平面交线）：认识到空间中一条直线可以看作是两个不平行的平面的交线，本书详细讲解了如何通过联立两个平面的一般方程来求出直线的参数方程或对称方程。 对于两条空间中的直线，我们系统地分析了它们之间的所有可能关系：平行、相交或异面。对于相交和异面直线，我们不仅给出了判定条件，更重要的是，详细推导了求解两异面直线间的最短距离的向量方法，该方法巧妙地利用了垂直于两条直线的公垂线的方向向量。 第四部分：空间中的平面 平面是三维解析几何的基石之一。本书从不同的角度定义和描述平面： 1. 法向量定义：平面由一个点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 和一个垂直于平面的法向量 $mathbf{n} = (A, B, C)$ 唯一确定。我们推导出了平面的一般方程 $Ax + By + Cz + D = 0$，并解释了系数 $A, B, C$ 的物理意义。 2. 截距式：当平面与三个坐标轴相交且截距均不为零时，可使用截距式 $frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1$。我们分析了这种形式在几何直观上的优势。 3. 点法式：利用法向量与平面内任一点 $(x, y, z)$ 的连线向量的点积为零来定义平面。 本部分的核心在于分析点、线、面之间的关系： 点到平面的距离：推导并应用了点到平面距离的精确公式，该公式是法向量长度的范数与点到平面上任一点向量的点积之比。 线与平面的夹角：区分了线与平面垂直（法向量和平行于直线的向量平行）和线与平面倾斜（利用正弦函数）的情况。 两个平面的关系：分析了两平面平行（法向量成比例）和相交（形成一条交线）的条件，并详细演示了如何通过方程组求解出这两平面的交线方程。 第五部分：二次曲面基础（概述） 虽然本书主要集中在线性对象（直线与平面），但为了提供一个完整的几何视野，我们对空间中的二次曲面进行了初步的介绍。我们展示了如何通过将二次方程（如 $Ax^2 + Bxy + dots + Kz^2 + dots = 0$）进行坐标轴旋转和配方，将其化简为标准形式。我们重点展示了椭球面、单叶双曲面和抛物面的标准方程及其几何特征，旨在激发读者对更复杂几何对象的探索兴趣。 全书特色： 本书严格遵循“几何直觉 $ ightarrow$ 向量表述 $ ightarrow$ 代数运算”的教学思路。每一概念的引入都伴随着详细的几何推导图示（在概念层面上描述），并立即转化为可操作的代数公式。书中包含大量精心设计的例题和习题，覆盖了从基础计算到复杂空间构图的各个层面，确保学习者能够真正掌握三维空间中点的定位、线的描述以及面的构建这一核心技能。

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说实话，我最欣赏这本书的不是它涵盖了多少知识点，而是它对概念引入的耐心程度。现在的很多教材，为了追求新颖或简洁，往往会省略掉一些看似基础，但对初学者至关重要的铺垫。这本书的作者显然不是这种风格。比如，当他们开始讨论空间向量积和曲面的法向量时，作者用了大篇幅去回顾了平面上的相关概念，并清晰地阐释了从二维到三维的自然过渡。这种“不耻下问”的教学态度，极大地降低了我的学习门槛。我过去在其他地方遇到的困难是，一旦进入到涉及旋转和平移的变换部分，就彻底抓瞎了。但在这里，作者通过引入一系列精心挑选的例子，特别是一些物理模型中的应用场景，比如力的合成、约束面的分析，让那些冰冷的方程活了起来，变得有意义。读完这些章节后，我甚至开始对用矩阵表示旋转变换产生了兴趣，这完全是意料之外的收获。这绝对不是那种走马观花、蜻蜓点水的教材，它更像是一个经验丰富的导师，带着你一步步地深入矿井，确保你了解脚下的每一块岩石结构。

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我个人在使用这本书的过程中，发现它的习题设置是其真正的精髓所在，这才是真正区分一本好书和普通参考书的关键。很多数学书的习题往往是公式的简单套用，做完一套题，你可能还是不知道这些理论在实际中能用来干什么。然而，这本书的习题分为几个梯度：基础巩固型、概念深化型，以及更让人头疼但极具启发性的“挑战与应用”。那些挑战题，有时候需要你综合运用前面好几个章节的知识点，甚至需要一些创造性的几何直觉才能找到突破口。我记得有一道关于求解椭球与锥面交线投影的题目，光是正确建立坐标系和理解投影的本质就花费了我一整晚的时间。但当我最终解出来，那种豁然开朗的感觉，是看再多例题也体会不到的。它强迫你跳出教科书的框架去思考，去“玩弄”这些空间几何概念。这使得这本书不仅是学习工具，更像是一个磨砺思维的平台，它培养的不是计算能力，而是空间想象力和问题分解能力。

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这本书的封面设计，嗯，怎么说呢，第一眼看去就给人一种非常扎实、有点老派的学术气息。装帧很厚重，拿在手里沉甸甸的，感觉像是那种能陪你度过好几个通宵的“老伙计”。我本来是抱着试试看的心态买的，因为我对纯粹的解析几何有点望而生畏，总觉得那些公式和坐标系能把人绕晕。可是，这本书的排版却出奇地清晰，那种黑白分明的对比度，使得那些复杂的符号和图形标记起来不至于太过混乱。它的目录结构设计得相当合理，从最基础的点、线、面的定义，逐步深入到更抽象的二次曲面，逻辑推进非常顺畅，没有那种突然跳跃的感觉。我记得翻到某一章关于方向余弦的讨论时，作者用了非常直观的几何图像来辅助理解，而不是一味地堆砌代数运算。这对我这种视觉型学习者来说简直是福音。它不像某些教材那样只给出结论，而是努力在“为什么”和“怎么算”之间架起一座坚实的桥梁，让你在推导过程中不至于迷失方向。总的来说，第一印象是——这是一本严肃但又处处体现出教学关怀的经典之作，虽然内容本身够硬核，但呈现方式让人愿意沉下心去啃。

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从装帧和印刷质量来看，这本书绝对是为长期收藏和深度学习而准备的。纸张的克数很讲究，拿笔在上面书写批注时，墨水不会洇开，这对于需要不断推导和圈画重点的我来说非常重要。更难得的是，它的插图质量非常高。在三维几何中，平面图形的表示常常是最大的障碍，很多书上的图看起来像是用尺子随便画出来的草稿。这本书里的图，无论是球面的剖面，还是复杂曲面的截线，都处理得非常精细、立体感十足。你会清晰地看到那些虚线和实线是如何准确地表示空间中的遮挡关系。我尤其注意到作者在处理坐标轴旋转时的图示，不仅给出了旋转前后的对比，还用箭头清晰地指示了旋转的方向和角度范围。这种对细节的极致追求，让阅读体验得到了极大的提升，也减少了反复翻阅前面章节来确认某个几何假设的次数。这本厚重的书，与其说是教科书，不如说是一本精致的工具手册。

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我对这本书的“语感”有着非常独特的体会。它使用的语言风格是那种典型的、高度精确的英式学术表达，严谨到每一个介词的选择都似乎经过了深思熟虑。这初读起来可能有些费劲，尤其对于非母语读者来说，句子结构往往很长，充满了从句和修饰语，要求读者必须保持高度专注。比如，描述一个曲面的特性时，它不会简单地说“这个曲面是光滑的”，而是会用类似“The manifold exhibits a continuously differentiable boundary condition free from singularities under the defined parameterization regime.” 这样的表述。这种语言风格迫使我必须精确地理解每一个数学术语在上下文中的确切含义，不允许有任何模糊地带。长期阅读下来，我发现自己的数学思维也受到了潜移默化的影响，在描述复杂关系时，下意识地追求更高的精确度和逻辑严密性。这不仅仅是一本关于三维几何的书，它在某种层面上，也是一本关于如何用最精确的语言来表达空间逻辑的教材。

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