具体描述
《高等数学(下册)》是依据教育部主持制定的非数学专业《本科数学基础课程教学基本要求》，并针对理、工、农、林等专业数学教学计划为140～180学时的教学需要而编写的。教材内容在保证上述基本要求的前提下，兼顾拓宽知识的需要，以适应不同要求和不同层次的教学。
全书分上、下册，上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理及导数的应用、不定积分、定积分以及定积分的应用，共七章。高等数学中用到的极坐标和行列式等基本知识是中学阶段没有讲授的内容，特在书后的附录中对其加以介绍。下册内容包括向量代数与空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、无穷级数以及微分方程，共五章。书中注有的内容，可根据教学计划学时的多少加以取舍。略去这些内容并不影响教学内容的完整性及严谨性。作为续篇，傅里叶级数及曲线积分和曲面积分两章，是针对计划学时较多的数学教学或报考研究生部分专业的需要而编写的，可供教学或自学选用。
章后配有深度不同的课后习题。同时出版与教材配套的《高等数学习题解答》上、下册。
《数学的奇妙之旅：从微积分到抽象代数》 本书是一部旨在引导读者深入探索数学世界奥秘的百科全书式著作，它并非局限于某一具体学科的入门教材，而是以一种宏大而连贯的视角，带领读者穿越数学史上的重要里程碑，领略其核心思想的演进，并展现不同数学分支之间的深刻联系。我们的目标是为那些对数学的本质、逻辑推理的严谨性以及数学在理解宇宙中所扮演的关键角色充满好奇的读者提供一个丰富而启发性的阅读体验。 第一章：微积分的革命——微分与积分的诞生与发展 本章将回顾微积分的诞生，聚焦于牛顿与莱布尼茨的开创性工作。我们将深入探讨微积分的核心概念：极限、导数和积分。通过生动形象的例子和历史故事，我们将揭示微积分如何改变了人类对运动、变化和累积的理解。我们会从几何的角度出发，阐释导数作为瞬时变化率的几何意义（切线的斜率），以及积分作为面积累积的几何意义。我们将探讨牛顿在物理学领域如何巧妙运用微积分解决天体运行的复杂问题，从而奠定经典力学的基础。同时，我们也会审视莱布尼茨在符号系统和运算规则上的贡献，以及它们如何为微积分的传播和发展提供了便利。 我们将进一步拓展微积分的应用领域，介绍微分方程的威力。微分方程不仅仅是数学工具，更是描述自然界和工程领域中动态过程的语言。从简单的弹簧振动到复杂的流体动力学，再到人口增长模型，我们将展示如何通过建立和求解微分方程来预测和控制现实世界中的现象。例如，我们会讲解如何用一阶线性微分方程来模拟放射性衰 物质的衰减过程，以及如何用二阶常系数线性微分方程来描述简谐振动。本章还将涉及级数，特别是泰勒级数和麦克劳林级数，展示如何用无限项多项式来逼近复杂的函数，这在数值计算和近似理论中具有极其重要的意义。我们将通过欧拉公式的推导，展示复数与三角函数之间的深刻联系，以及它在工程和物理学中的广泛应用。 第二章：线性代数的优雅——向量空间与矩阵的变革 本章将开启一段关于结构与变换的数学之旅，聚焦于线性代数这一强大而优美的学科。我们将从向量的几何直观出发，引入向量空间的概念。向量空间并非仅仅是箭头，而是具有特定代数结构的集合，它为我们理解和操作多维空间提供了框架。我们将深入探讨线性组合、线性无关、基和维度等核心概念，理解它们如何共同构建起向量空间的骨架。 随后，我们将步入矩阵的世界。矩阵是组织和处理数据的强大工具，更是线性变换的载体。我们将学习矩阵的各种运算，如加法、数乘、乘法，并理解它们在几何上的意义，例如矩阵乘法如何对应于线性变换的复合。我们将重点关注行列式，探究它如何揭示矩阵所代表的线性变换的几何特性，例如面积或体积的缩放因子。我们将深入研究线性方程组，展示如何利用高斯消元法和矩阵的逆来求解它们，并揭示线性方程组解的存在性和唯一性的几何解释。 本章还将介绍特征值与特征向量的概念。特征值和特征向量是理解线性变换本质的关键。它们揭示了在特定变换下，向量方向不变，仅发生伸缩的向量，以及相应的伸缩因子。我们将探讨特征值分解的应用，例如在主成分分析（PCA）中，如何利用特征值和特征向量来降维和提取数据中的重要信息，这在图像处理、机器学习等领域有着广泛的应用。此外，我们还会简要介绍向量空间中的内积和正交性，它们为度量向量之间的“距离”和“夹角”提供了数学基础，并在傅里叶分析等领域发挥着至关重要的作用。 第三章：概率论与数理统计的思维——不确定性下的逻辑与洞察 本章将引领读者进入一个充满不确定性的世界，并学习如何运用严谨的数学工具来理解和量化这种不确定性。我们将从概率论的基础概念入手，例如随机事件、概率的公理化定义，以及条件概率和独立性。我们将通过各种有趣的例子，例如掷骰子、抽扑克牌，来理解这些基本概念的实际含义。 我们将深入探讨随机变量及其概率分布。离散型随机变量和连续型随机变量将通过各自的概率质量函数和概率密度函数进行详尽的介绍。期望值和方差将作为描述随机变量的集中趋势和离散程度的重要统计量进行讲解。我们将重点介绍一些重要的概率分布，例如二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布，并分析它们在不同场景下的适用性。我们将阐释正态分布的“中心极限定理”，解释为何它在自然界和统计学中如此普遍。 接着，我们将进入数理统计的领域，学习如何从样本数据中推断总体特征。参数估计将是本章的核心内容之一，我们将学习点估计和区间估计的方法，例如矩估计法和最大似然估计法，以及置信区间的构造。假设检验将是我们分析数据、做出决策的重要工具，我们将学习如何提出假设、选择检验方法、计算检验统计量以及解释检验结果，例如t检验、卡方检验和F检验。 本章还将触及回归分析，学习如何建立变量之间的数学模型，以预测一个变量的值或理解变量之间的关系。我们将介绍简单线性回归和多元线性回归，并探讨模型的拟优和评估。最后，我们将简要提及贝叶斯统计的思想，它提供了一种不同的视角来处理不确定性，并允许在获得新数据后更新我们对事件发生概率的信念。 第四章：抽象代数的精妙——群、环与域的结构之美 本章将引领读者进入一个高度抽象但却蕴含着深刻数学规律的世界——抽象代数。我们将从最基本的代数结构——群——开始。群由一个集合和在其上定义的二元运算构成，并满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元四个基本性质。我们将通过整数加法群、非零实数乘法群等具体例子来理解群的性质，并探讨同态和同构的概念，它们揭示了不同群之间的结构相似性。 随后，我们将扩展到环。环在群的基础上增加了另一种二元运算，并满足一定的分配律。我们将学习交换环和整环的概念，并通过整数环、多项式环等例子来理解环的结构。最后，我们将介绍域。域是环中进一步细化的结构，其中除了零元之外的所有元素都有乘法逆元。我们熟悉的实数域、复数域以及有理数域都是典型的例子。 抽象代数的目标并非仅仅是研究这些结构本身，而是要发现隐藏在不同数学分支背后的共性。例如，群论在密码学、量子力学和晶体学中都有着至关重要的应用。环论和域论则为数论、代数几何以及编码理论奠定了理论基础。本章将强调抽象代数如何提供一种强大的语言来统一和理解数学的许多不同领域，揭示隐藏在看似无关的数学对象中的深层联系和普遍规律。 第五章：数学的边界与未来——未解之谜与发展前沿 本书的最后一章将目光投向数学的广阔前沿。我们将简要介绍一些至今仍未被解决的数学难题，例如黎曼猜想、庞加莱猜想（已解决但其证明过程仍是研究热点）、哥德巴赫猜想等。我们将探讨这些问题的提出背景、它们的重要性，以及数学家们为解决它们所付出的努力。 我们将审视数学在各个领域的最新应用和发展趋势。例如，在计算机科学领域，数学在算法设计、复杂性理论、人工智能和数据科学中扮演着核心角色。我们也将探讨数学在物理学（如弦理论、量子计算）、生物学（如基因组学、系统生物学）以及经济学（如金融建模、博弈论）中的日益增长的影响力。 本章还将展望数学的未来发展方向，例如计算数学的崛起、离散数学的重要性日益凸显，以及跨学科研究的不断深化。我们将强调数学作为一种通用语言和思维方式，在解决人类面临的复杂问题中将继续发挥不可替代的作用。 结语 《数学的奇妙之旅》不仅仅是一本书，更是一张探索数学宇宙的地图。它邀请读者以好奇心为向导，以逻辑为工具，在数学的海洋中自由遨游，去发现那些隐藏在数字、符号和结构背后的深刻智慧与无限可能。无论您是初学者还是有一定基础的学习者，我们都希望这本书能点燃您对数学的热情，帮助您领略其逻辑的严谨、思想的深邃以及其在理解世界中所展现出的无穷魅力。
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