Advances in Phase Space Analysis of Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bove, Antonio (EDT)/ Del Santo, Daniele (EDT)/ Murthy, M. K. Venkatesha (EDT)

出品人:

页数:306

译者:

出版时间:2009-10

价格:$ 202.27

装帧:

isbn号码:9780817648602

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 相空间分析
• 动力系统
• 非线性分析
• 泛函分析
• 数值分析
• 常微分方程
• 应用数学
• 数学物理
• 控制理论

《相空间分析在偏微分方程中的前沿进展》 内容简介： 本书深入探讨了相空间分析在理解和解决偏微分方程（PDEs）领域前沿问题中的强大应用。相空间，作为描述动力学系统状态演化的几何框架，为分析PDEs的复杂行为提供了深刻的视角。本书集合了该领域的顶尖研究成果，系统地阐述了相空间方法如何揭示PDEs的内在结构、渐近行为、稳定性特征以及多尺度耦合动力学。 理论基础与方法论： 本书首先回顾了相空间分析的核心概念，包括黎曼流形、测地线、Hamiltonian力学以及Poincaré截面等，并重点介绍了这些概念如何映射到PDEs的特定解空间。对于某些非线性PDEs，解的演化可以被视为在无穷维相空间中的一条轨迹。理解这条轨迹的几何属性，例如其吸引子、周期轨道、混沌区域以及孤立波的结构，成为分析PDEs性质的关键。 书中详细介绍了多种相空间分析的技术，包括但不限于： 能量方法与Lyapunov函数： 通过构造适当的Lyapunov函数，并在相空间中分析其演化，可以对PDEs的稳定性进行严格证明。这对于理解系统的长期行为，例如稳定状态的存在性或衰减到平衡态的速率至关重要。 几何奇异摄动（Geometric Singular Perturbation Theory, GSPT）： GSPT是一种强大的工具，用于分析具有多尺度分离的PDEs。它通过在相空间中识别“快”和“慢”流形，以及它们之间的相互作用，来解释和预测由尺度分离引起的奇异现象，例如层流、激波和拟稳态。 低维投影与主成分分析（PCA）： 对于高维相空间，直接分析往往不可行。本书介绍如何通过PCA等降维技术，将高维相空间中的动力学投影到低维子空间，从而捕捉系统的主要模态和支配性行为。这种方法在流体力学、天气预报和气候建模等领域有着广泛的应用。 非线性动力学与混沌理论： 许多PDEs表现出丰富的非线性动力学，包括周期性、准周期性和混沌行为。本书将混沌理论中的概念，如李雅普诺夫指数、分形维度和吸引子，应用于分析PDEs的混沌解，揭示其对初值敏感性的内在机制。 Hamiltonian结构与辛几何： 对于一类重要的PDEs，如KdV方程、非线性薛定谔方程（NLS）等，它们具有Hamiltonian结构。本书深入探讨了辛几何在分析这些方程中的作用，包括守恒律的识别、孤立波的稳定性以及数值求解器的辛性质。 流形学习与数据驱动方法： 随着计算能力的提升和数据量的增长，数据驱动的相空间分析方法日益重要。本书介绍了如何利用流形学习技术，从模拟或实验数据中重构PDEs的相空间结构，发现隐藏的动力学规律，甚至生成新的解。 核心应用领域： 本书的重点在于展示相空间分析在解决具体PDE问题中的实际应用，涵盖了多个重要的科学和工程领域： 1. 流体力学： 湍流的相空间结构： 湍流是流体力学中最复杂、最迷人的现象之一。本书将相空间分析应用于分析Navier-Stokes方程等湍流模型，旨在揭示湍流中的相空间结构，例如湍流耗散区、涡结构以及湍流过渡的动力学。通过识别相空间中的吸引子和不稳定性，可以更好地理解湍流的统计性质和能量级串。 波动力学与孤立子： KdV方程、非线性薛定谔方程等描述了孤立波（solitons）的传播。本书运用相空间分析来研究这些孤立子的稳定性、相互作用以及多体碰撞的动力学。在无限维相空间中，孤立子可以被视为特殊的轨道，其稳定性与相空间的几何性质密切相关。 粘弹性流体的动力学： 对于描述粘弹性流体的方程，相空间分析可以帮助理解其非线性行为，例如剪切应力依赖性、弹性后效以及可能发生的屈曲和失稳现象。 2. 非线性光学： 光纤中的非线性传播： 非线性薛定谔方程（NLS）是描述光纤中光脉冲传播的基本模型。本书利用相空间方法分析NLS方程的孤立子解、周期解以及混沌解，研究光信号的畸变、脉冲压缩以及非线性效应引起的其他现象。 激光器动力学： 激光器的工作过程可以被建模为一组非线性常微分方程或偏微分方程。相空间分析有助于理解激光器的模式竞争、多稳态现象以及混沌激光的产生机制。 3. 等离子体物理： 等离子体波与不稳定性： 本书探讨了相空间方法在分析等离子体中的波动现象和各种不稳定性（例如漂移波、阿尔芬波）中的应用。通过研究相空间中的吸引子和共振现象，可以理解等离子体中的能量传输和粒子加热机制。 磁约束聚变： 在磁约束聚变装置中，等离子体的行为受到复杂磁场结构的约束。相空间分析被用来理解等离子体在磁场中的输运、湍流以及失稳过程，为提高聚变效率提供理论指导。 4. 生物数学： 神经动力学： 神经元网络中的信号传递和信息处理可以被描述为非线性PDEs。本书介绍了如何利用相空间分析来研究神经元网络的同步行为、传播波以及可能出现的混沌放电模式。 反应扩散系统： 许多生物过程，如形态发生、物种分布等，都可以用反应扩散方程来描述。相空间分析有助于理解这些系统中的空间模式形成（例如斑图、波列）以及它们对参数变化的敏感性。 5. 其他前沿领域： 量子流体力学： 随着量子力学与流体力学的交叉融合，量子流体力学方程（例如Gross-Pitaevskii方程）的分析日益受到关注。本书讨论了如何在相空间中研究量子孤立子、涡旋动力学以及量子相干性。 机器学习与PDEs： 本书还将探讨如何利用机器学习技术，例如神经网络，来逼近PDEs的解空间，甚至学习PDEs的相空间动力学，为求解复杂的PDE问题提供新的途径。 本书的特点与价值： 《相空间分析在偏微分方程中的前沿进展》具有以下显著特点： 系统性与深度： 本书从理论基础出发，逐步深入到复杂模型和前沿应用，力求为读者提供一个全面而深入的理解。 跨学科性： 本书汇集了来自数学、物理、工程等多个领域的专家成果，强调了相空间分析在不同学科中的普适性和强大威力。 前沿性： 所收录的研究成果均为近年来该领域的最新进展，反映了当前的研究热点和未来发展方向。 理论与实践相结合： 书中不仅阐述了严谨的数学理论，还提供了大量的实际算例和应用，帮助读者将理论知识应用于解决具体问题。 面向广大读者： 本书适合对偏微分方程、非线性动力学、相空间分析以及相关应用领域感兴趣的研究者、研究生和高年级本科生。 通过阅读本书，读者将能够深刻理解相空间分析如何提供一个统一的框架来理解和解决各种偏微分方程问题，从而为他们在各自的研究领域开辟新的思路和方法。本书将成为该领域一本不可或缺的参考著作，推动相空间分析在PDEs研究中的进一步发展。

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